Superfície de Riemann - Riemann surface

Superfície de Riemann para a função f ( z ) =  √ z . Os dois eixos horizontais representam as partes real e imaginária de z , enquanto o eixo vertical representa a parte real de √ z . A parte imaginária de √ z é representada pela coloração dos pontos. Para esta função, é também a altura após girar o gráfico 180 ° em torno do eixo vertical.

Em matemática , particularmente na análise complexa , uma superfície de Riemann é uma variedade complexa unidimensional . Essas superfícies foram estudadas pela primeira vez e receberam o nome de Bernhard Riemann . As superfícies de Riemann podem ser consideradas versões deformadas do plano complexo : localmente, perto de cada ponto, elas se parecem com manchas do plano complexo, mas a topologia global pode ser bem diferente. Por exemplo, eles podem se parecer com uma esfera ou um toro ou várias folhas coladas.

O principal interesse em superfícies de Riemann é que funções holomórficas podem ser definidas entre elas. As superfícies de Riemann são hoje consideradas o cenário natural para estudar o comportamento global dessas funções, especialmente funções multivaloradas , como a raiz quadrada e outras funções algébricas , ou o logaritmo .

Cada superfície de Riemann é uma variedade analítica real bidimensional (isto é, uma superfície ), mas contém mais estrutura (especificamente uma estrutura complexa ) que é necessária para a definição inequívoca de funções holomórficas. Uma variedade real bidimensional pode ser transformada em uma superfície de Riemann (geralmente de várias maneiras inequivalentes) se e somente se for orientável e metrizável . Assim, a esfera e o toro admitem estruturas complexas, mas a tira de Möbius , a garrafa de Klein e o plano projetivo real não.

Os fatos geométricos sobre as superfícies de Riemann são os mais "legais" possíveis e frequentemente fornecem a intuição e a motivação para generalizações para outras curvas, variedades ou variedades. O teorema de Riemann-Roch é um excelente exemplo dessa influência.

Definições

Existem várias definições equivalentes de uma superfície de Riemann.

1. Uma superfície de Riemann X é uma variedade complexa conectada de dimensão complexa um. Isso significa que X é um espaço de Hausdorff conectado que é dotado de um atlas de gráficos ao disco unitário aberto do plano complexo : para cada ponto x ∈ X há uma vizinhança de x que é homeomórfica ao disco unitário aberto do complexo plano, e os mapas de transição entre dois gráficos sobrepostos devem ser holomórficos .
2. Uma superfície de Riemann é uma variedade orientada de (real) dimensão dois - uma superfície de dois lados - junto com uma estrutura conforme . Novamente, variedade significa que localmente em qualquer ponto x de X , o espaço é homeomórfico a um subconjunto do plano real. O suplemento "Riemann" significa que X é dotado de uma estrutura adicional que permite a medição do ângulo na variedade, ou seja, uma classe de equivalência das chamadas métricas Riemannianas . Duas dessas métricas são consideradas equivalentes se os ângulos que medem são os mesmos. A escolha de uma classe de equivalência de métricas em X é o dado adicional da estrutura conforme.

Uma estrutura complexa dá origem a uma estrutura conforme escolhendo a métrica euclidiana padrão fornecida no plano complexo e transportando-a para X por meio dos gráficos. Mostrar que uma estrutura conforme determina uma estrutura complexa é mais difícil.

Exemplos

A esfera de Riemann.

Um toro.

• 

  f ( z ) = arcsin z

• 

  f ( z ) = log z

• 

  f ( z ) = z ^1/2

• 

  f ( z ) = z ^1/3

• 

  f ( z ) = z ^1/4

Outras definições e propriedades

Como acontece com qualquer mapa entre variedades complexas, uma função f : M → N entre duas superfícies de Riemann M e N é chamada holomórfica se para cada gráfico g no atlas de M e cada gráfico h no atlas de N , o mapa h ∘ f ∘ g ⁻¹ é holomórfico (como uma função de C a C ) onde quer que seja definido. A composição de dois mapas holomórficos é holomórfico. As duas superfícies de Riemann M e N são chamadas biolomórficas (ou conformalmente equivalentes para enfatizar o ponto de vista conforme) se existe uma função holomórfica bijetiva de M a N cujo inverso também é holomórfico (verifica-se que a última condição é automática e pode portanto, ser omitido). Duas superfícies de Riemann conformemente equivalentes são, para todos os efeitos práticos, idênticas.

Orientabilidade

Cada superfície de Riemann, sendo uma variedade complexa, é orientável como uma variedade real. Para os gráficos de complexos de f e g com função de transição h = f ( g ^-1 ( z )), h pode ser considerado como um mapa de um conjunto aberto de R ² a R ² cujo Jacobiana num ponto z é apenas o mapa linear verdadeiro dado pela multiplicação pelo número complexo h '( z ). No entanto, o determinante real da multiplicação por um número complexo α é igual a | α | ² , então o Jacobiano de h tem determinante positivo. Conseqüentemente, o atlas complexo é um atlas orientado.

Funções

Toda superfície de Riemann não compacta admite funções holomórficas não constantes (com valores em C ). Na verdade, toda superfície não compacta de Riemann é uma variedade de Stein .

Em contraste, em uma superfície de Riemann compacta X toda função holomórfica com valores em C é constante devido ao princípio do máximo . Porém, sempre existem funções meromórficas não constantes ( funções holomórficas com valores na esfera de Riemann C ∪ {∞}). Mais precisamente, o campo funcional de X é uma extensão finita de C ( t ), o campo funcional em uma variável, ou seja, quaisquer duas funções meromórficas são algébricamente dependentes. Essa afirmação se generaliza para dimensões superiores, ver Siegel (1955) . As funções meromórficas podem ser dadas de forma bastante explícita, em termos das funções teta de Riemann e do mapa Abel-Jacobi da superfície.

Analítico vs. algébrico

A existência de funções meromórficas não constantes pode ser usada para mostrar que qualquer superfície compacta de Riemann é uma variedade projetiva , ou seja, pode ser dada por equações polinomiais dentro de um espaço projetivo . Na verdade, pode-se mostrar que toda superfície compacta de Riemann pode ser inserida em um 3-espaço projetivo complexo . Este é um teorema surpreendente: as superfícies de Riemann são fornecidas por gráficos corrigidos localmente. Se uma condição global, ou seja, compactação, é adicionada, a superfície é necessariamente algébrica. Esta característica das superfícies de Riemann permite estudá-las com os meios da geometria analítica ou algébrica . A afirmação correspondente para objetos de dimensões superiores é falsa, ou seja, existem 2-variedades complexas compactas que não são algébricas. Por outro lado, toda variedade complexa projetiva é necessariamente algébrica, veja o teorema de Chow .

Como exemplo, considere o toro T  : =  C / ( Z  +  τ Z ). A função de weierstrass pertencente à estrutura Z  +  τ Z é uma função meromorfa em T . Esta função e do seu derivado gerar o campo função de t . Existe uma equação ${\ displaystyle \ wp _ {\ tau} (z)}$ ${\ displaystyle \ wp _ {\ tau} '(z)}$

${\ displaystyle [\ wp '(z)] ^ {2} = 4 [\ wp (z)] ^ {3} -g_ {2} \ wp (z) -g_ {3},}$

onde os coeficientes de g ₂ e g ₃ dependem τ, dando assim uma curva elíptica E _τ no sentido de geometria algébrica. A reversão disso é realizada pelo invariante j ( E ), que pode ser usado para determinar τ e, portanto, um toro.

Classificação das superfícies de Riemann

O conjunto de todas as superfícies de Riemann pode ser dividido em três subconjuntos: superfícies de Riemann hiperbólicas, parabólicas e elípticas. Geometricamente, correspondem a superfícies com curvatura seccional constante negativa, evanescente ou positiva . Ou seja, cada superfície de Riemann conectada admite uma única métrica de Riemann real bidimensional completa com curvatura constante igual ou que pertence à classe conforme das métricas de Riemann determinada por sua estrutura como uma superfície de Riemann. Isso pode ser visto como uma consequência da existência de coordenadas isotérmicas . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle -1,0}$${\ displaystyle 1}$

Em termos analíticos complexos, o teorema de uniformização de Poincaré-Koebe (uma generalização do teorema de mapeamento de Riemann ) afirma que toda superfície de Riemann simplesmente conectada é conformalmente equivalente a um dos seguintes:

• A esfera de Riemann , que é isomórfica ao  ;${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {C}}}: = \ mathbf {C} \ cup \ {\ infty \}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {C})}$
• O plano complexo ;${\ displaystyle \ mathbf {C}}$
• O disco aberto que é isomórfico ao semiplano superior .${\ displaystyle \ mathbf {D}: = \ {z \ in \ mathbf {C}: | z | <1 \}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}: = \ {z \ in \ mathbf {C}: \ mathrm {Im} (z)> 0 \}}$

Uma superfície de Riemann é elíptica, parabólica ou hiperbólica conforme sua cobertura universal for isomórfica a , ou . Os elementos de cada aula permitem uma descrição mais precisa. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {C})}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle \ mathbf {D}}$

Superfícies elípticas de Riemann

A esfera de Riemann é o único exemplo, pois não há nenhum grupo agindo sobre ela por meio de transformações biolomórficas livre e adequadamente descontinuamente e, portanto, qualquer superfície de Riemann cuja cobertura universal seja isomórfica deve ser isomórfica a ela. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {C})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {C})}$

Superfícies parabólicas de Riemann

Se for uma superfície de Riemann cuja cobertura universal é isomórfica ao plano complexo, então é isomórfica uma das seguintes superfícies: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

• ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ em si;
• O quociente ;${\ displaystyle \ mathbf {C} / \ mathbf {Z}}$
• Um quociente com onde .${\ displaystyle \ mathbf {C} / (\ mathbf {Z} + \ mathbf {Z} \ tau)}$${\ displaystyle \ tau \ in \ mathbf {C}}$${\ displaystyle \ mathrm {Im} (\ tau)> 0}$

Topologicamente, existem apenas três tipos: o plano, o cilindro e o toro . Mas enquanto nos dois primeiros casos a estrutura da superfície (parabólica) de Riemann é única, variar o parâmetro no terceiro caso dá superfícies de Riemann não isomórficas. A descrição pelo parâmetro dá o espaço de Teichmüller de superfícies de Riemann "marcadas" (além da estrutura da superfície de Riemann adiciona-se os dados topológicos de uma "marcação", que pode ser vista como um homeomorfismo fixo ao toro). Para obter o espaço dos módulos analíticos (esquecendo a marcação), toma-se o quociente do espaço de Teichmüller pelo grupo de classes de mapeamento . Neste caso, é a curva modular . ${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ tau}$

Superfícies hiperbólicas de Riemann

Nos casos restantes, é uma superfície de Riemann hiperbólica, que é isomórfica a um quociente do semiplano superior por um grupo fuchsiano (isso às vezes é chamado de modelo fuchsiano para a superfície). O tipo topológico de pode ser qualquer superfície orientável, exceto o toro e a esfera . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Um caso de particular interesse é quando é compacto. Então, seu tipo topológico é descrito por seu gênero . Seu espaço Teichmüller e seu espaço de módulos são dimensionais. Uma classificação semelhante de superfícies de Riemann de tipo finito (que é homeomórfica a uma superfície fechada menos um número finito de pontos) pode ser fornecida. No entanto, em geral, o espaço de módulos das superfícies de Riemann de tipo topológico infinito é muito grande para admitir tal descrição. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle g \ geq 2}$${\ displaystyle 6g-6}$

Mapas entre superfícies de Riemann

A classificação geométrica é refletida em mapas entre superfícies de Riemann, conforme detalhado no teorema de Liouville e no teorema de Little Picard : mapas de hiperbólico a parabólico a elíptico são fáceis, mas os mapas de elíptico a parabólico ou de parabólico a hiperbólico são muito restritos (de fato, geralmente constantes !). Existem inclusões do disco no plano da esfera: mas qualquer mapa holomórfico da esfera para o plano é constante, qualquer mapa holomórfico do plano para o disco unitário é constante (teorema de Liouville), e de fato qualquer mapa holomórfico de o plano no plano menos dois pontos é constante (teorema de Little Picard)! ${\ displaystyle \ Delta \ subset \ mathbf {C} \ subset {\ widehat {\ mathbf {C}}},}$

Esferas perfuradas

Essas afirmações são esclarecidas considerando o tipo de esfera de Riemann com vários furos. Sem furos, é a esfera de Riemann, que é elíptica. Com uma punção, que pode ser colocada no infinito, é o plano complexo, que é parabólico. Com duas punções, é o plano puncionado ou, alternativamente, o anel ou cilindro, que é parabólico. Com três ou mais furos, é hiperbólico - compare as calças . Pode-se mapear de um furo a dois, por meio do mapa exponencial (que é inteiro e tem uma singularidade essencial no infinito, portanto não definido no infinito e perde zero e infinito), mas todos os mapas de zero furos a um ou mais, ou um ou dois furos a três ou mais são constantes. ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {C}}}}$

Espaços de cobertura ramificados

Continuando nessa linha, as superfícies compactas de Riemann podem mapear para superfícies de gêneros inferiores , mas não para gêneros superiores , exceto como mapas constantes. Isso ocorre porque os mapas holomórficos e meromórficos se comportam localmente como mapas não constantes são ramificados cobrindo mapas , e para superfícies de Riemann compactas, eles são limitados pela fórmula de Riemann-Hurwitz na topologia algébrica , que relaciona a característica de Euler de um espaço e uma cobertura ramificada . ${\ displaystyle z \ mapsto z ^ {n},}$

Por exemplo, as superfícies hiperbólicas de Riemann são ramificadas cobrindo espaços da esfera (elas têm funções meromórficas não constantes), mas a esfera não cobre ou mapeia para superfícies de gêneros superiores, exceto como uma constante.

Isometrias de superfícies de Riemann

O grupo de isometria de uma superfície de Riemann uniformizada (equivalentemente, o grupo de automorfismo conforme ) reflete sua geometria:

• gênero 0 - o grupo de isometria da esfera é o grupo Möbius das transformadas projetivas da linha complexa,
• o grupo isométrico do plano é o subgrupo fixando o infinito, e do plano puncionado é o subgrupo que deixa invariante o conjunto contendo apenas infinito e zero: fixando os dois ou trocando-os (1 / z ).
• o grupo de isometria do semiplano superior é o verdadeiro grupo de Möbius; isso é conjugado ao grupo de automorfismo do disco.
• gênero 1 - o grupo de isometria de um toro é em geral translações (como uma variedade Abeliana ), embora a rede quadrada e a rede hexagonal tenham simetrias de adição de rotação em 90 ° e 60 °.
• Para o gênero g ≥ 2, o grupo de isometria é finito, e tem ordem no máximo 84 ( g −1), pelo teorema dos automorfismos de Hurwitz ; as superfícies que realizam esse limite são chamadas de superfícies de Hurwitz.
• É sabido que todo grupo finito pode ser realizado como o grupo completo de isometrias de alguma superfície de Riemann.
  • Para o gênero 2, a ordem é maximizada pela superfície Bolza , com ordem 48.
  • Para o gênero 3, a ordem é maximizada pela quártica de Klein , com ordem 168; esta é a primeira superfície de Hurwitz, e seu grupo de automorfismo é isomórfico ao grupo simples único de ordem 168, que é o segundo menor grupo simples não abeliano. Este grupo é isomórfico tanto ao PSL (2,7) quanto ao PSL (3,2) .
  • Para o gênero 4, a superfície de Bring é uma superfície altamente simétrica.
  • Para o gênero 7, a ordem é maximizada pela superfície de Macbeath , com ordem 504; esta é a segunda superfície de Hurwitz, e seu grupo de automorfismo é isomórfico ao PSL (2,8), o quarto menor grupo simples não abeliano.

Classificação teórica da função

O esquema de classificação acima é normalmente usado por geômetras. Existe uma classificação diferente para as superfícies de Riemann, normalmente usada por analistas complexos. Ele emprega uma definição diferente para "parabólico" e "hiperbólico". Nesse esquema de classificação alternativo, uma superfície de Riemann é chamada de parabólica se não houver funções sub-harmônicas negativas não constantes na superfície e, de outra forma, é chamada de hiperbólica . Esta classe de superfícies hiperbólicas é ainda subdividida em subclasses de acordo com a degeneração de outros espaços de função além das funções sub-harmônicas negativas, por exemplo, superfícies de Riemann nas quais todas as funções holomórficas limitadas são constantes, ou nas quais todas as funções harmônicas limitadas são constantes, ou nas quais todas funções harmônicas positivas são constantes, etc.

Para evitar confusão, chame a classificação baseada em métricas de curvatura constante de classificação geométrica , e aquela baseada em degenerescência de espaços de funções de classificação teórica de funções . Por exemplo, a superfície de Riemann consistindo em "todos os números complexos, exceto 0 e 1" é parabólica na classificação teórica da função, mas é hiperbólica na classificação geométrica.

Veja também

• Dessin d'enfant
• Kähler manifold
• Superfície de Lorentz
• Grupo de classes de mapeamento

Teoremas sobre superfícies de Riemann

• Teorema de Ramificação
• Teorema dos automorfismos de Hurwitz
• Teorema da identidade para superfícies de Riemann
• Teorema de Riemann-Roch
• Fórmula de Riemann-Hurwitz

Notas

Referências

links externos

• "Riemann surface" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]