Espaço Riesz - Riesz space

Em matemática , um espaço de Riesz , espaço vetorial ordenado por rede ou rede vetorial é um espaço vetorial parcialmente ordenado onde a estrutura de ordem é uma rede .

Os espaços de Riesz têm o nome de Frigyes Riesz, que os definiu pela primeira vez em seu artigo de 1928, Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires .

Os espaços Riesz têm uma vasta gama de aplicações. Eles são importantes na teoria da medida , em que resultados importantes são casos especiais de resultados para Espaços de Riesz. Por exemplo, o teorema Radon-Nikodym segue como um caso especial do teorema espectral de Freudenthal . Os espaços de Riesz também tiveram aplicação na economia matemática por meio do trabalho do economista e matemático grego-americano Charalambos D. Aliprantis .

Definição

Preliminares

Se X é um espaço vetorial ordenado (que por definição é um espaço vetorial sobre os reais ) e se S é um subconjunto de X, então um elemento bX é um limite superior (resp. Limite inferior ) de S se sb ( resp. sb ) para todos ss . Um elemento a em X é o menor limite superior ou supremo (resp. Maior limite inferior ou mínimo ) de S se for um limite superior (resp. Um limite inferior) de S e se for para qualquer limite superior (resp. Qualquer limite inferior ) b de S , temos ab (resp. ab ).

Definições

Estrutura vetorial pré-encomendada

Uma rede vetorial pré- ordenada é um espaço vetorial pré- ordenado E no qual cada par de elementos tem um supremo .

Mais explicitamente, uma rede vetorial pré-ordenada é um espaço vetorial dotado de uma pré - ordem , , tal que para qualquer x , y , zE :

  1. Invariância de translação : xy implica x + zy + z .
  2. Homogeneidade positiva : Para qualquer escalar 0 ≤ α , xy implica αxαy .
  3. Para qualquer par de vetores x , y em E existe um supremo (denotado xy ) em E com respeito à ordem (≤) .

A pré-encomenda, juntamente com os itens 1 e 2, que a tornam "compatível com a estrutura do espaço vetorial", fazem de E um espaço vetorial pré-encomendado. O item 3 diz que a encomenda é uma semilattice de junção . Como a pré-ordem é compatível com a estrutura do espaço vetorial, pode-se mostrar que qualquer par também possui um ínfimo , fazendo com que E também seja uma semilattice de encontro , portanto, uma reticulado.

Um espaço vetorial pré-ordenado E é uma rede vetorial pré-ordenada se e somente se satisfizer qualquer uma das seguintes propriedades equivalentes:

  1. Para qualquer x , yE , o seu supremum existe em E .
  2. Para qualquer x , yE , o seu ínfimo existe em E .
  3. Para qualquer x , yE , o seu ínfimo e sua existir supremum em E .
  4. Para qualquer xE , sup { x , 0} existe.

Espaço de Riesz e redes vetoriais

Um espaço de Riesz ou uma rede vetorial é uma rede vetorial pré- ordenada cuja pré-ordem é uma ordem parcial . Equivalentemente, é um espaço vetorial ordenado para o qual a ordenação é uma rede .

Observe que muitos autores exigiram que uma rede vetorial seja um espaço vetorial parcialmente ordenado (em vez de meramente um espaço vetorial pré- ordenado ), enquanto outros apenas exigem que seja um espaço vetorial pré- ordenado . De agora em diante, assumiremos que todo espaço de Riesz e toda rede vetorial é um espaço vetorial ordenado, mas que uma rede vetorial pré-ordenada não é necessariamente parcialmente ordenada.

Se E é um espaço vectorial ordenadas sobre cuja positivo cone C (os elementos ≥0) está a gerar (isto é, de tal modo que E = C - C ), e se para cada x , yC quer ou existe, então E é um vector de rede .

Intervalos

Um intervalo de ordem em um espaço vetorial parcialmente ordenado é um conjunto convexo da forma [ a , b ] = { x  : axb }. Em um espaço vetorial real ordenado, cada intervalo da forma [- x , x ] é balanceado . Dos axiomas 1 e 2 acima segue que x , y em [ a , b ] e λ em (0,1) implica λ x  + (1 -  λ ) y em [ a , b ]. Um subconjunto é considerado limitado por ordem se estiver contido em algum intervalo de ordem. Uma unidade de pedido de um espaço vetorial pré- ordenado é qualquer elemento x tal que o conjunto [- x , x ] seja absorvente .

O conjunto de todos os funcionais lineares em um espaço vetorial pré -ordenado V que mapeiam cada intervalo de ordem em um conjunto limitado é chamado dual de V e denotado por V b. Se um espaço é ordenado, então seu dual de ordem é um subespaço vetorial de seu dual algébrico .

Um subconjunto Um de um vector de rede E é chamado fim completo se para todos os não-vazia subconjunto BUm tal que B é delimitada em ordem Um , ambos e existem e são elementos da Uma . Dizemos que um vector de rede E é completa ordem é E é um subconjunto completo ordem de E .

Espaços Riesz de dimensão finita

As redes vetoriais de dimensão finita se enquadram em uma de duas categorias, dependendo se a rede é ou não ordenada por Arquimedes .

Teorema : Suponha que X seja uma rede vetorial de dimensão finita n . Se X for arquimediano ordenado, então ele é (uma rede vetorial) isomórfico sob sua ordem canônica. Caso contrário, existe um inteiro k satisfazendo 2 ≤ kn tal que X é isomorfo a onde tem sua ordem canônica, está com a ordem lexicográfica , e o produto desses dois espaços tem a ordem do produto canônico.

Assim como acontece com os espaços vetoriais topológicos de dimensão finita, as redes vetoriais de dimensão finita são desinteressantes.

Propriedades básicas

Todo espaço de Riesz é um espaço vetorial parcialmente ordenado , mas nem todo espaço vetorial parcialmente ordenado é um espaço de Riesz.

Observe que, para qualquer subconjunto A de X , sempre que o supremo ou o ínfimo existir (nesse caso, ambos existem). Se e então . Para todos os a , b , x e y em um espaço de Riesz X , temos a - inf ( x , y ) + b = sup ( a - x + b , a - y + b ).

Valor absoluto

Para cada elemento x em um espaço de Riesz X , o valor absoluto de x , denotado por , é definido como sendo , onde isso satisfaz - | x | ≤ x ≤ | x | e | x | ≥ 0. Para qualquer x e y em X e qualquer número real r , temos e .

Desarticulação

Dizemos que dois elementos x e y em um vector de rede x são disjuntos rede ou disjuntos se , caso em que escrevemos . Dois elementos x e y são disjuntos se e somente se . Se X e Y são disjuntos em seguida, e , em que qualquer elemento para z , e . Dizemos que dois conjuntos A e B são disjuntos se um e b são disjuntos para todos um em A e todo b em B , caso em que escrevemos . Se A for o conjunto de singleton , escreveremos no lugar de . Para qualquer conjunto A , definimos o complemento disjunto como o conjunto . Complementos disjuntos são sempre bandas , mas o inverso não é verdade em geral. Se A é um subconjunto de X tal que existe, e se B é uma rede de subconjunto em X que é disjunta de A , então B é uma rede disjunta de .

Representação como uma soma disjunta de elementos positivos

Para qualquer x em X , deixe e , onde observe que esses dois elementos são e com . Então e são disjuntos, e é a representação única de x como a diferença dos elementos disjuntos que são . Para todos os x e y em X , e . Se y ≥ 0 e xy, então x +y . Além disso, se e somente se e .

Cada espaço de Riesz é uma rede distributiva ; ou seja, tem as seguintes propriedades equivalentes: para todos os x , y e z em X

  1. x ∧ ( yz ) = ( xy ) ∨ ( xz )
  2. x ∨ ( yz ) = ( xy ) ∧ ( xz )
  3. ( x y ) ( y z ) ( z x ) = ( x y ) ( y z ) ( z x ).
  4. x z = y z e x z = y z sempre implicam x = y .

Cada espaço de Riesz tem a propriedade de decomposição de Riesz .

Convergência de pedidos

Existem várias maneiras significativas não equivalentes de definir a convergência de sequências ou redes com relação à estrutura de ordem de um espaço de Riesz. Diz- se que uma sequência { x n } em um espaço de Riesz E converge monotonamente se for uma sequência monótona decrescente (resp. Crescente) e seu ínfimo (supremo) x existe em E e denotado x nx , (resp. X nx ).

Diz-se que uma sequência { x n } em um espaço de Riesz E converge para x se existe uma sequência convergente monótona { p n } em E tal que | x n - x | < p n ↓ 0 .

Se u for um elemento positivo de um espaço de Riesz E então uma seqüência { x n } em E é dita convergir u-uniformemente para x se para qualquer ε > 0 existe um N tal que | x n - x | < Εu para todo n > N .

Subespaços

A estrutura extra fornecida por esses espaços fornece tipos distintos de subespaços de Riesz. A coleção de cada tipo de estrutura em um espaço de Riesz (por exemplo, a coleção de todos os ideais) forma uma rede distributiva .

Sublattices

Se X é um vector de rede, em seguida, uma subrede vector é um vector de subespaço F de X de tal modo que para todos os x e y em F , pertence ao F (onde este supremum é tomado em X ). Pode acontecer que um subespaço F de X é uma rede vector sob sua ordem canônica, mas é não uma subrede vetor de X .

Ideais

Um subespaço vetorial I de um espaço de Riesz E é chamado de ideal se for sólido , o que significa que se para f   ∈ I e gE , temos: | g | ≤ | f  | implica que gI . A intersecção de uma colecção arbitrária de ideais é novamente um ideal, o que permite a definição de um menor ideal contendo alguns subconjuntos não vazios Um dos E , e é chamado o ideal gerado por um . Um ideal gerado por um singleton é chamado de ideal principal .

Bandas e σ -Ideals

Uma banda B em um espaço de Riesz E é definida como um ideal com a propriedade extra, que para qualquer elemento f em E para o qual seu valor absoluto | f  | é o supremo de um subconjunto arbitrário de elementos positivos em B , que f é, na verdade, em B . σ - Os ideais são definidos de forma semelhante, com as palavras 'subconjunto arbitrário' substituídas por 'subconjunto contável'. Claramente, cada banda é um σ -ideal, mas o inverso não é verdade em geral.

A interseção de uma família arbitrária de bandas é novamente uma banda. Tal como acontece com ideais, para cada subconjunto não-vazia Um dos E , existe um menor banda contendo esse subconjunto, chamado a banda gerada por um . Uma banda gerada por um singleton é chamada de banda principal .

Bandas de projeção

Uma banda B em um espaço de Riesz é chamada de banda de projeção , se E = BB , significando que cada elemento f em E , pode ser escrito exclusivamente como uma soma de dois elementos, f = u + v , com u em B e v em B . Então também existe uma idempotente linear positiva, ou projeção , P B  : EE , tal que P B (  f  ) = u .

A coleção de todas as bandas de projeção em um espaço de Riesz forma uma álgebra booleana . Alguns espaços não possuem bandas de projeção não triviais (por exemplo, C ([0, 1]) ), então esta álgebra booleana pode ser trivial.

Integridade

Uma rede vetorial estará completa se cada subconjunto tiver um supremo e um mínimo.

Uma rede vetorial é Dedekind completa se cada conjunto com um limite superior tiver um supremo e cada conjunto com um limite inferior tiver um mínimo.

Uma rede vetorial de ordem completa, regularmente ordenada, cuja imagem canônica em sua ordem bidual é ordem completa é chamada de mínima e é considerada do tipo mínimo .

Subespaços, quocientes e produtos

Sublattices

Se M é um subespaço vetorial de um espaço vetorial pré- ordenado X, então a ordenação canônica em M induzida pelo cone positivo de X C é a pré-ordenação induzida pelo cone convexo pontiagudo C  ∩  M , onde este cone é adequado se C for adequado (ou seja, if ( C ∩- C = ∅).

A subrede de um vector de rede X é um vector subespaço M de X de tal modo que para todos os x e y em H , sup X ( x , y ) pertence a X (importante, nota que esta supremum é tomado em X e não em M ) . Se X = com 0 <p <1, então o 2-dimensional vector subespaço M de X definido por todos os mapas da forma ( um , b ∈ ) é uma estrutura do vector sob a fim induzida, mas é não uma subrede de X . Isso apesar de X ser uma rede vetorial topológica ordenada arquimediana completa . Além disso, existem vector um vector subrede N deste espaço X de tal forma que NC tem interior vazio em X , mas nenhuma função linear positiva em N pode ser estendido para uma função linear positiva em X .

Redes de quociente

Seja M um subespaço vetorial de um espaço vetorial ordenado X com cone positivo C , seja a projeção canônica e seja . Em seguida, é um cone em X / M , que induz uma preordering canónica no espaço quociente X / M . Se for um cone apropriado em X / M, então transforma X / M em um espaço vetorial ordenado. Se H é C saturados , em seguida, define a ordem canónica de X / M . Observe que fornece um exemplo de um espaço vetorial ordenado onde não é um cone adequado.

Se X é uma rede vetorial e N é um subespaço vetorial sólido de X, então define a ordem canônica de X / M sob a qual L / M é uma rede vetorial e o mapa canônico é um homomorfismo de rede vetorial. Além disso, se X está em ordem completa e M é uma banda em X, então X / M é isomórfico com M . Além disso, se M é sólido, em seguida, a topologia da ordem de X / M é o quociente entre a topologia de pedido no X .

Se X é uma rede vetorial topológica e M é uma sub- rede sólida fechada de X, então X / L também é uma rede vetorial topológica.

produtos

Se S for qualquer conjunto, então o espaço X S de todas as funções de S em X é canonicamente ordenado pelo cone apropriado .

Suponha que seja uma família de espaços vetoriais pré-ordenados e que o cone positivo de seja . Em seguida, é um cone convexo pontiagudo em , que determina um ordenamento canônico sobre ; C é um cone adequado se todos forem cones adequados.

Soma direta algébrica

A soma direta algébrica de é um subespaço vetorial de que é dada a ordem canônica de subespaço herdada de . Se X 1 , ..., X n são subespaços vetoriais ordenados de um espaço vetorial ordenado X, então X é a soma direta ordenada desses subespaços se o isomorfismo algébrico canônico de X sobre (com a ordem de produto canônico) é um isomorfismo de ordem .

Espaços de mapas lineares

Diz-se que um cone C em um espaço vetorial X está sendo gerado se C  -  C for igual a todo o espaço vetorial. Se X e W são dois espaços vetoriais ordenados não triviais com respectivos cones positivos P e Q , então P está gerando em X se e somente se o conjunto for um cone próprio em L ( X ; W ), que é o espaço de todos linear mapeia a partir de X em W . Nesse caso, a ordem definida por C é chamada de ordem canônica de L ( X ; W ). De modo mais geral, se M é qualquer subespaço vector de L ( X ; W ) de tal modo que CM é um cone adequada, a ordem definida por CH é chamado o ordenação canónica de M .

Um mapa linear u entre dois espaços vector encomendado X e Y com os respectivos cones positivos C e D é chamado positivo se u ( C ) ⊆ D . Se X e Y são redes vetoriais com ordem Y completa e se H é o conjunto de todos os mapas lineares positivos de X para Y, então o subespaço M  : = H - H de L ( X ; Y ) é uma rede vetorial completa de ordem sob sua ordem canônica; Além disso, M contém exactamente aqueles mapas lineares que os intervalos de ordem do mapa de X em intervalos pedidos de Y .

Funcionais positivos e a ordem dual

Uma função linear f em um espaço vectorial pre-ordenado é chamado positiva se x ≥ 0 implica f ( x ) ≥ 0. O conjunto de todas as formas lineares positivas num espaço vectorial, denotados por , é um cone igual ao polar de - C . A ordem dual de um espaço vetorial ordenado X é o conjunto, denotado por , definido por . Embora existam espaços vetoriais ordenados para os quais a igualdade de conjuntos não é válida.

Homomorfismo de rede vetorial

Suponha-se que X e Y são reticulados encomendado vector com cones positivos C e D e deixar u ser um mapa de X para Y . Então u é um homomorfismo de rede vetorial pré-ordenado se u for linear e se qualquer uma das seguintes condições equivalentes se mantiver:

  1. você preserva as operações de rede
  2. u (sup { x , y }) = sup { u ( x ), u ( y )} para todo x , yX
  3. u (inf { x , y }) = inf { u ( x ), u ( y )} para todo x , yX
  4. u (| x |) = sup { u ( x + ), u ( x - )} para todo xX
  5. 0 = inf { u ( x + ), u ( x - )} para todo xX
  6. u ( C ) = D e L -1 (0) é um sólido subconjunto de X .
  7. se x ≥ 0 então u ( x ) ≥ 0.
  8. u está preservando a ordem.

Um homomorfismo de rede vetorial pré-ordenado que é bijetivo é um isomorfismo de rede vetorial pré-ordenado .

Um homomorfismo de rede vetorial pré-ordenado entre dois espaços de Riesz é chamado de homomorfismo de rede vetorial ; se também for bijetivo, então é chamado de isomorfismo de rede vetorial .

Se u for um funcional linear não-0 em uma rede vetorial X com cone positivo C, então os seguintes são equivalentes:

  1. u  : X é um homomorfismo de rede vetorial sobrejetiva.
  2. 0 = inf { u ( x + ), u ( x - )} para todo xX
  3. u = 0 e u -1 (0) é um sólido hiperplana em X .
  4. u ' gera um raio extremo do cone C * em X *

Lembre-se de que um raio extremo do cone C é um conjunto { rx  : r ≥ 0} onde xC , x é não-0, e se yC é tal que x - yC então y = sx para algum s de modo que 0 ≤ s ≤ 1.

Um homomorfismo de rede vetorial de X para Y é um homomorfismo topológico quando X e Y recebem suas respectivas topologias de ordem .

Propriedades de projeção

Existem inúmeras propriedades de projeção que os espaços de Riesz podem ter. Diz-se que um espaço de Riesz tem a propriedade de projeção (principal) se cada banda (principal) for uma banda de projeção.

O chamado teorema da inclusão principal relaciona as seguintes propriedades adicionais à propriedade de projeção (principal): Um espaço de Riesz é ...

  • Dedekind Completo (CD) se todo conjunto não vazio, limitado acima, tiver um supremo ;
  • Super Dedekind Complete (SDC) se cada conjunto não vazio, limitado acima, tiver um subconjunto contável com supremo idêntico;
  • Dedekind σ -completo se todo conjunto não-vazio contável, limitado acima, tiver um supremo; e
  • Propriedade de Arquimedes se, para cada par de elementos positivos de x e y , existe um inteiro n tal que nxy .

Então, essas propriedades são relacionadas da seguinte maneira. SDC implica DC; DC implica tanto a completude σ de Dedekind quanto a propriedade de projeção; A completude σ de Dedekind e a propriedade de projeção separadamente implicam na propriedade de projeção principal; e a propriedade de projeção principal implica a propriedade de Arquimedes .

Nenhuma das implicações reversas é válida, mas a completude σ de Dedekind e a propriedade de projeção juntas implicam em DC.

Exemplos

  • O espaço de funções contínuas de valor real com suporte compacto em um espaço topológico X com a ordem parcial pontual definida por f   ≤ g quando f  ( x ) ≤ g ( x ) para todo x em X , é um espaço de Riesz. É arquimediano, mas geralmente não tem a propriedade de projeção principal, a menos que X satisfaça outras condições (por exemplo, sendo extremamente desconectado ).
  • Qualquer L p com a ordem parcial pontual ( quase em todos os lugares ) é um espaço de Riesz completo de Dedekind.
  • O espaço R 2 com a ordem lexicográfica é um espaço de Riesz não arquimediano.

Propriedades

Veja também

Referências

  1. ^ a b c Narici & Beckenstein 2011 , pp. 139–153.
  2. ^ a b c d e f g h i Schaefer & Wolff 1999 , pp. 74-78.
  3. ^ a b c d e f g h i j k l m n o Schaefer & Wolff 1999 , pp. 205–209.
  4. ^ a b c d e f g h Schaefer & Wolff 1999 , pp. 204–214.
  5. ^ a b c d e f g h i j k Schaefer & Wolff 1999 , pp. 250–257.
  6. ^ Birkhoff, Garrett (1967). Teoria da Malha . Publicações do Colloquium (3ª ed.). American Mathematical Society. p. 11. ISBN 0-8218-1025-1. §6, Teorema 9
  7. ^ Para elementos individuais x , y , z , por exemplo, a primeira equação pode ser violada, mas a segunda pode ser válida; veja aimagemN 5 para um exemplo.
  8. ^ a b Schaefer & Wolff 1999 , pp. 205–214.
  9. ^ Luxemburgo, WAJ; Zaanen, AC (1971). Riesz Spaces: Vol. 1 . Londres: Holanda do Norte. pp. 122–138. ISBN 0720424518. Página visitada em 8 de janeiro de 2018 .

Bibliografia

links externos