Pentágono Robbins - Robbins pentagon

Problema não resolvido em matemática :

Um pentágono de Robbins pode ter diagonais irracionais?

Um pentágono Robbins com área de 13.104
Um pentágono Robbins com área de 7392

Em geometria , um pentágono de Robbins é um pentágono cíclico cujos comprimentos laterais e área são todos números racionais .

História

Robbins pentágonos foram nomeados por Buchholz & MacDougall (2008) depois de David P. Robbins , que tinha previamente determinado de uma fórmula para a área de um pentágono cíclico como uma função dos seus comprimentos das arestas. Buchholz e MacDougall escolher este nome, por analogia com a nomenclatura de triângulos Heron após herói de Alexandria , o inventor da fórmula de Heron para a área de um triângulo como uma função dos seus comprimentos das arestas.

Área e perímetro

Cada pentágono Robbins pode ser escalado de forma que seus lados e área sejam inteiros. Mais fortemente, Buchholz e MacDougall mostraram que se os comprimentos dos lados são todos inteiros e a área é racional, então a área é necessariamente também um número inteiro e o perímetro é necessariamente um número par .

Diagonais

Buchholz e MacDougall também mostraram que, em cada pentágono de Robbins, ou todas as cinco diagonais internas são números racionais ou nenhuma delas é. Se as cinco diagonais são racionais (o caso denominado pentágono Brahmagupta por Sastry (2005) ), então o raio de seu círculo circunscrito também deve ser racional, e o pentágono pode ser dividido em três triângulos Heron, cortando-o ao longo de quaisquer dois não cruzando diagonais, ou em cinco triângulos Heron, cortando-o ao longo dos cinco raios do centro do círculo até seus vértices.

Buchholz e MacDougall realizaram pesquisas computacionais para pentágonos de Robbins com diagonais irracionais, mas não conseguiram encontrar nenhum. Com base neste resultado negativo, eles sugeriram que pentágonos de Robbins com diagonais irracionais podem não existir.

Referências

  • Buchholz, Ralph H .; MacDougall, James A. (2008), "Cyclic polygons with racionais side and area" , Journal of Number Theory , 128 (1): 17-48, doi : 10.1016 / j.jnt.2007.05.005 , MR  2382768.
  • Robbins, David P. (1994), "Areas of polygons inscribed in a circle", Discrete and Computational Geometry , 12 (2): 223-236, doi : 10.1007 / BF02574377 , MR  1283889
  • Robbins, David P. (1995), "Areas of polygons inscritas em um círculo", The American Mathematical Monthly , 102 (6): 523-530, doi : 10.2307 / 2974766 , JSTOR  2974766 , MR  1336638.
  • Sastry, KRS (2005), "Construction of Brahmagupta n-gons" (PDF) , Forum Geometricorum , 5 : 119-126 , MR  2195739.