Rotação em torno de um eixo fixo - Rotation around a fixed axis

Esfera girando em torno de um de seus diâmetros

A rotação em torno de um eixo fixo é um caso especial de movimento rotacional . A hipótese do eixo fixo exclui a possibilidade de um eixo mudar sua orientação e não pode descrever fenômenos como oscilação ou precessão . De acordo com o teorema da rotação de Euler, a rotação simultânea ao longo de vários eixos estacionários ao mesmo tempo é impossível; se duas rotações são forçadas ao mesmo tempo, um novo eixo de rotação aparecerá.

Este artigo assume que a rotação também é estável, de forma que nenhum torque é necessário para mantê-la funcionando. A cinemática e a dinâmica de rotação em torno de um eixo fixo de um corpo rígido são matematicamente muito mais simples do que as da rotação livre de um corpo rígido ; eles são inteiramente análogos aos do movimento linear ao longo de uma única direção fixa, o que não é verdade para a rotação livre de um corpo rígido . As expressões para a energia cinética do objeto e para as forças nas partes do objeto também são mais simples para a rotação em torno de um eixo fixo do que para o movimento rotacional geral. Por essas razões, a rotação em torno de um eixo fixo é normalmente ensinada em cursos introdutórios de física depois que os alunos dominam o movimento linear ; a generalidade total do movimento rotacional geralmente não é ensinada nas aulas introdutórias de física.

Translação e rotação

Um exemplo de rotação. Cada parte do motor sem- fim - tanto o sem-fim quanto a engrenagem do sem-fim - gira em seu próprio eixo.

Um corpo rígido é um objeto de extensão finita em que todas as distâncias entre as partículas componentes são constantes. Nenhum corpo verdadeiramente rígido existe; forças externas podem deformar qualquer sólido. Para nossos propósitos, então, um corpo rígido é um sólido que requer grandes forças para deformá-lo de forma apreciável.

Uma mudança na posição de uma partícula no espaço tridimensional pode ser completamente especificada por três coordenadas. Uma mudança na posição de um corpo rígido é mais complicada de descrever. Pode ser considerado uma combinação de dois tipos distintos de movimento: movimento translacional e movimento circular.

O movimento puramente translacional ocorre quando todas as partículas do corpo têm a mesma velocidade instantânea que todas as outras partículas; então, o caminho traçado por qualquer partícula é exatamente paralelo ao caminho traçado por todas as outras partículas do corpo. Sob o movimento de translação, a mudança na posição de um corpo rígido é especificada completamente por três coordenadas, como x , y e z, dando o deslocamento de qualquer ponto, como o centro de massa, fixado ao corpo rígido.

O movimento puramente rotacional ocorre se cada partícula do corpo se mover em um círculo em torno de uma única linha. Essa linha é chamada de eixo de rotação. Então, os vetores de raio do eixo para todas as partículas sofrem o mesmo deslocamento angular ao mesmo tempo. O eixo de rotação não precisa passar pelo corpo. Em geral, qualquer rotação pode ser especificada completamente pelos três deslocamentos angulares em relação aos eixos de coordenadas retangulares x , y e z . Qualquer mudança na posição do corpo rígido é assim completamente descrita por três coordenadas translacionais e três coordenadas rotacionais.

Qualquer deslocamento de um corpo rígido pode ser obtido submetendo primeiro o corpo a um deslocamento seguido de uma rotação ou, inversamente, a uma rotação seguida de um deslocamento. Já sabemos que para qualquer coleção de partículas - seja em repouso em relação uma à outra, como em um corpo rígido, ou em movimento relativo, como os fragmentos explodindo de uma casca, a aceleração do centro de massa é dada por

onde M é a massa total do sistema e a cm é a aceleração do centro de massa. Resta descrever a rotação do corpo em torno do centro de massa e relacioná-la com as forças externas que atuam sobre o corpo. A cinemática e a dinâmica do movimento de rotação em torno de um único eixo assemelham-se à cinemática e à dinâmica do movimento de translação; o movimento rotacional em torno de um único eixo tem até um teorema da energia de trabalho análogo ao da dinâmica das partículas.

Cinemática

Deslocamento angular

Uma partícula se move em um círculo de raio . Tendo movido um comprimento de arco , sua posição angular é relativa à sua posição original, onde .

Em matemática e física, é convencional usar radianos de unidade natural em vez de graus ou revoluções . As unidades são convertidas da seguinte forma:

Um deslocamento angular é uma mudança na posição angular:

onde é o deslocamento angular, é a posição angular inicial e é a posição angular final.

Velocidade angular

A mudança no deslocamento angular por unidade de tempo é chamada de velocidade angular com direção ao longo do eixo de rotação. O símbolo para velocidade angular é e as unidades são tipicamente rad s -1 . A velocidade angular é a magnitude da velocidade angular.

A velocidade angular instantânea é dada por

Usando a fórmula para a posição angular e deixando , temos também

onde está a velocidade de translação da partícula.

Velocidade angular e frequência estão relacionadas por

.

Aceleração angular

Uma mudança na velocidade angular indica a presença de uma aceleração angular no corpo rígido, normalmente medida em rad s -2 . A aceleração angular média ao longo de um intervalo de tempo Δ t é dada por

A aceleração instantânea α ( t ) é dada por

Assim, a aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular, assim como a aceleração é a taxa de variação da velocidade.

A aceleração translacional de um ponto em rotação do objeto é dada por

onde r é o raio ou distância do eixo de rotação. Este também é o componente tangencial da aceleração: é tangencial à direção de movimento do ponto. Se este componente for 0, o movimento é um movimento circular uniforme e a velocidade muda apenas na direção.

A aceleração radial (perpendicular à direção do movimento) é dada por

.

É direcionado para o centro do movimento de rotação e é freqüentemente chamado de aceleração centrípeta .

A aceleração angular é causada pelo torque , que pode ter um valor positivo ou negativo de acordo com a convenção de frequência angular positiva e negativa. A proporção de torque e aceleração angular (como é difícil para iniciar, parar, ou alterar de outra forma de rotação) é dada pelo momento de inércia : .

Equações da cinemática

Quando a aceleração angular é constante, as cinco grandezas de deslocamento angular , velocidade angular inicial , velocidade angular final , aceleração angular e tempo podem ser relacionadas por quatro equações da cinemática :

Dinâmica

Momento de inércia

O momento de inércia de um objeto, simbolizado por I , é uma medida da resistência do objeto às mudanças em sua rotação. O momento de inércia é medido em quilograma metro² (kg m 2 ). Depende da massa do objeto: aumentar a massa de um objeto aumenta o momento de inércia. Também depende da distribuição da massa: distribuir a massa mais longe do centro de rotação aumenta o momento de inércia em um grau maior. Para uma única partícula de massa a uma distância do eixo de rotação, o momento de inércia é dado por

Torque

Torque é o efeito de torção de uma força F aplicada a um objeto em rotação que está na posição r de seu eixo de rotação. Matematicamente,

onde × denota o produto vetorial . Um torque líquido agindo sobre um objeto irá produzir uma aceleração angular do objeto de acordo com

assim como F = m a na dinâmica linear.

O trabalho realizado por um torque atuando em um objeto é igual à magnitude do torque vezes o ângulo através do qual o torque é aplicado:

A potência de um torque é igual ao trabalho realizado pelo torque por unidade de tempo, portanto:

Momento angular

O momento angular é uma medida da dificuldade de colocar um objeto em rotação para descansar. É dado por

para todas as partículas no objeto.

O momento angular é o produto do momento de inércia e da velocidade angular:

assim como p = m v na dinâmica linear.

O equivalente ao momento linear no movimento rotacional é o momento angular. Quanto maior o momento angular do objeto giratório, como um pião, maior será sua tendência de continuar girando.

O momento angular de um corpo em rotação é proporcional à sua massa e à velocidade com que ele está girando. Além disso, o momento angular depende de como a massa é distribuída em relação ao eixo de rotação: quanto mais longe a massa estiver do eixo de rotação, maior será o momento angular. Um disco plano, como uma mesa giratória de disco, tem menos momento angular do que um cilindro oco com a mesma massa e velocidade de rotação.

Como o momento linear, o momento angular é uma quantidade vetorial e sua conservação implica que a direção do eixo de rotação tende a permanecer inalterada. Por esta razão, o pião permanece em pé, enquanto que um estacionário cai imediatamente.

A equação do momento angular pode ser usada para relacionar o momento da força resultante em um corpo em torno de um eixo (às vezes chamado de torque) e a taxa de rotação em torno desse eixo.

Torque e momento angular estão relacionados de acordo com

assim como F = d p / dt na dinâmica linear. Na ausência de um torque externo, o momento angular de um corpo permanece constante. A conservação do momento angular é notavelmente demonstrada na patinação artística : ao puxar os braços para mais perto do corpo durante um giro, o momento de inércia é diminuído e, portanto, a velocidade angular é aumentada.

Energia cinética

A energia cinética K rot devido à rotação do corpo é dada por

assim como K trans = 12 mv 2 na dinâmica linear.

A energia cinética é a energia do movimento. A quantidade de energia cinética translacional encontrada em duas variáveis: a massa do objeto (m) e a velocidade do objeto (v) conforme mostrado na equação acima. A energia cinética deve ser sempre zero ou um valor positivo. Embora a velocidade possa ter um valor positivo ou negativo, a velocidade ao quadrado sempre será positiva.

Expressão vetorial

O desenvolvimento acima é um caso especial de movimento rotacional geral. No caso geral, deslocamento angular, velocidade angular, aceleração angular e torque são considerados vetores.

Um deslocamento angular é considerado um vetor, apontando ao longo do eixo, de magnitude igual a de . Uma regra da mão direita é usada para descobrir para que lado ela aponta ao longo do eixo; se os dedos da mão direita estão curvados para apontar na direção em que o objeto girou, o polegar da mão direita aponta na direção do vetor.

O vetor de velocidade angular também aponta ao longo do eixo de rotação da mesma forma que os deslocamentos angulares que causa. Se um disco gira no sentido anti-horário visto de cima, seu vetor de velocidade angular aponta para cima. Da mesma forma, o vetor de aceleração angular aponta ao longo do eixo de rotação na mesma direção que a velocidade angular apontaria se a aceleração angular fosse mantida por um longo tempo.

O vetor de torque aponta ao longo do eixo em torno do qual o torque tende a causar rotação. Para manter a rotação em torno de um eixo fixo, o vetor de torque total deve estar ao longo do eixo, de forma que ele apenas mude a magnitude e não a direção do vetor de velocidade angular. No caso de uma dobradiça, apenas a componente do vetor de torque ao longo do eixo tem efeito sobre a rotação, outras forças e torques são compensados ​​pela estrutura.

Exemplos e aplicações

Velocidade angular constante

O caso mais simples de rotação em torno de um eixo fixo é o da velocidade angular constante. Então, o torque total é zero. Para o exemplo da Terra girando em torno de seu eixo, há muito pouco atrito. Para um ventilador , o motor aplica um torque para compensar o atrito. Semelhante ao ventilador, o equipamento encontrado na indústria de manufatura de produção em massa demonstra a rotação em torno de um eixo fixo de forma eficaz. Por exemplo, um torno de múltiplos fusos é usado para girar o material em seu eixo para aumentar efetivamente a produtividade das operações de corte, deformação e torneamento. O ângulo de rotação é uma função linear do tempo, sendo que o módulo 360 ° é uma função periódica.

Um exemplo disso é o problema de dois corpos com órbitas circulares .

Força centrípeta

A tensão de tração interna fornece a força centrípeta que mantém um objeto girando junto. Um modelo de corpo rígido negligencia a tensão que o acompanha . Se o corpo não for rígido, essa tensão fará com que ele mude de forma. Isso é expresso como o objeto mudando de forma devido à " força centrífuga ".

Os corpos celestes girando em torno um do outro costumam ter órbitas elípticas . O caso especial das órbitas circulares é um exemplo de rotação em torno de um eixo fixo: esse eixo é a linha que passa pelo centro de massa perpendicular ao plano de movimento. A força centrípeta é fornecida pela gravidade , veja também o problema dos dois corpos . Isso geralmente também se aplica a um corpo celeste em rotação, portanto, ele não precisa ser sólido para se manter unido, a menos que a velocidade angular seja muito alta em relação à sua densidade. (No entanto, ele tenderá a se tornar achatado .) Por exemplo, um corpo celestial de água em rotação deve levar pelo menos 3 horas e 18 minutos para girar, independentemente do tamanho, ou a água se separará. Se a densidade do fluido for maior, o tempo pode ser menor. Veja período orbital .

Veja também

Referências