Modelo saturado - Saturated model

Em lógica matemática , e particularmente em sua teoria do modelo de subcampo , um modelo saturado M é aquele que realiza tantos tipos completos quanto pode ser "razoavelmente esperado" dado seu tamanho. Por exemplo, um modelo ultrapower dos hiperreais é -saturado, o que significa que cada sequência aninhada descendente de conjuntos internos tem uma interseção não vazia. ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$

Definição

Seja κ um número cardinal finito ou infinito e M um modelo em alguma linguagem de primeira ordem . Então M é chamado κ saturados se para todos os subconjuntos A ⊆ M de cardinalidade menos de κ , o modelo M realiza todas tipos completas sobre A . O modelo M é denominado saturado se for | M | -saturado onde | M | denota a cardinalidade de M . Ou seja, ele realiza todos os tipos completos em conjuntos de parâmetros de tamanho menor que | M |. De acordo com alguns autores, um modelo M é chamado de saturado contável se for -saturado; ou seja, ele realiza todos os tipos completos em conjuntos de parâmetros contáveis. De acordo com outros, é contável saturado se for contável e saturado. ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$

Motivação

A noção aparentemente mais intuitiva - que todos os tipos completos da linguagem são realizados - acaba sendo muito fraca (e é, apropriadamente, chamada de saturação fraca , que é o mesmo que 1-saturação). A diferença reside no fato de que muitas estruturas contêm elementos que não são definíveis (por exemplo, qualquer elemento transcendental de R é, por definição da palavra, não definível na linguagem dos campos ). No entanto, eles ainda fazem parte da estrutura, portanto, precisamos de tipos para descrever os relacionamentos com eles. Assim, permitimos conjuntos de parâmetros da estrutura em nossa definição de tipos. Este argumento nos permite discutir características específicas do modelo que, de outra forma, podemos perder - por exemplo, um limite em uma sequência crescente específica c _n pode ser expressa como realizando o tipo { x ≥ c _n  : n ∈ ω}, que usa de forma contável muitos parâmetros. Se a sequência não for definível, esse fato sobre a estrutura não pode ser descrito usando a linguagem base, então uma estrutura fracamente saturada pode não limitar a sequência, enquanto uma estrutura ℵ _1- saturada o fará.

O motivo pelo qual exigimos apenas conjuntos de parâmetros estritamente menores do que o modelo é trivial: sem essa restrição, nenhum modelo infinito está saturado. Considere um modelo M e o tipo { x ≠ m  : m ∈ M }. Cada subconjunto finito desse tipo é realizado no modelo (infinito) M , portanto, por compactação, ele é consistente com M , mas não é trivialmente realizado. Qualquer definição que seja universalmente insatisfeita é inútil; daí a restrição.

Exemplos

Existem modelos saturados para certas teorias e cardinalidades:

• ( Q , <) - o conjunto de números racionais com sua ordem usual - está saturado. Intuitivamente, isso ocorre porque qualquer tipo consistente com a teoria está implícito no tipo de pedido; ou seja, a ordem em que as variáveis ​​entram informa tudo o que há para saber sobre seu papel na estrutura.
• ( R , <) - o conjunto de números reais com sua ordem usual - não é saturado. Por exemplo, pegue o tipo (em uma variável x ) que contém a fórmula para cada número natural n , bem como a fórmula . Este tipo de usos w diferentes parâmetros de R . Cada subconjunto finito do tipo é realizado em R por algum x real , portanto, por compactação, o tipo é consistente com a estrutura, mas não é realizado, pois isso implicaria em um limite superior para a sequência −1 / n que é menor que 0 (seu menor limite superior). Assim, ( R , <) não é ω ₁ -saturado e não é saturado. No entanto, é ω-saturado, essencialmente pela mesma razão que Q - todo tipo finito é dado pelo tipo de pedido, que, se consistente, é sempre realizado, por causa da densidade do pedido.${\ displaystyle \ textstyle {x> - {\ frac {1} {n}}}}$${\ displaystyle \ textstyle {x <0}}$
• Um conjunto denso totalmente ordenado sem pontos finais é um conjunto η _α se e somente se for ℵ _α- saturado.
• O gráfico aleatório contável , com o único símbolo não lógico sendo a relação de existência da aresta, também é saturado, pois qualquer tipo completo é isolado (implícito) pelo subgrafo finito que consiste nas variáveis ​​e parâmetros usados ​​para definir o tipo.

Tanto a teoria de Q quanto a teoria do gráfico aleatório contável podem ser mostradas como ω-categóricas por meio do método de ida e volta . Isso pode ser generalizado da seguinte maneira: o modelo único de cardinalidade κ de uma teoria categórica κ contável está saturado.

No entanto, a afirmação de que todo modelo tem uma extensão elementar saturada não pode ser comprovada no ZFC . Na verdade, esta afirmação é equivalente à existência de uma classe própria de cardinais κ tal que κ ^{< κ}  =  κ . A última identidade é equivalente a κ = λ ⁺ = 2 ^λ para algum λ , ou κ é fortemente inacessível .

Relacionamento com modelos principais

A noção de modelo saturado é dual à noção de modelo primo da seguinte maneira: seja T uma teoria contável em uma linguagem de primeira ordem (isto é, um conjunto de sentenças mutuamente consistentes nessa linguagem) e seja P um primo modelo do T . Em seguida, P admite uma incorporação elementar em qualquer outro modelo de T . A noção equivalente para modelos saturados é que qualquer modelo "razoavelmente pequeno" de T é elementarmente embutido em um modelo saturado, onde "razoavelmente pequeno" significa cardinalidade não maior do que a do modelo no qual deve ser embutido. Qualquer modelo saturado também é homogêneo . No entanto, embora para as teorias contáveis ​​haja um modelo primo único, os modelos saturados são necessariamente específicos para uma cardinalidade particular. Dadas certas suposições teóricas de conjuntos, modelos saturados (embora de cardinalidade muito grande) existem para teorias arbitrárias. Para λ - teorias estáveis , existem modelos saturados de cardinalidade λ .

Notas

Referências

• Chang, CC ; Keisler, teoria do modelo de HJ . Terceira edição. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. xvi + 650 pp. ISBN  0-444-88054-2
• R. Goldblatt (1998). Palestras sobre os hiperreais. Uma introdução à análise fora do padrão. Springer.
• Marker, David (2002). Teoria do modelo: uma introdução . Nova York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98760-6
• Poizat, Bruno; Trans: Klein, Moses (2000), A Course in Model Theory , Nova York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98655-3
• Sacks, Gerald E. (1972), teoria do modelo saturado , WA Benjamin, Inc., Reading, Mass., MR  0398817