Richard S. Hamilton - Richard S. Hamilton

Richard Hamilton
Hamilton em 1982
Nascer	( 1943-12-19 )19 de dezembro de 1943 (77 anos) Cincinnati, Ohio , Estados Unidos
Nacionalidade	americano
Alma mater	Yale University Princeton University
Conhecido por	Fluxo de Ricci de Hamilton Soliton de Ricci Teorema de ponto fixo de Earle-Hamilton Teorema de Gage-Hamilton-Grayson Desigualdades de Li-Yau-Hamilton Teorema de Nash-Moser
Prêmios	Prêmio Veblen (1996) Prêmio de Pesquisa Clay (2003) Prêmio Leroy P. Steele (2009) Prêmio Shaw (2011)
Carreira científica
Campos	Matemática
Instituições	Cornell University University of California, San Diego Columbia University
Tese	Variação da estrutura em superfícies de Riemann  (1969)
Orientador de doutorado	Robert Gunning
Alunos de doutorado	Martin Lo

Richard Streit Hamilton (nascido em 19 de dezembro de 1943) é Davies Professor of Mathematics na Columbia University . Ele é conhecido por contribuições para análises geométricas e equações diferenciais parciais . Ele fez contribuições fundamentais para a teoria do fluxo de Ricci e seu uso na resolução da conjectura de Poincaré e conjectura de geometrização no campo da topologia geométrica .

Biografia

Ele recebeu seu BA em 1963 da Universidade de Yale e Ph.D. em 1966 da Universidade de Princeton . Robert Gunning supervisionou sua tese. Hamilton lecionou na University of California, Irvine , University of California, San Diego , Cornell University e Columbia University .

As contribuições matemáticas de Hamilton estão principalmente no campo da geometria diferencial e, mais especificamente, na análise geométrica . Ele é mais conhecido por ter descoberto o fluxo de Ricci e iniciado um programa de pesquisa que acabou levando à prova, por Grigori Perelman , da conjectura da geometrização de Thurston e da solução da conjectura de Poincaré . Em agosto de 2006, Perelman recebeu, mas recusou, a Medalha Fields por sua prova.

Hamilton recebeu o Prêmio Oswald Veblen de Geometria em 1996 e o Prêmio de Pesquisa Clay em 2003. Ele foi eleito para a Academia Nacional de Ciências em 1999 e para a Academia Americana de Artes e Ciências em 2003. Ele também recebeu o AMS Leroy P. Steele Prêmio de Contribuição Seminal à Pesquisa em 2009, por seu artigo de 1982 Três-variedades com curvatura positiva de Ricci , no qual ele introduziu o fluxo de Ricci.

Em 18 de março de 2010, foi anunciado que Perelman havia atendido aos critérios para receber o primeiro Prêmio Clay Millennium por sua prova da conjectura de Poincaré, publicada pela primeira vez em 2003. Em 1 de julho de 2010, Perelman posteriormente recusou o prêmio e o associado prêmio em dinheiro como fizera com a medalha Fields, dizendo acreditar que sua contribuição para provar a conjectura de Poincaré não foi maior do que a de Hamilton, que primeiro sugeriu um programa para a solução. No entanto, embora a solução de Perelman fosse de fato baseada na teoria do fluxo de Ricci de Richard Hamilton, ela incluiu grandes avanços de Perelman e fez uso de resultados em espaços de métricas devido a Cheeger, Gromov e o próprio Perelman. Perelman também provou a conjectura de geometrização de William Thurston, um caso especial da qual é a conjectura de Poincaré, sem a qual a prova da conjectura de Poincaré não teria sido possível; sua revisão foi concluída em agosto de 2006.

Em junho de 2011, foi anunciado que o Prêmio Shaw de um milhão de dólares seria dividido igualmente entre Hamilton e Demetrios Christodoulou por seus trabalhos altamente inovadores em equações diferenciais parciais não lineares na geometria Lorentziana e Riemanniana e suas aplicações à relatividade geral e topologia.

Trabalho matemático

Até 2020, Hamilton era o autor de cerca de cinquenta artigos de pesquisa, cerca de quarenta dos quais na área de fluxos geométricos .

Desigualdades de Harnack para equações de calor

Em 1986, Peter Li e Shing-Tung Yau descobriram um novo método para aplicar o princípio do máximo para controlar as soluções da equação do calor . Entre outros resultados, eles mostraram que se alguém tiver uma solução u positiva da equação do calor em uma variedade Riemanniana fechada de curvatura de Ricci não negativa , então terá

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {u} {2t}} + 2du (v) + u | v | _ {g} ^ {2} \ geq 0}$

para qualquer vetor tangente v . Essas desigualdades, conhecidas como "desigualdades de Harnack diferenciais" ou "desigualdades de Li-Yau", são úteis porque podem ser integradas ao longo de caminhos para comparar os valores de u em quaisquer dois pontos do espaço-tempo. Eles também fornecem informações pontuais sobre u , considerando v igual a zero.

Em 1993, Hamilton mostrou que os cálculos de Li e Yau poderiam ser estendidos para mostrar que sua desigualdade de Harnack diferencial era uma consequência de uma desigualdade de matriz mais forte. Seu resultado exigia que a variedade Riemanniana fechada tivesse curvatura seccional não negativa e tensor de Ricci paralelo (como o toro plano ou a métrica de Fubini-Study no espaço projetivo complexo ), na ausência da qual ele obteve um resultado ligeiramente mais fraco. Essas desigualdades de matriz são às vezes conhecidas como desigualdades de Li-Yau-Hamilton .

Hamilton também descobriu que a metodologia Li-Yau poderia ser adaptada ao fluxo de Ricci . No caso de variedades bidimensionais, ele descobriu que o cálculo de Li e Yau pode ser adaptado diretamente à curvatura escalar ao longo do fluxo de Ricci. Em dimensões gerais, ele mostrou que o tensor de curvatura de Riemann satisfaz uma desigualdade complicada, formalmente análoga à extensão de sua matriz da desigualdade de Li-Yau, no caso em que o operador de curvatura não é negativo. Como consequência algébrica imediata, a curvatura escalar satisfaz uma desigualdade quase idêntica à de Li e Yau.

Teorema de Nash-Moser

Em 1956, John Nash resolveu o problema de incorporar suavemente e isometricamente variedades Riemannianas no espaço euclidiano. O núcleo de sua prova foi um novo resultado de "pequena perturbação", mostrando que se uma métrica Riemanniana pudesse ser inserida isometricamente de uma certa maneira, então qualquer métrica Riemanniana próxima também poderia ser inserida isometricamente. Tal resultado é altamente reminiscente de um teorema da função implícita , e muitos autores tentaram colocar a lógica da prova no contexto de um teorema geral. Esses teoremas são agora conhecidos como teoremas de Nash-Moser .

Em 1982, Hamilton publicou sua formulação do raciocínio de Nash, lançando o teorema no cenário de espaços de Fréchet domesticados ; O uso fundamental de Nash de restringir a transformada de Fourier para regularizar funções foi abstraído por Hamilton para a configuração de sequências decrescentes exponencialmente em espaços de Banach . Sua formulação foi amplamente citada e usada posteriormente. Ele mesmo o usou para provar uma existência geral e teorema de exclusividade para equações de evolução geométrica; o teorema da função implícita padrão muitas vezes não se aplica em tais configurações devido às degenerescências introduzidas pela invariância sob a ação do grupo de difeomorfismo . Em particular, a boa colocação do fluxo de Ricci segue do resultado geral de Hamilton. Embora Dennis DeTurck tenha dado uma prova mais simples no caso particular do fluxo de Ricci, o resultado de Hamilton foi usado para alguns outros fluxos geométricos para os quais o método de DeTurck é inacessível.

Fluxo de calor do mapa harmônico

Em 1964, James Eells e Joseph Sampson iniciaram o estudo do fluxo de calor do mapa harmônico , usando um teorema de convergência para o fluxo para mostrar que qualquer mapa suave de uma variedade fechada para uma variedade fechada de curvatura não positiva pode ser deformado para um mapa harmônico . Em 1975, Hamilton considerou o problema do valor de contorno correspondente para este fluxo, provando um resultado análogo a Eells e Sampson para a condição de Dirichlet e condição de Neumann . A natureza analítica do problema é mais delicada neste cenário, uma vez que a aplicação chave de Eells e Sampson do princípio do máximo à fórmula parabólica de Bochner não pode ser trivialmente realizada, devido ao fato de que o tamanho do gradiente na fronteira não é controlado automaticamente pelas condições de contorno.

Ao tomar os limites das soluções de Hamilton do problema de valor de contorno para fronteiras cada vez maiores, Richard Schoen e Shing-Tung Yau observaram que um mapa de energia finita de uma variedade Riemanniana completa para uma variedade Riemanniana fechada de curvatura não positiva poderia ser deformado em um mapa harmônico de energia finita. Ao provar a extensão do teorema de desaparecimento de Eells e Sampson em várias configurações geométricas, eles foram capazes de tirar conclusões geométricas impressionantes, como que se ( M , g ) é uma variedade Riemanniana completa de curvatura de Ricci não negativa , então para qualquer conjunto aberto pré-compactado D com limite liso e simplesmente conectado, não pode existir um homomorfismo não trivial do grupo fundamental de D em qualquer grupo que seja o grupo fundamental de uma variedade Riemanniana fechada de curvatura não positiva.

Fluxo de curvatura média

Em 1986, Hamilton e Michael Gage aplicaram o teorema de Nash-Moser de Hamilton e o resultado de boa posição para equações parabólicas para provar a boa posição para o fluxo de curvatura média ; eles consideraram o caso geral de uma família de um parâmetro de imersões de uma variedade fechada em uma variedade Riemanniana lisa. Em seguida, eles se especializaram para o caso de imersões do círculo S ¹ no espaço euclidiano bidimensional ℝ ² , que é o contexto mais simples para o fluxo de encurtamento de curva . Usando o princípio do máximo aplicado à distância entre dois pontos em uma curva, eles provaram que, se a imersão inicial for um embedding, então todas as futuras imersões no fluxo de curvatura média também serão embeddings. Além disso, a convexidade das curvas é preservada no futuro.

O principal resultado de Gage e Hamilton é que, dada qualquer incorporação suave S ¹ → ℝ ² que é convexa, o fluxo de curvatura média correspondente existe por uma quantidade finita de tempo, e conforme o tempo se aproxima de seu valor máximo, as curvas assintoticamente tornam-se cada vez mais pequenas e circular. Eles fizeram uso de resultados anteriores de Gage, bem como alguns resultados especiais para curvas, como a desigualdade de Bonnesen .

Em 1987, Matthew Grayson provou um resultado complementar, mostrando que para qualquer incorporação suave S ¹ → ℝ ² , o fluxo de curvatura média correspondente eventualmente se torna convexo. Em combinação com o resultado de Gage e Hamilton, tem-se essencialmente uma descrição completa do comportamento assintótico do fluxo de curvatura média de círculos embutidos em ℝ ² . Esse resultado às vezes é conhecido como teorema de Gage-Hamilton-Grayson . É um tanto surpreendente que haja um meio tão sistemático e geometricamente definido de deformar um loop arbitrário em ℝ ² em um círculo redondo.

A compreensão moderna dos resultados de Gage-Hamilton e de Grayson geralmente trata as duas configurações ao mesmo tempo, sem a necessidade de mostrar que curvas arbitrárias se tornam convexas e estudar separadamente o comportamento de curvas convexas. Seus resultados também podem ser estendidos para configurações diferentes do fluxo de curvatura médio.

Fluxo de Ricci

Hamilton estendeu o princípio do máximo para equações diferenciais parciais parabólicas ao ajuste de 2 tensores simétricos que satisfazem as equações diferenciais parciais parabólicas. Ele também colocou isso no cenário geral de uma seção dependente de parâmetro de um pacote vetorial sobre uma variedade fechada que satisfaz uma equação de calor, fornecendo formulações fortes e fracas.

Em parte devido a esses desenvolvimentos técnicos fundamentais, Hamilton foi capaz de fornecer uma compreensão essencialmente completa de como o fluxo de Ricci se comporta em variedades Riemannianas tridimensionais fechadas de curvatura de Ricci positiva e curvatura de Ricci não negativa, variedades Riemannianas fechadas quadridimensionais de operador de curvatura positivo ou não negativo , e variedades Riemannianas fechadas bidimensionais de característica de Euler não positiva ou de curvatura positiva. Em cada caso, após normalizações apropriadas, o fluxo de Ricci deforma a métrica Riemanniana dada para uma de curvatura constante. Isso tem corolários imediatos surpreendentemente simples, como o fato de que qualquer variedade 3 lisa fechada que admite uma métrica Riemanniana de curvatura positiva também admite uma métrica Riemanniana de curvatura seccional positiva constante. Esses resultados são notáveis ​​por restringir altamente a topologia de tais variedades; as formas espaciais de curvatura positiva são amplamente compreendidas. Existem outros corolários, como o fato de que o espaço topológico da métrica Riemanniana da curvatura positiva de Ricci em uma variedade 3 lisa fechada é conectado por caminho. Esses "teoremas de convergência" de Hamilton foram estendidos por autores posteriores, nos anos 2000, para dar uma prova do teorema da esfera diferenciável , que havia sido uma conjectura importante na geometria Riemanniana desde os anos 1960.

Em 1995, Hamilton estendeu a teoria de compactação de Jeff Cheeger para variedades Riemannianas para fornecer um teorema de compactação para sequências de fluxos de Ricci. Dado um fluxo de Ricci em uma variedade fechada com uma singularidade de tempo finito, Hamilton desenvolveu métodos de redimensionamento em torno da singularidade para produzir uma sequência de fluxos de Ricci; a teoria da compactação garante a existência de um fluxo de Ricci limitante, que modela a geometria em pequena escala de um fluxo de Ricci em torno de um ponto singular. Hamilton usou seus princípios máximos para provar que, para qualquer fluxo de Ricci em uma variedade tridimensional fechada, o menor valor da curvatura seccional é pequeno em comparação com seu maior valor. Isso é conhecido como estimativa de Hamilton-Ivey; é extremamente significativo como uma desigualdade de curvatura que se mantém sem suposições condicionais além da tridimensionalidade. Uma consequência importante é que, em três dimensões, um fluxo de Ricci limitante, conforme produzido pela teoria da compactação, tem automaticamente curvatura não negativa. Como tal, a desigualdade de Harnack de Hamilton é aplicável ao fluxo de Ricci limitante. Esses métodos foram estendidos por Grigori Perelman , que, devido ao seu "teorema do não colapso", foi capaz de aplicar a teoria da compactação de Hamilton em vários contextos estendidos.

Em 1997, Hamilton foi capaz de combinar os métodos que desenvolveu para definir "fluxo de Ricci com cirurgia" para variedades Riemannianas quadridimensionais de curvatura isotrópica positiva. Para fluxos de Ricci com dados iniciais nesta classe, ele foi capaz de classificar as possibilidades para a geometria em pequena escala em torno de pontos com grande curvatura e, portanto, modificar sistematicamente a geometria para continuar o fluxo de Ricci. Como conseqüência, ele obteve um resultado que classifica as variedades quadridimensionais suaves que suportam a métrica Riemanniana de curvatura isotrópica positiva. Shing-Tung Yau descreveu este artigo como o "evento mais importante" na análise geométrica no período após 1993, marcando-o como o ponto em que se tornou claro que seria possível provar a conjectura de geometrização de Thurston pelos métodos de fluxo de Ricci. A questão essencial pendente era realizar uma classificação análoga, para a geometria de pequena escala em torno de pontos de alta curvatura em fluxos de Ricci em variedades tridimensionais, sem qualquer restrição de curvatura; a estimativa da curvatura de Hamilton-Ivey é análoga à condição de curvatura isotrópica positiva. Isso foi resolvido por Grigori Perelman em seu renomado "teorema das vizinhanças canônicas". Construindo a partir desse resultado, Perelman modificou a forma do procedimento cirúrgico de Hamilton para definir um "fluxo de Ricci com cirurgia" dada uma métrica Riemanniana suave e arbitrária em uma variedade tridimensional fechada. Isso levou à resolução da conjectura de geometrização em 2003.

Publicações principais

A coleção

• Artigos coletados sobre o fluxo de Ricci. Editado por HD Cao, B. Chow, SC Chu e ST Yau. Series in Geometry and Topology, 37. International Press, Somerville, MA, 2003. viii + 539 pp. ISBN  1-57146-110-8

contém,,,,,, e, além de cinco outros artigos de Hamilton e dez artigos de outros autores.

Veja também

• Teorema de ponto fixo Earle-Hamilton
• Fluxo de Yamabe

Referências

links externos

Mídia relacionada a Richard Hamilton (matemático) no Wikimedia Commons

• Richard Hamilton no Mathematics Genealogy Project
• Richard Hamilton - biografia do corpo docente na página inicial do Departamento de Matemática da Universidade de Columbia
• Richard Hamilton - breve biografia na página inicial do Clay Mathematics Institute
• Citação do Prêmio Veblen de 1996
• Palestra de Hamilton sobre o fluxo de Ricci
• "Autobiografia de Richard S Hamilton" . Fundação do Prêmio Shaw. 28/09/2011.