Paradoxo de Russell - Russell's paradox

Na lógica matemática , o paradoxo de Russell (também conhecido como antinomia de Russell ), é um paradoxo teórico de conjuntos descoberto pelo filósofo e matemático britânico Bertrand Russell em 1901. O paradoxo de Russell mostra que toda teoria de conjuntos que contém um princípio de compreensão irrestrita leva a contradições. O paradoxo já havia sido descoberto independentemente em 1899 pelo matemático alemão Ernst Zermelo . No entanto, Zermelo não publicou a ideia, que permaneceu conhecida apenas por David Hilbert , Edmund Husserl e outros acadêmicos da Universidade de Göttingen . No final da década de 1890, Georg Cantor - considerado o fundador da moderna teoria dos conjuntos - já havia percebido que sua teoria levaria a uma contradição, que ele disse a Hilbert e Richard Dedekind por carta.

De acordo com o princípio da compreensão irrestrita, para qualquer suficientemente bem definida propriedade , há o conjunto de todos e apenas os objetos que têm essa propriedade. Seja R o conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos. Se R não é um membro de si mesmo, sua definição implica que ele é um membro de si mesmo; se for um membro de si mesmo, então não é um membro de si mesmo, uma vez que é o conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos. A contradição resultante é o paradoxo de Russell. Em símbolos:

Russell também mostrou que uma versão do paradoxo poderia ser derivada no sistema axiomático construído pelo filósofo e matemático alemão Gottlob Frege , portanto, minando a tentativa de Frege de reduzir a matemática à lógica e questionando o programa lógico . Duas maneiras influentes de evitar o paradoxo foram propostas em 1908: a própria teoria dos tipos de Russell e a teoria dos conjuntos de Zermelo . Em particular, os axiomas de Zermelo restringiam o princípio da compreensão ilimitada. Com as contribuições adicionais de Abraham Fraenkel , a teoria dos conjuntos de Zermelo desenvolveu-se na teoria dos conjuntos Zermelo – Fraenkel agora padrão (comumente conhecida como ZFC quando inclui o axioma de escolha ). A principal diferença entre as soluções de Russell e Zermelo para o paradoxo é que Zermelo modificou os axiomas da teoria dos conjuntos , mantendo uma linguagem lógica padrão, enquanto Russell modificou a própria linguagem lógica. A linguagem do ZFC, com a ajuda de Thoralf Skolem , acabou por ser a da lógica de primeira ordem .

Apresentação informal

A maioria dos conjuntos comumente encontrados não são membros de si mesmos. Por exemplo, considere o conjunto de todos os quadrados no plano . Este conjunto não é em si mesmo um quadrado no plano, portanto, não é um membro de si mesmo. Chamemos um conjunto de "normal" se não for membro de si mesmo e de "anormal" se for membro de si mesmo. Claramente, cada conjunto deve ser normal ou anormal. O conjunto de quadrados no plano é normal. Em contraste, o conjunto complementar que contém tudo o que não é um quadrado no plano não é ele próprio um quadrado no plano e, portanto, é um de seus próprios membros e, portanto, é anormal.

Agora consideramos o conjunto de todos os conjuntos normais, R , e tentamos determinar se R é normal ou anormal. Se R fosse normal, estaria contido no conjunto de todos os conjuntos normais (ele mesmo) e, portanto, seria anormal; por outro lado, se R fosse anormal, não estaria contido no conjunto de todos os conjuntos normais (ele mesmo) e, portanto, seria normal. Isso leva à conclusão de que R não é normal nem anormal: o paradoxo de Russell.

Apresentação formal

O termo " teoria ingênua dos conjuntos " é usado de várias maneiras. Em um uso, a teoria dos conjuntos ingênua é uma teoria formal, que podemos chamar de NST, que é formulada em uma linguagem de primeira ordem com um predicado não lógico binário e que inclui o Axioma da extensionalidade :

e o esquema axiomático da compreensão irrestrita :

para qualquer fórmula com a variável x como uma variável livre dentro . Substitua por . Então, por instanciação existencial (reutilizando o símbolo ) e instanciação universal , temos

uma contradição. Portanto, o NST é inconsistente .

Respostas teóricas de conjuntos

A partir do princípio da explosão da lógica clássica , qualquer proposição pode ser provada a partir de uma contradição . Portanto, a presença de contradições como o paradoxo de Russell em uma teoria de conjuntos axiomática é desastrosa; visto que se qualquer fórmula pode ser provada verdadeira, ela destrói o significado convencional de verdade e falsidade. Além disso, uma vez que a teoria dos conjuntos era vista como a base para um desenvolvimento axiomático de todos os outros ramos da matemática, o paradoxo de Russell ameaçava os fundamentos da matemática como um todo. Isso motivou muitas pesquisas na virada do século 20 para desenvolver uma teoria de conjuntos consistente (livre de contradições).

Em 1908, Ernst Zermelo propôs uma axiomatização da teoria dos conjuntos que evitou os paradoxos da teoria ingênua dos conjuntos, substituindo a compreensão arbitrária de conjuntos por axiomas de existência mais fracos, como seu axioma de separação ( Aussonderung ). Modificações nessa teoria axiomática propostas na década de 1920 por Abraham Fraenkel , Thoralf Skolem e pelo próprio Zermelo resultaram na teoria dos conjuntos axiomática chamada ZFC . Esta teoria tornou-se amplamente aceita uma vez que o axioma de escolha de Zermelo deixou de ser controverso, e ZFC permaneceu a teoria axiomática canônica dos conjuntos até os dias atuais.

O ZFC não assume que, para cada propriedade, existe um conjunto de todas as coisas que satisfazem essa propriedade. Em vez disso, ele afirma que, dado qualquer conjunto X , existe qualquer subconjunto de X definível usando a lógica de primeira ordem . O objeto R discutido acima não pode ser construído dessa maneira e, portanto, não é um conjunto ZFC. Em algumas extensões de ZFC , objetos como R são chamados de classes próprias .

ZFC é omisso sobre os tipos, embora a hierarquia cumulativa tenha uma noção de camadas que se assemelham a tipos. O próprio Zermelo nunca aceitou a formulação de ZFC de Skolem usando a linguagem da lógica de primeira ordem. Como José Ferreirós observa, Zermelo insistiu em vez disso que "funções proposicionais (condições ou predicados) usadas para separar subconjuntos, bem como as funções de substituição, podem ser 'inteiramente arbitrárias' [ganz beliebig ];" a interpretação moderna dada a essa afirmação é que Zermelo queria incluir a quantificação de ordem superior para evitar o paradoxo de Skolem . Por volta de 1930, Zermelo também introduziu (aparentemente independentemente de von Neumann), o axioma da fundação , assim - como Ferreirós observa - "ao proibir conjuntos 'circulares' e 'não aterrados', [ZFC] incorporou uma das motivações cruciais de TT [ teoria dos tipos] —o princípio dos tipos de argumentos ". Este ZFC de 2ª ordem preferido por Zermelo, incluindo o axioma de fundação, permitia uma rica hierarquia cumulativa. Ferreirós escreve que "as 'camadas' de Zermelo são essencialmente os mesmos que os tipos nas versões contemporâneas de TT simples [teoria dos tipos] oferecidas por Gödel e Tarski. Pode-se descrever a hierarquia cumulativa na qual Zermelo desenvolveu seus modelos como o universo de uma teoria cumulativa TT em que tipos transfinitos são permitidos. (Uma vez que adotamos um ponto de vista impredicativo, abandonando a ideia de que classes são construídas, não é incomum aceitar tipos transfinitos.) Assim, TT e ZFC simples podem agora ser considerados como sistemas que 'falam 'essencialmente sobre os mesmos objetos pretendidos. A principal diferença é que TT depende de uma forte lógica de ordem superior, enquanto Zermelo empregou lógica de segunda ordem, e ZFC também pode receber uma formulação de primeira ordem. A' descrição 'de primeira ordem da hierarquia cumulativa é muito mais fraco, como é mostrado pela existência de modelos enumeráveis ​​(paradoxo de Skolem), mas goza de algumas vantagens importantes. "

Em ZFC, dado um conjunto A , é possível definir um conjunto B que consiste exatamente nos conjuntos de A que não são membros de si mesmos. B não pode estar em A pelo mesmo raciocínio do Paradoxo de Russell. Esta variação do paradoxo de Russell mostra que nenhum conjunto contém tudo.

Através do trabalho de Zermelo e outros, especialmente John von Neumann , a estrutura do que alguns vêem como os objetos "naturais" descritos por ZFC eventualmente se tornou clara; eles são os elementos do universo de von Neumann , V , construído a partir do conjunto vazio pela iteração transfinita da operação do conjunto de energia . Assim, é agora possível novamente para raciocinar sobre conjuntos de uma forma não-axiomático, sem entrar em conflito com o paradoxo de Russell, ou seja, pelo raciocínio sobre os elementos de V . Se é apropriado pensar em conjuntos dessa maneira é um ponto de discórdia entre os pontos de vista rivais na filosofia da matemática .

Outras soluções para o paradoxo de Russell, com uma estratégia subjacente mais próxima da teoria dos tipos , incluem as Novas Fundações de Quine e a teoria dos conjuntos de Scott-Potter . Ainda outra abordagem é definir a relação de associação múltipla com o esquema de compreensão apropriadamente modificado, como na teoria do conjunto de extensão dupla .

História

Russell descobriu o paradoxo em maio ou junho de 1901. Por seu próprio relato em sua Introdução à Filosofia Matemática de 1919 , ele "tentou descobrir alguma falha na prova de Cantor de que não existe o maior cardeal". Em uma carta de 1902, ele anunciou a descoberta a Gottlob Frege do paradoxo no Begriffsschrift de Frege de 1879 e enquadrou o problema em termos de lógica e teoria dos conjuntos, e em particular em termos da definição de função de Frege :

Há apenas um ponto em que encontrei uma dificuldade. Você afirma (p. 17 [p. 23 acima]) que uma função também pode atuar como o elemento indeterminado. Antes eu acreditava nisso, mas agora essa visão me parece duvidosa por causa da seguinte contradição. Seja w o predicado: ser um predicado que não pode ser predicado por si mesmo. Podem w ser predicado de si mesmo? De cada resposta segue-se o seu oposto. Portanto, devemos concluir que w não é um predicado. Da mesma forma, não há classe (como um todo) daquelas classes que, cada uma tomada como uma totalidade, não pertencem a si mesmas. Disto concluo que, em certas circunstâncias, uma coleção definível [Menge] não forma uma totalidade.

Russell continuaria a cobri-lo detalhadamente em seu 1903 The Principles of Mathematics , onde repetiu seu primeiro encontro com o paradoxo:

Antes de nos despedirmos das questões fundamentais, é necessário examinar mais detalhadamente a contradição singular, já mencionada, no que diz respeito aos predicados não previsíveis por si próprios. ... Devo mencionar que fui levado a isso na tentativa de reconciliar a prova de Cantor ... "

Russell escreveu a Frege sobre o paradoxo no momento em que Frege preparava o segundo volume de sua Grundgesetze der Arithmetik . Frege respondeu a Russell muito rapidamente; sua carta datada de 22 de junho de 1902 apareceu, com o comentário de van Heijenoort em Heijenoort 1967: 126-127. Frege então escreveu um apêndice admitindo o paradoxo e propôs uma solução que Russell endossaria em seus Princípios de Matemática , mas mais tarde foi considerada por alguns como insatisfatória. De sua parte, Russell tinha seu trabalho na gráfica e acrescentou um apêndice sobre a doutrina dos tipos .

Ernst Zermelo em seu (1908) Uma nova prova da possibilidade de um bom ordenamento (publicado na mesma época em que ele publicou "a primeira teoria axiomática dos conjuntos") reivindicou a descoberta anterior da antinomia na ingênua teoria dos conjuntos de Cantor. Ele afirma: "E, no entanto, mesmo a forma elementar que Russell 9 deu às antinomias da teoria dos conjuntos poderia tê-los persuadido [J. König, Jourdain, F. Bernstein] de que a solução dessas dificuldades não deve ser buscada na rendição de boa ordenação, mas apenas em uma restrição adequada da noção de conjunto ". Nota de rodapé 9 é onde ele afirma sua reivindicação:

9 1903 , pp. 366–368. Eu mesmo havia descoberto essa antinomia, independentemente de Russell, e a havia comunicado antes de 1903 ao professor Hilbert, entre outros .

Frege enviou uma cópia de seu Grundgesetze der Arithmetik para Hilbert; como observado acima, o último volume de Frege mencionou o paradoxo que Russell comunicou a Frege. Depois de receber o último volume de Frege, em 7 de novembro de 1903, Hilbert escreveu uma carta a Frege na qual dizia, referindo-se ao paradoxo de Russell: "Eu acredito que o Dr. Zermelo o descobriu três ou quatro anos atrás". Um relato escrito do argumento real de Zermelo foi descoberto no Nachlass de Edmund Husserl .

Em 1923, Ludwig Wittgenstein propôs "descartar" o paradoxo de Russell da seguinte forma:

A razão pela qual uma função não pode ser seu próprio argumento é que o sinal para uma função já contém o protótipo de seu argumento e não pode conter a si mesmo. Pois suponhamos que a função F (fx) pudesse ser seu próprio argumento: nesse caso haveria uma proposição F (F (fx)) , em que a função externa F e a função interna F devem ter significados diferentes, uma vez que o interno tem a forma O (fx) e o externo tem a forma Y (O (fx)) . Apenas a letra 'F' é comum às duas funções, mas a letra por si só não significa nada. Isso fica imediatamente claro se em vez de F (Fu) escrevermos (do): F (Ou). Ou = Fu . Isso acaba com o paradoxo de Russell. ( Tractatus Logico-Philosophicus , 3.333)

Russell e Alfred North Whitehead escreveram seus Principia Mathematica em três volumes na esperança de alcançar o que Frege havia sido incapaz de fazer. Eles procuraram banir os paradoxos da teoria ingênua dos conjuntos , empregando uma teoria dos tipos que inventaram para esse fim. Embora tenham conseguido fundamentar a aritmética de uma maneira, não é de todo evidente que o fizeram por meios puramente lógicos. Enquanto Principia Mathematica evitou os paradoxos conhecidos e permite a derivação de uma grande quantidade de matemática, seu sistema deu origem a novos problemas.

Em qualquer caso, Kurt Gödel em 1930-1931 provou que, embora a lógica de grande parte dos Principia Mathematica , agora conhecida como lógica de primeira ordem , seja completa , a aritmética de Peano é necessariamente incompleta se for consistente . Isso é amplamente - embora não universalmente - considerado como tendo mostrado que o programa lógico de Frege é impossível de ser concluído.

Em 2001, uma Conferência Internacional do Centenário celebrando os primeiros cem anos do paradoxo de Russell foi realizada em Munique e seus procedimentos foram publicados.

Versões aplicadas

Existem algumas versões desse paradoxo que estão mais próximas de situações da vida real e podem ser mais fáceis de entender para os não-lógicos. Por exemplo, o paradoxo do barbeiro supõe um barbeiro que faz a barba a todos os homens que não se barbeiam e apenas aos que não se barbeiam. Quando se pensa se o barbeiro deve se barbear ou não, o paradoxo começa a surgir.

Uma refutação fácil das "versões do leigo", como o paradoxo do barbeiro, parece ser que tal barbeiro não existe ou que o barbeiro tem alopecia e, portanto, não faz a barba. O ponto principal do paradoxo de Russell é que a resposta "tal conjunto não existe" significa que a definição da noção de conjunto dentro de uma dada teoria é insatisfatória. Observe a diferença entre as declarações "tal conjunto não existe" e "é um conjunto vazio ". É como a diferença entre dizer "Não há balde" e dizer "O balde está vazio".

Uma exceção notável ao acima pode ser o paradoxo de Grelling-Nelson , em que palavras e significado são os elementos do cenário, em vez de pessoas e cortes de cabelo. Embora seja fácil refutar o paradoxo do barbeiro dizendo que tal barbeiro não existe (e não pode ) existir, é impossível dizer algo semelhante sobre uma palavra significativamente definida.

Aplicativos e tópicos relacionados

Paradoxos de Russell

Conforme ilustrado acima para o paradoxo do barbeiro, o paradoxo de Russell não é difícil de estender. Leva:

Forme a frase:

O <V> er que <V> é tudo (e apenas aqueles) que não <V> a si próprios,

Às vezes, o "all" é substituído por "all <V> ers".

Um exemplo seria "pintar":

A pintura er que a pintura é tudo (e somente aqueles) que não pintar a si mesmos.

ou "eleger"

O eleito ou ( representante ), que elege são todos os que não se elegem .

Os paradoxos que se enquadram neste esquema incluem:

  • O barbeiro com "barbear" .
  • O paradoxo de Russell original com "contêiner": O contêiner (Conjunto) que contém todos (contêineres) que não se contêm.
  • O paradoxo de Grelling – Nelson com "descritor": O descritor (palavra) que descreve todas as palavras, que não se descrevem.
  • Paradoxo de Richard com "denote": O denotador (número) que denota todos os denotadores (números) que não denotam a si próprios. (Neste paradoxo, todas as descrições de números recebem um número atribuído. O termo "que denota todos os denotadores (números) que não denotam a si próprios" é aqui chamado de Richardiano .)
  • "Estou mentindo.", Ou seja, o paradoxo do mentiroso e o paradoxo de Epimênides , cujas origens são antigas
  • Paradoxo Russell-Myhill

Paradoxos relacionados

Veja também

Notas

Referências

Fontes

links externos