Lema de Rokhlin - Rokhlin lemma

Em matemática, o lema de Rokhlin ou lema de Kakutani – Rokhlin é um resultado importante na teoria ergódica . Ele afirma que uma medida aperiódica preservando o sistema dinâmico pode ser decomposta em uma torre alta arbitrária de conjuntos mensuráveis ​​e um resto de medida arbitrariamente pequena. Foi provado por Vladimir Abramovich Rokhlin e independentemente por Shizuo Kakutani . O lema é usado extensivamente na teoria ergódica, por exemplo na teoria de Ornstein e tem muitas generalizações.

Terminologia

O lema de Rokhlin pertence aos enunciados matemáticos do grupo, como o lema de Zorn na teoria dos conjuntos e o lema de Schwarz na análise complexa, que são tradicionalmente chamados de lemas, apesar do fato de seus papéis em seus respectivos campos serem fundamentais.

Declaração do lema

Lema: Let Ser uma transformação preservadora de medida invertível em um espaço de medida padrão com . Assumimos que é (mensuravelmente) aperiódico , ou seja, o conjunto de pontos periódicos para tem medida zero. Então, para cada inteiro e para cada , existe um conjunto mensurável tal que os conjuntos são disjuntos aos pares e tal .

Um reforço útil do lema afirma que dada uma partição mensurável finita , então pode ser escolhida de forma que e sejam independentes para todos .

Uma versão topológica do lema

Let Ser um sistema dinâmico topológico consistindo de um espaço métrico compacto e um homeomorfismo . O sistema dinâmico topológico é denominado mínimo se não tiver subconjuntos invariantes fechados não vazios adequados. É chamado (topologicamente) aperiódico se não tiver pontos periódicos ( para alguns e implica ). Um sistema dinâmico topológico é chamado de fator de se existe um mapeamento sobrejetivo contínuo que é equivariante , ou seja, para todos .

Elon Lindenstrauss provou o seguinte teorema:

Teorema: Seja um sistema topológico dinâmico que possui um fator aperiódico mínimo. Então, para o inteiro, há uma função contínua, de modo que o conjunto satisfaz são disjuntos aos pares.

Gutman provou o seguinte teorema:

Teorema: Seja um sistema dinâmico topológico que possui um fator aperiódico com a propriedade de contorno pequeno . Então, para cada , existe uma função contínua tal que o conjunto satisfaz , onde denota capacidade orbital .

Outras generalizações

  • Existem versões para transformações de preservação de medidas não invertíveis.
  • Donald Ornstein e Benjamin Weiss provaram uma versão para ações livres por grupos contáveis ​​discretos e receptivos .
  • Carl Linderholm provou ser uma versão para transformações não singulares periódicas.

Referências

Notas

  • Vladimir Rokhlin . Uma transformação "geral" que preserva a medida não está se misturando . Doklady Akademii Nauk SSSR (NS), 60: 349–351, 1948.
  • Shizuo Kakutani . Transformações de preservação de medida induzidas . Proc. Criança levada. Acad. Tóquio, 19: 635–641, 1943.
  • Benjamin Weiss . Sobre o trabalho de VA Rokhlin na teoria ergódica . Ergodic Theory and Dynamical Systems , 9 (4): 619–627, 1989.
  • Isaac Kornfeld. Algumas torres Rokhlin antigas e novas . Contemporary Mathematics, 356: 145, 2004.

Veja também

O lema de Rokhlin não deve ser confundido com o teorema de Rokhlin .