Simetria rotacional - Rotational symmetry

O tríscele que aparece na bandeira da Ilha de Man tem simetria rotacional porque parece o mesmo quando girado em um terço de uma volta completa em torno de seu centro. Como sua aparência é idêntica em três orientações distintas, sua simetria rotacional é tripla.

A simetria rotacional , também conhecida como simetria radial na geometria , é a propriedade que uma forma tem quando parece a mesma após alguma rotação por uma volta parcial. O grau de simetria rotacional de um objeto é o número de orientações distintas nas quais ele parece exatamente o mesmo para cada rotação.

Certos objetos geométricos são parcialmente simétricos quando girados em certos ângulos, tais como quadrados girados 90 °, no entanto, os únicos objetos geométricos que são totalmente simétricos em qualquer ângulo são esferas, círculos e outros esferóides .

Tratamento formal

Formalmente, a simetria rotacional é simetria com respeito a algumas ou todas as rotações no espaço euclidiano m- dimensional . Rotações são isometrias diretas , ou seja, isometrias preservando a orientação . Portanto, um grupo de simetria de simetria rotacional é um subgrupo de E + ( m ) (ver grupo Euclidiano ).

A simetria com respeito a todas as rotações sobre todos os pontos implica simetria translacional com respeito a todas as translações, então o espaço é homogêneo e o grupo de simetria é o E ( m ) inteiro . Com a noção modificada de simetria para campos vetoriais, o grupo de simetria também pode ser E + ( m ).

Para simetria com respeito às rotações em torno de um ponto, podemos tomar esse ponto como origem. Estas rotações formar o especial ortogonal grupo SO ( m ), o grupo de m x m ortogonal matrizes com determinante 1. Para m = 3 é o grupo SO rotação (3) .

Em outra definição da palavra, o grupo de rotação de um objeto é o grupo de simetria dentro de E + ( n ), o grupo de isometrias diretas  ; em outras palavras, a intersecção do grupo de simetria completo e o grupo de isometrias diretas. Para objetos quirais , é igual ao grupo de simetria completo.

As leis da física são SO (3) -invariantes se não distinguirem direções diferentes no espaço. Por causa do teorema de Noether , a simetria rotacional de um sistema físico é equivalente à lei de conservação do momento angular .

Simetria rotacional discreta

Simetria rotacional de ordem  n , também chamado n simetria rotacional fold , ou simetria rotacional discreta do n th fim , no que diz respeito a um determinado ponto (em 2D) ou eixo (em 3D) meios que a rotação de um ângulo de 360 ° / n (180 °, 120 °, 90 °, 72 °, 60 °, 51  37 °, etc.) não altera o objeto. Uma simetria "1 vez" não é simetria (todos os objetos parecem iguais após uma rotação de 360 ​​°).

A notação para simetria n- dobrada é C n ou simplesmente " n ". O grupo de simetria real é especificado pelo ponto ou eixo de simetria, junto com o n . Para cada ponto ou eixo de simetria, o tipo de grupo abstrato é grupo cíclico de ordem  n , Z n . Embora para o último também a notação C n seja usada, o C n geométrico e abstrato devem ser distinguidos: existem outros grupos de simetria do mesmo tipo de grupo abstrato que são geometricamente diferentes, ver grupos de simetria cíclica em 3D .

O domínio fundamental é um setor de 360 ​​° / n.

Exemplos sem simetria de reflexão adicional :

  • n = 2, 180 °: a díade ; letras Z, N, S; os contornos, embora não as cores, do símbolo yin e yang ; a Bandeira da União (conforme dividida ao longo da diagonal da bandeira e girada em torno do ponto central da bandeira)
  • n = 3, 120 °: tríade , triskelion , anéis borromeanos ; às vezes, o termo simetria trilateral é usado;
  • n = 4, 90 °: tétrade , suástica
  • n = 6, 60 °: hexad , estrela de David
  • n = 8, 45 °: octad , muqarnas octogonais , gerado por computador (CG), teto

C n é o grupo de rotação de um polígono regular de n lados em 2D e de uma pirâmide regular de n lados em 3D.

Se houver, por exemplo, simetria rotacional em relação a um ângulo de 100 °, então também em relação a um de 20 °, o máximo divisor comum de 100 ° e 360 ​​°.

Um objeto 3D típico com simetria rotacional (possivelmente também com eixos perpendiculares), mas sem simetria de espelho, é uma hélice .

Exemplos

C2 ( mais ) C3 ( mais ) C4 ( mais ) C5 ( mais ) C6 ( mais )
Double pendulum flips graph.png
Fractal de pêndulo duplo
Sinal de estrada da Finlândia 166 (1995–2020) .svg
Sinal de trânsito rotatório
Simetria cíclica 4.png Estrela do bicentenário dos Estados Unidos 1976 (geometria) .svg
US Bicentennial Star
Simetria cíclica 6.png
En-300px-Shogi.png
A posição inicial no shogi
Snoldelev-three-interlaced-horns.svg
Snoldelev Pedra intertravado de chifres bebendo projeto
Op-art-4-sided-espiral-tunnel-7.svg 15crossings-decorative-knot.svg Olavsrose.svg

Múltiplos eixos de simetria através do mesmo ponto

Para simetria discreta com vários eixos de simetria através do mesmo ponto, existem as seguintes possibilidades:

  • Em adição a um n eixo fold, n eixos de dobragem perpendiculares-2: os grupos diedros D n de ordem 2 n ( n ≥ 2 ). Este é o grupo de rotação de um prisma regular ou bipirâmide regular . Embora a mesma notação seja usada, o D n geométrico e abstrato deve ser distinguido: existem outros grupos de simetria do mesmo tipo de grupo abstrato que são geometricamente diferentes, ver grupos de simetria diédrica em 3D .
  • Eixos 4 × 3 e 3 × 2 vezes: o grupo de rotação T de ordem 12 de um tetraedro regular . O grupo é isomórfico ao grupo alternado A 4 .
  • Eixos 3 × 4, 4 × 3 e 6 × 2 vezes: o grupo de rotação  O de ordem 24 de um cubo e um octaedro regular . O grupo é isomórfico ao grupo simétrico S 4 .
  • Eixos 6 × 5 vezes, 10 × 3 vezes e 15 × 2 vezes: o grupo de rotação  I de ordem 60 de um dodecaedro e um icosaedro . O grupo é isomórfico ao grupo alternado  A 5 . O grupo contém 10 versões de D 3 e 6 versões de D 5 (simetrias rotacionais como prismas e antiprismas).

No caso dos sólidos platônicos , os eixos de 2 dobras passam pelos pontos médios de arestas opostas, e o número deles é a metade do número de arestas. Os outros eixos são por vértices opostos e por centros de faces opostas, exceto no caso do tetraedro, onde os eixos triplos são cada um por um vértice e o centro de uma face.

Simetria rotacional em relação a qualquer ângulo

A simetria rotacional com respeito a qualquer ângulo é, em duas dimensões, simetria circular . O domínio fundamental é uma meia-linha .

Em três dimensões, podemos distinguir a simetria cilíndrica e a simetria esférica (sem alteração ao girar em torno de um eixo ou para qualquer rotação). Ou seja, nenhuma dependência do ângulo usando coordenadas cilíndricas e nenhuma dependência de qualquer ângulo usando coordenadas esféricas . O domínio fundamental é um meio plano através do eixo e uma meia linha radial, respectivamente. Axisimétricos ou axissimétricos são adjetivos que se referem a um objeto com simetria cilíndrica, ou axissimetria (isto é, simetria rotacional em relação a um eixo central) como um donut ( toro ). Um exemplo de simetria esférica aproximada é a Terra (com relação à densidade e outras propriedades físicas e químicas).

Em 4D, a simetria rotacional contínua ou discreta sobre um plano corresponde à simetria rotacional 2D correspondente em cada plano perpendicular, sobre o ponto de intersecção. Um objecto também pode ter simetria de rotação em torno de dois planos perpendiculares, por exemplo, se ele é o produto cartesiano de dois rotativamente simetria 2D figuras, como no caso de, por exemplo, o duocylinder e vários regulares duoprisms .

Simetria rotacional com simetria translacional

Diagrama de grupo de papel de parede p4.png
Disposição dentro de uma célula primitiva de rotocentros de 2 e 4 vezes. Um domínio fundamental é indicado em amarelo.
Diagrama de grupo de papel de parede p6.png
Disposição dentro de uma célula primitiva de rotocentros de 2, 3 e 6 vezes, sozinhos ou em combinação (considere o símbolo de 6 vezes como uma combinação de um símbolo de 2 e 3 vezes); no caso de simetria dupla apenas, a forma do paralelogramo pode ser diferente. Para o caso p6, um domínio fundamental é indicado em amarelo.

A simetria rotacional de 2 vezes junto com a simetria translacional única é um dos grupos de Friso . Existem dois rotocentros por célula primitiva .

Juntamente com a simetria translacional dupla, os grupos de rotação são os seguintes grupos de papel de parede , com eixos por célula primitiva:

  • p2 (2222): 4 × 2 vezes; grupo de rotação de uma rede paralelogramo , retangular e rômbica .
  • p3 (333): 3 × 3 vezes; não o grupo de rotação de qualquer rede (toda rede está de cabeça para baixo da mesma forma, mas isso não se aplica a esta simetria); é, por exemplo, o grupo de rotação da telha triangular regular com os triângulos equiláteros coloridos alternadamente.
  • p4 (442): 2 × 4 vezes, 2 × 2 vezes; grupo de rotação de uma rede quadrada .
  • p6 (632): 1 × 6 vezes, 2 × 3 vezes, 3 × 2 vezes; grupo de rotação de uma rede hexagonal .
  • Rotocentros de 2 vezes (incluindo possíveis 4 vezes e 6 vezes), se presentes, formam a translação de uma rede igual à rede translacional, escalonada por um fator 1/2. No caso de simetria translacional em uma dimensão, uma propriedade semelhante se aplica, embora o termo "rede" não se aplique.
  • Rotocentros de 3 vezes (incluindo possível 6 vezes), se presentes, formam uma rede hexagonal regular igual à rede translacional, girada em 30 ° (ou equivalente a 90 °) e dimensionada por um fator
  • Rotocentros de 4 vezes, se presentes, formam uma rede quadrada regular igual à rede translacional, girada em 45 ° e dimensionada por um fator
  • Os rotocentros de 6 vezes, se presentes, formam uma rede hexagonal regular que é a translação da rede translacional.

A escala de uma rede divide o número de pontos por unidade de área pelo quadrado do fator de escala. Portanto, o número de rotocentros de 2, 3, 4 e 6 vezes por célula primitiva é 4, 3, 2 e 1, respectivamente, novamente incluindo 4 vezes como um caso especial de 2 vezes, etc.

Simetria rotacional de 3 vezes em um ponto e 2 vezes em outro (ou idem em 3D em relação aos eixos paralelos) implica no grupo de rotação p6, ou seja, simetria translacional dupla e simetria rotacional de 6 vezes em algum ponto (ou, em 3D, eixo paralelo). A distância de translação para a simetria gerada por um desses pares de rotocentros é vezes sua distância.

Plano euclidiano Plano hiperbólico
Bloco V46b.svg
Ladrilhos triangulares Hexakis , um exemplo de p6, [6,3] + , (632) (com cores) e p6m, [6,3], (* 632) (sem cores); as linhas são eixos de reflexão se as cores são ignoradas e um tipo especial de eixo de simetria se as cores não são ignoradas: a reflexão reverte as cores. As grades de linhas retangulares em três orientações podem ser distinguidas.
Ordem-3 heptakis heptagonal tiling.png
Ordem 3-7 kisrhombille , um exemplo de [7,3] + (732) simetria e [7,3], (* 732) (sem cores)

Veja também

Referências

  • Weyl, Hermann (1982) [1952]. Simetria . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.

links externos