Teorema de Routh - Routh's theorem

Teorema de Routh

Em geometria , o teorema de Routh determina a razão das áreas entre um determinado triângulo e um triângulo formado pelas interseções de pares de três cevians . O teorema afirma que, se no triângulo pontos , , e mentira em segmentos , e , em seguida, escrever , e , o assinado área do triângulo formado pelas cevians , e é a área do triângulo vezes ${\ displaystyle ABC}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle CA}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle {\ tfrac {CD} {BD}}}$${\ displaystyle = x}$${\ displaystyle {\ tfrac {AE} {CE}}}$${\ displaystyle = y}$${\ displaystyle {\ tfrac {BF} {AF}}}$${\ displaystyle = z}$${\ displaystyle AD}$${\ displaystyle BE}$${\ displaystyle CF}$${\ displaystyle ABC}$

${\ displaystyle {\ frac {(xyz-1) ^ {2}} {(xy + y + 1) (yz + z + 1) (zx + x + 1)}}.}$

Este teorema foi dado por Edward John Routh na página 82 de seu Tratado de Estática Analítica com Numerosos Exemplos em 1896. O caso particular se popularizou como o triângulo de um sétimo área . O caso implica que as três medianas são concorrentes (por meio do centróide ). ${\ displaystyle x = y = z = 2}$${\ displaystyle x = y = z = 1}$

Prova

Teorema de Routh

Suponha que a área do triângulo seja 1. Para triângulo e linha usando o teorema de Menelau , podemos obter: ${\ displaystyle ABC}$${\ displaystyle ABD}$${\ displaystyle FRC}$

${\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} \ times {\ frac {BC} {CD}} \ times {\ frac {DR} {RA}} = 1}$

Então, a área do triângulo é: ${\ displaystyle {\ frac {DR} {RA}} = {\ frac {BF} {FA}} \ times {\ frac {DC} {CB}} = {\ frac {zx} {x + 1}}}$${\ displaystyle ARC}$

${\ displaystyle S_ {ARC} = {\ frac {AR} {AD}} S_ {ADC} = {\ frac {AR} {AD}} \ times {\ frac {DC} {BC}} S_ {ABC} = {\ frac {x} {zx + x + 1}}}$

Da mesma forma, poderíamos saber: e Assim, a área do triângulo é: ${\ displaystyle S_ {BPA} = {\ frac {y} {xy + y + 1}}}$${\ displaystyle S_ {CQB} = {\ frac {z} {yz + z + 1}}}$${\ displaystyle PQR}$

${\ displaystyle \ displaystyle S_ {PQR} = S_ {ABC} -S_ {ARC} -S_ {BPA} -S_ {CQB}}$

${\ displaystyle = 1 - {\ frac {x} {zx + x + 1}} - {\ frac {y} {xy + y + 1}} - {\ frac {z} {yz + z + 1}} }$

${\ displaystyle = {\ frac {(xyz-1) ^ {2}} {(xz + x + 1) (yx + y + 1) (zy + z + 1)}}.}$

Citações

A citação comumente dada para o teorema de Routh é o Tratado de Estática Analítica de Routh com Numerosos Exemplos , Volume 1, Cap. IV, na segunda edição de 1896 p. 82 , possivelmente porque essa edição foi mais fácil de manusear. No entanto, Routh deu o teorema já na primeira edição de 1891, Volume 1, cap. IV, p. 89 . Embora haja uma mudança na paginação entre as edições, o texto da nota de rodapé relevante permaneceu o mesmo.

Routh conclui sua extensa nota de rodapé com uma advertência :

"O autor não encontrou essas expressões para as áreas de dois triângulos que ocorrem com freqüência. Ele, portanto, as colocou aqui para que o argumento no texto possa ser mais facilmente compreendido."

Presumivelmente, Routh sentiu que essas circunstâncias não mudaram nos cinco anos entre as edições. Por outro lado, o título do livro de Routh havia sido usado anteriormente por Isaac Todhunter ; ambos foram treinados por William Hopkins .

Embora Routh tenha publicado o teorema em seu livro, essa não é a primeira declaração publicada. É declarado e comprovado como cavaleiro (vii) na página 33 de Soluções dos Problemas e Cavaleiros do Senado de Cambridge para o ano de 1878, ou seja, os tripos matemáticos daquele ano, e o link é https://archive.org/ detalhes / soluçõescambri00glaigoog . Afirma-se que o autor dos problemas com algarismos romanos é Glaisher . Routh era um famoso treinador de Mathematical Tripos quando seu livro foi lançado e certamente estava familiarizado com o conteúdo do exame tripos de 1878. Assim, sua declaração O autor não se reuniu com essas expressões para as áreas de dois triângulos que ocorrem com freqüência. é intrigante.

Problemas com esse espírito têm uma longa história em matemática recreativa e pedagogia matemática , talvez um dos exemplos mais antigos de ser a determinação das proporções das quatorze regiões do tabuleiro de Stomachion . Com o Cambridge de Routh em mente, o triângulo de uma sétima área , associado em alguns relatos com Richard Feynman , aparece, por exemplo, como Questão 100, p. 80 , em Euclid's Elements of Geometry ( Fifth School Edition ) , por Robert Potts (1805--1885,) do Trinity College, publicado em 1859; compare também as perguntas 98, 99, na mesma página. Potts ocupou o vigésimo sexto lugar do Wrangler em 1832 e, então, como Hopkins e Routh, treinou em Cambridge. Os escritos expositivos de Pott sobre geometria foram reconhecidos com uma medalha na Exposição Internacional de 1862, bem como por um Exmo. LL.D. do College of William and Mary , Williamsburg , Virginia .

Referências

• Murray S. Klamkin e A. Liu (1981) "Mais três provas do teorema de Routh", Crux Mathematicorum 7: 199–203.
• HSM Coxeter (1969) Introdução à Geometria , declaração p. 211, prova pp. 219-20, 2ª edição, Wiley, New York.
• JS Kline e D. Velleman (1995) "Mais uma prova do teorema de Routh" (1995) Crux Mathematicorum 21: 37-40
• Ivan Niven (1976) "A New Proof of Routh's Theorem", Mathematics Magazine 49 (1): 25–7, doi : 10.2307 / 2689876
• Jay Warendorff, Teorema de Routh , The Wolfram Demonstrations Project .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Routh" . MathWorld .
• Teorema de Routh por produtos cruzados em MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Teorema de Routh revisitado", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.