Escalar relativo - Relative scalar

Em matemática, um escalar relativo (de peso  w ) é uma função com valor escalar cuja transformação sob uma transformação de coordenada,

${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {j} = {\ bar {x}} ^ {j} (x ^ {i})}$

em uma variedade n- dimensional obedece à seguinte equação

${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j}) = J ^ {w} f (x ^ {i})}$

Onde

${\ displaystyle J = {\ begin {vmatrix} \ displaystyle {\ frac {\ partial (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ partial ({\ bar {x}} ^ {1}, \ ldots, {\ bar {x}} ^ {n})}} \ end {vmatrix}},}$

isto é, o determinante do Jacobiano da transformação. Uma densidade escalar se refere ao caso. ${\ displaystyle w = 1}$

Os escalares relativos são um caso especial importante do conceito mais geral de tensor relativo .

Escalar ordinário

Um escalar comum ou escalar absoluto refere-se ao caso. ${\ displaystyle w = 0}$

Se e se referir ao mesmo ponto no múltiplo, então desejamos . Esta equação pode ser interpretada de duas maneiras quando é vista como as "novas coordenadas" e é vista como as "coordenadas originais". A primeira é as , que "converte a função para as novas coordenadas". O segundo é as , que "converte de volta às coordenadas originais. Claro," novo "ou" original "é um conceito relativo. ${\ displaystyle x ^ {i}}$${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {j}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j}) = f (x ^ {i})}$${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {j}}$${\ displaystyle x ^ {i}}$${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j}) = f (x ^ {i} ({\ bar {x}} ^ {j}))}$${\ displaystyle f (x ^ {i}) = {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j} (x ^ {i}))}$

Existem muitas grandezas físicas representadas por escalares comuns, como temperatura e pressão.

Peso 0 exemplo

Suponha que a temperatura em uma sala seja dada em termos da função em coordenadas cartesianas e a função em coordenadas cilíndricas seja desejada. Os dois sistemas de coordenadas estão relacionados pelos seguintes conjuntos de equações: ${\ displaystyle f (x, y, z) = 2x + y + 5}$${\ displaystyle (x, y, z)}$${\ displaystyle (r, t, h)}$

${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \,}$

${\ displaystyle t = \ arctan (y / x) \,}$

${\ displaystyle h = z \,}$

e

${\ displaystyle x = r \ cos (t) \,}$

${\ displaystyle y = r \ sin (t) \,}$

${\ displaystyle z = h. \,}$

Usar permite derivar como a função transformada. ${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j}) = f (x ^ {i} ({\ bar {x}} ^ {j}))}$${\ displaystyle {\ bar {f}} (r, t, h) = 2r \ cos (t) + r \ sin (t) +5}$

Considere o ponto cujas coordenadas cartesianas são e cujo valor correspondente no sistema cilíndrico é . Um cálculo rápido mostra isso e também. Essa igualdade teria se mantido em qualquer ponto escolhido . Portanto, é a "função de temperatura no sistema de coordenadas cartesianas" e é a "função de temperatura no sistema de coordenadas cilíndricas". ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle (x, y, z) = (2,3,4)}$${\ displaystyle (r, t, h) = ({\ sqrt {13}}, \ arctan {(3/2)}, 4)}$${\ displaystyle f (2,3,4) = 12}$${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ sqrt {13}}, \ arctan {(3/2)}, 4) = 12}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle f (x, y, z)}$${\ displaystyle {\ bar {f}} (r, t, h)}$

Uma maneira de ver essas funções é como representações da função "pai" que usa um ponto da variedade como argumento e fornece a temperatura.

O problema poderia ter sido revertido. Um poderia ter sido dado e desejado derivar a função cartesiana da temperatura . Isso apenas inverte a noção de "novo" versus o sistema de coordenadas "original". ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$${\ displaystyle f}$

Suponha que se deseje integrar essas funções sobre "a sala", que será denotada por . (Sim, a integração da temperatura é estranha, mas isso é parcialmente o que será mostrado.) Suponha que a região seja dada em coordenadas cilíndricas de , de e de (ou seja, o "quarto" é um quarto de fatia de um cilindro de raio e altura 2 ) A integral de sobre a região é ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle [0,2]}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle [0, \ pi / 2]}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle [0,2]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} \! \ int _ {0} ^ {2 } \! f (x, y, z) \, dz \, dy \, dx = 16 + 10 \ pi}$ .

O valor da integral de sobre a mesma região é ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ int _ {0} ^ {2} \! {\ bar {f}} ( r, t, h) \, dh \, dt \, dr = 12 + 10 \ pi}$ .

Eles não são iguais. A integral da temperatura não é independente do sistema de coordenadas usado. É não físico nesse sentido, portanto, "estranho". Observe que se a integral de incluir um fator do Jacobiano (que é justo ), obtemos ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ int _ {0} ^ {2} \! {\ bar {f}} ( r, t, h) r \, dh \, dt \, dr = 16 + 10 \ pi}$ ,

que é igual ao integral original, mas não é, no entanto, o integral da temperatura porque a temperatura é um escalar relativo de peso 0, não um escalar relativo de peso 1.

Peso 1 exemplo

Se disséssemos que estava representando a densidade de massa, entretanto, seu valor transformado deveria incluir o fator Jacobiano que leva em consideração a distorção geométrica do sistema de coordenadas. A função transformada é agora . Desta vez, mas . Como antes é integral (a massa total) em coordenadas cartesianas é ${\ displaystyle f (x, y, z) = 2x + y + 5}$${\ displaystyle {\ bar {f}} (r, t, h) = (2r \ cos (t) + r \ sin (t) +5) r}$${\ displaystyle f (2,3,4) = 12}$${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ sqrt {13}}, \ arctan {(3/2)}, 4) = 12 {\ sqrt {29}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} \! \ int _ {0} ^ {2 } \! f (x, y, z) \, dz \, dy \, dx = 16 + 10 \ pi}$ .

O valor da integral de sobre a mesma região é ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ int _ {0} ^ {2} \! {\ bar {f}} ( r, t, h) \, dh \, dt \, dr = 16 + 10 \ pi}$ .

Eles são iguais. A integral da densidade de massa fornece a massa total, que é um conceito independente de coordenadas. Observe que se a integral de também incluiu um fator do Jacobiano como antes, obtemos ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ int _ {0} ^ {2} \! {\ bar {f}} ( r, t, h) r \, dh \, dt \, dr = 24 + 40 \ pi / 3}$ ,

que não é igual ao caso anterior.

Outros casos

Pesos diferentes de 0 e 1 não surgem com tanta frequência. Pode-se mostrar que o determinante de um tensor do tipo (0,2) é um escalar relativo de peso 2.

Veja também

• Matriz Jacobiana e determinante

Referências