Círculo Riemanniano - Riemannian circle

Um grande círculo divide a esfera em dois hemisférios iguais

Na teoria do espaço métrico e na geometria Riemanniana , o círculo Riemanniano é um grande círculo equipado com sua distância do grande círculo . É o círculo equipado com sua métrica Riemanniana intrínseca de uma variedade unidimensional compacta de comprimento total 2 π , ou a métrica extrínseca obtida por restrição da métrica intrínseca na esfera, em oposição à métrica extrínseca obtida por restrição do Euclidiano métrica ao círculo unitário no plano . Assim, a distância entre um par de pontos é definida como o comprimento do mais curto dos dois arcos em que o círculo é dividido pelos dois pontos.

Recebeu o nome do matemático alemão Bernhard Riemann .

Propriedades

O diâmetro do círculo Riemanniano é π, em contraste com o valor usual de 2 para o diâmetro euclidiano do círculo unitário.

A inclusão do círculo Riemanniano como o equador (ou qualquer grande círculo ) da 2-esfera de curvatura Gaussiana constante +1, é uma incorporação isométrica no sentido de espaços métricos (não há incorporação isométrica do círculo Riemanniano no espaço de Hilbert nesse sentido).

A conjectura de enchimento de Gromov

Um problema em aberto de longa data, colocado por Mikhail Gromov , diz respeito ao cálculo da área de enchimento do círculo Riemanniano. A área de preenchimento é conjecturada como sendo 2 π , um valor obtido pelo hemisfério de curvatura Gaussiana constante +1.

Referências