Teorema de Rokhlin - Rokhlin's theorem

Na topologia 4-dimensional, um ramo da matemática, o teorema de Rokhlin afirma que se uma variedade 4 lisa e fechada M tem uma estrutura de spin (ou, equivalentemente, a segunda classe de Stiefel-Whitney desaparece), então a assinatura de sua forma de interseção , uma forma quadrática no segundo grupo de cohomologia , é divisível por 16. O teorema é nomeado para Vladimir Rokhlin , que o provou em 1952. ${\ displaystyle w_ {2} (M)}$ ${\ displaystyle H ^ {2} (M)}$

Exemplos

• O formulário de interseção em M

${\ displaystyle Q_ {M} \ dois pontos H ^ {2} (M, \ mathbb {Z}) \ vezes H ^ {2} (M, \ mathbb {Z}) \ rightarrow \ mathbb {Z}}$

é unimodular sobre por Poincaré dualidade , e o desaparecimento da implica que a forma interseção é mesmo. Por um teorema de Cahit Arf , qualquer rede unimodular tem assinatura divisível por 8, então o teorema de Rokhlin força um fator extra de 2 para dividir a assinatura. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle w_ {2} (M)}$

• Uma superfície K3 é compacta, 4 dimensional e desaparece, e a assinatura é −16, então 16 é o melhor número possível no teorema de Rokhlin. ${\ displaystyle w_ {2} (M)}$
• Uma superfície complexa em grau é spin se, e somente se, for uniforme. Tem assinatura , que pode ser visto a partir Friedrich Hirzebruch 's assinatura teorema . O case mostra o último exemplo de uma superfície K3 . ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {3}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle (4-d ^ {2}) d / 3}$${\ displaystyle d = 4}$
• A variedade E8 de Michael Freedman é uma variedade topológica compacta simplesmente conectada com desaparecimento e forma de interseção da assinatura 8. O teorema de Rokhlin implica que esta variedade não tem estrutura suave . Esta variedade mostra que o teorema de Rokhlin falha para o conjunto de variedades meramente topológicas (ao invés de suaves). ${\ displaystyle w_ {2} (M)}$${\ displaystyle E_ {8}}$
• Se a variedade M é simplesmente conectada (ou mais geralmente se o primeiro grupo de homologia não tem 2-torção), então o desaparecimento de é equivalente ao fato de a forma de interseção ser par. Isso não é verdade em geral: uma superfície de Enriques é uma variedade 4 lisa e compacta e tem forma de interseção II _1,9 de assinatura −8 (não divisível por 16), mas a classe não desaparece e é representada por um elemento de torção em o segundo grupo de cohomologia. ${\ displaystyle w_ {2} (M)}$${\ displaystyle w_ {2} (M)}$

Provas

O teorema de Rokhlin pode ser deduzido do fato de que o terceiro grupo de esferas de homotopia estável é cíclico de ordem 24; esta é a abordagem original de Rokhlin. ${\ displaystyle \ pi _ {3} ^ {S}}$

Também pode ser deduzido do teorema do índice Atiyah – Singer . Veja  gênero e teorema de Rochlin .

Robion Kirby  ( 1989 ) dá uma prova geométrica.

O invariante de Rokhlin

Uma vez que o teorema de Rokhlin afirma que a assinatura de uma variedade suave de spin é divisível por 16, a definição do invariante de Rohkhlin é deduzida da seguinte forma:

Para 3-colector e uma estrutura de rotação em , o invariante Rokhlin em é definido como sendo a assinatura de qualquer rotação compacto 4-colector suave com limite de rotação . ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ mu (N, s)}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 16 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle (N, s)}$

Se N é uma rotação de 3 colector, então ele delimita uma rotação 4-colector M . A assinatura do M é divisível por 8, e uma aplicação fácil de shows teorema de Rokhlin que seu valor mod 16 depende apenas de N e não na escolha de M . As 3 esferas de homologia têm uma estrutura de spin única , então podemos definir o invariante de Rokhlin de uma esfera 3 de homologia como o elemento de , onde M qualquer variedade de spin 4 limitando a esfera de homologia. ${\ displaystyle \ operatorname {sign} (M) / 8}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2Z}$

Por exemplo, a esfera de homologia de Poincaré delimita uma variedade de spin 4 com forma de interseção , então seu invariante de Rokhlin é 1. Este resultado tem algumas consequências elementares: a esfera de homologia de Poincaré não admite um encaixe suave , nem limita uma variedade de Mazur . ${\ displaystyle E_ {8}}$${\ displaystyle S ^ {4}}$

De modo mais geral, se N é uma rotação 3-colector (por exemplo, qualquer esfera de homologia), então a assinatura de qualquer rotação 4-colector M com limite de N é bem definido mod 16, e é chamado o invariante Rokhlin de N . Em uma topológica 3-colector de N , o invariante Rokhlin generalizada refere-se à função cujo domínio é as estruturas de spin em N , e que avalia a invariante Rokhlin do par , onde s é uma estrutura de rotação em N . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle (N, s)}$

O invariante de Rokhlin de M é igual à metade do mod 2 invariante de Casson . O invariante de Casson é visto como a elevação avaliada em Z do invariante de Rokhlin de homologia integral 3-esfera.

Generalizações

O teorema de Kervaire-Milnor ( Kervaire & Milnor 1960 ) afirma que se é uma esfera característica em uma variedade compacta de 4 M , então erro harv: sem alvo: CITEREFKervaireMilnor1960 ( ajuda ) ${\ displaystyle \ Sigma}$

${\ displaystyle \ operatorname {assinatura} (M) = \ Sigma \ cdot \ Sigma {\ bmod {1}} 6}$ .

Uma esfera característica é uma esfera 2 embutida cuja classe de homologia representa a classe Stiefel-Whitney . Se desaparecer, podemos considerar qualquer esfera pequena, que tem autointerseção número 0, então segue o teorema de Rokhlin. ${\ displaystyle w_ {2} (M)}$${\ displaystyle w_ {2} (M)}$${\ displaystyle \ Sigma}$

O teorema de Freedman-Kirby ( Freedman & Kirby 1978 ) afirma que se é uma superfície característica em uma variedade compacta de 4 M , então erro harv: sem alvo: CITEREFFreedmanKirby1978 ( ajuda ) ${\ displaystyle \ Sigma}$

${\ displaystyle \ operatorname {assinatura} (M) = \ Sigma \ cdot \ Sigma +8 \ operatorname {Arf} (M, \ Sigma) {\ bmod {1}} 6}$ .

onde está o invariante Arf de uma certa forma quadrática diante . Este invariante de Arf é obviamente 0 se for uma esfera, então o teorema de Kervaire-Milnor é um caso especial. ${\ displaystyle \ operatorname {Arf} (M, \ Sigma)}$${\ displaystyle H_ {1} (\ Sigma, \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ Sigma}$

Uma generalização do teorema de Freedman-Kirby para variedades topológicas (em vez de suaves) afirma que

${\ displaystyle \ operatorname {assinatura} (M) = \ Sigma \ cdot \ Sigma +8 \ operatorname {Arf} (M, \ Sigma) +8 \ operatorname {ks} (M) {\ bmod {1}} 6}$ ,

onde é o invariante de Kirby-Siebenmann de M . O invariante Kirby-Siebenmann de M é 0 se M for suave. ${\ displaystyle \ operatorname {ks} (M)}$

Armand Borel e Friedrich Hirzebruch provaram o seguinte teorema: Se X é uma variedade de spin compacto e suave de dimensão divisível por 4, então o gênero  é um inteiro, e é mesmo que a dimensão de X seja 4 mod 8. Isso pode ser deduzido do Teorema do índice de Atiyah-Singer : Michael Atiyah e Isadore Singer mostraram que o gênero  é o índice do operador Atiyah-Singer, que é sempre integral, e está mesmo nas dimensões 4 mod 8. Para uma variedade 4-dimensional, a assinatura Hirzebruch O teorema mostra que a assinatura é −8 vezes o  gênero, portanto, na dimensão 4, isso implica o teorema de Rokhlin.

Ochanine (1980) provou que se X é uma variedade de spin suave orientada compacta de dimensão 4 mod 8, então sua assinatura é divisível por 16. erro harvtxt: sem alvo: CITEREFOchanine1980 ( ajuda )

Referências

• Freedman, Michael ; Kirby, Robion , "Uma prova geométrica do teorema de Rochlin", em: topologia algébrica e geométrica (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Parte 2, pp. 85-97, Proc . Simpósio Pure Math., XXXII, Amer. Matemática. Soc., Providence, RI, 1978. MR 0520525 ISBN   0-8218-1432-X
• Kirby, Robion (1989), The topology of 4-manifolds , Lecture Notes in Mathematics, 1374 , Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0089031 , ISBN   0-387-51148-2 , MR   1001966
• Kervaire, Michel A .; Milnor, John W. , "números de Bernoulli, grupos de homotopia e um teorema de Rohlin", 1960 Proc. Internat. Congress Math. 1958, pp. 454–458, Cambridge University Press , Nova York. MR 0121801
• Kervaire, Michel A .; Milnor, John W. , On 2-spheres in 4-manifolds. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 47 (1961), 1651-1657. MR 0133134
• Matsumoto, Yoichirou (1986). "Uma prova elementar do teorema da assinatura de Rochlin e sua extensão por Guillou e Marin" (PDF) . Citar diário requer |journal= ( ajuda )
• Michelsohn, Marie-Louise ; Lawson, H. Blaine (1989), Spin geometry , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN   0-691-08542-0 , MR   1031992 (especialmente página 280)
• Ochanine, Serge, "Signature modulo 16, invariants de Kervaire généralisés et nombres caractéristiques dans la K-théorie réelle", Mém. Soc. Matemática. França 1980/81, no. 5, 142 pp. MR 1809832
• Rokhlin, Vladimir A. , Novos resultados na teoria das variedades quadridimensionais , Doklady Acad. Nauk. SSSR (NS) 84 (1952) 221–224. MR 0052101
• Scorpan, Alexandru (2005), The wild world of 4-manifolds , American Mathematical Society , ISBN   978-0-8218-3749-8 , MR   2136212 .
• Szűcs, András (2003), "Two Theorems of Rokhlin", Journal of Mathematical Sciences , 113 (6): 888–892, doi : 10.1023 / A: 1021208007146 , MR   1809832