Escala (mapa) -Scale (map)

Uma escala gráfica ou de barras. Um mapa também costuma dar sua escala numericamente ("1:50.000", por exemplo, significa que um cm no mapa representa 50.000 cm de espaço real, que é de 500 metros)
Uma escala de barras com a escala nominal , expressa como "1cm = 6km" e "1:600 ​​000" (equivalente, porque 6km = 600 000cm)

A escala de um mapa é a razão entre uma distância no mapa e a distância correspondente no solo. Esse conceito simples é complicado pela curvatura da superfície da Terra , que força a escala a variar em um mapa. Por causa dessa variação, o conceito de escala torna-se significativo de duas maneiras distintas.

A primeira maneira é a razão entre o tamanho do globo gerador e o tamanho da Terra. O globo gerador é um modelo conceitual no qual a Terra é reduzida e a partir do qual o mapa é projetado . A razão entre o tamanho da Terra e o tamanho do globo gerador é chamada de escala nominal (= escala principal = fração representativa ). Muitos mapas indicam a escala nominal e podem até exibir uma escala de barras (às vezes chamada apenas de 'escala') para representá-la.

O segundo conceito distinto de escala se aplica à variação de escala em um mapa. É a relação entre a escala do ponto mapeado e a escala nominal. Neste caso, 'escala' significa o fator de escala (= escala de ponto = escala particular ).

Se a região do mapa for pequena o suficiente para ignorar a curvatura da Terra, como em uma planta urbana, um único valor pode ser usado como escala sem causar erros de medição. Em mapas que cobrem áreas maiores, ou toda a Terra, a escala do mapa pode ser menos útil ou mesmo inútil para medir distâncias. A projeção do mapa torna-se crítica para entender como a escala varia ao longo do mapa. Quando a escala varia visivelmente, ela pode ser contabilizada como o fator de escala. A indicatriz de Tissot é freqüentemente usada para ilustrar a variação da escala de pontos em um mapa.

História

Os fundamentos da escala quantitativa de mapas remontam à China antiga , com evidências textuais de que a ideia de escala de mapas foi compreendida no século II aC. Os antigos agrimensores e cartógrafos chineses dispunham de amplos recursos técnicos para produzir mapas, como bastões de contagem , esquadros de carpinteiro , linhas de prumo , compassos para traçar círculos e tubos de mira para medir a inclinação. Quadros de referência que postulam um sistema de coordenadas nascente para identificar locais foram sugeridos por antigos astrônomos chineses que dividiam o céu em vários setores ou alojamentos lunares.

O cartógrafo e geógrafo chinês Pei Xiu , do período dos Três Reinos, criou um conjunto de mapas de grandes áreas desenhados em escala. Ele produziu um conjunto de princípios que enfatizavam a importância de dimensionamento consistente, medições direcionais e ajustes nas medições de terreno no terreno que estava sendo mapeado.

Terminologia

Representação de escala

As escalas do mapa podem ser expressas em palavras (uma escala lexical), como uma razão ou como uma fração. Exemplos são:

'um centímetro a cem metros' ou 1:10.000 ou 1/10.000
'uma polegada a uma milha' ou 1:63.360 ou 1/63.360
'um centímetro a mil quilômetros' ou 1:100.000.000 ou 1/100.000.000. (A proporção geralmente seria abreviada para 1:100M)

Escala de barras vs. escala lexical

Além dos mapas acima, muitos carregam uma ou mais escalas de barras (gráficas) . Por exemplo, alguns mapas britânicos modernos têm três escalas de barras, cada uma para quilômetros, milhas e milhas náuticas.

Uma escala lexical em um idioma conhecido pelo usuário pode ser mais fácil de visualizar do que uma proporção: se a escala for de uma polegada a duas milhas e o usuário do mapa puder ver duas aldeias separadas por cerca de duas polegadas no mapa, então é fácil para descobrir que as aldeias estão separadas por cerca de quatro milhas no terreno.

Uma escala lexical pode causar problemas se for expressa em um idioma que o usuário não entende ou em unidades obsoletas ou mal definidas. Por exemplo, uma escala de uma polegada a um furlong (1:7920) será compreendida por muitas pessoas mais velhas em países onde as unidades imperiais costumavam ser ensinadas nas escolas. Mas uma escala de um pouce para uma légua pode ser de cerca de 1:144.000, dependendo da escolha do cartógrafo das muitas definições possíveis para uma légua, e apenas uma minoria de usuários modernos estará familiarizada com as unidades usadas.

Grande escala, média escala, pequena escala

Contraste com a escala espacial .

Um mapa é classificado como de pequena escala ou grande escala ou às vezes de média escala . A escala pequena refere-se a mapas mundiais ou mapas de grandes regiões, como continentes ou grandes nações. Em outras palavras, eles mostram grandes áreas de terra em um pequeno espaço. Eles são chamados de pequena escala porque a fração representativa é relativamente pequena.

Mapas em grande escala mostram áreas menores com mais detalhes, como mapas de condados ou planos de cidades. Esses mapas são chamados de grande escala porque a fração representativa é relativamente grande. Por exemplo, uma planta urbana, que é um mapa em grande escala, pode estar na escala de 1:10.000, enquanto o mapa-múndi, que é um mapa em pequena escala, pode estar na escala de 1:100.000.000.

A tabela a seguir descreve os intervalos típicos para essas escalas, mas não deve ser considerada oficial porque não há um padrão:

Classificação Faixa Exemplos
grande escala 1:0 – 1:600.000 1:0,00001 para mapa de vírus; 1:5.000 para andar no mapa da cidade
escala média 1:600.000 - 1:2.000.000 Mapa de um país
pequena escala 1:2.000.000 – 1:∞ 1:50.000.000 para mapa-múndi; 1:10 21 para o mapa da galáxia

Os termos às vezes são usados ​​no sentido absoluto da tabela, mas outras vezes em um sentido relativo. Por exemplo, um leitor de mapa cujo trabalho se refere apenas a mapas de grande escala (conforme tabelado acima) pode se referir a um mapa em 1:500.000 como de pequena escala.

Na língua inglesa, a palavra large-scale é frequentemente usada para significar "extenso". No entanto, como explicado acima, os cartógrafos usam o termo "grande escala" para se referir a mapas menos extensos – aqueles que mostram uma área menor. Mapas que mostram uma área extensa são mapas de "pequena escala". Isso pode ser um motivo de confusão.

variação de escala

O mapeamento de grandes áreas causa distorções perceptíveis porque achata significativamente a superfície curva da Terra. Como a distorção é distribuída depende da projeção do mapa . A escala varia ao longo do mapa e a escala do mapa declarada é apenas uma aproximação. Isso é discutido em detalhes abaixo.

Mapas de grande escala com curvatura negligenciada

A região sobre a qual a Terra pode ser considerada plana depende da precisão das medições do levantamento . Se medida apenas até o metro mais próximo, a curvatura da Terra é indetectável em uma distância meridiana de cerca de 100 quilômetros (62 milhas) e em uma linha leste-oeste de cerca de 80 km (a uma latitude de 45 graus). Se examinada com precisão de 1 milímetro (0,039 pol.), a curvatura é indetectável em uma distância meridiana de cerca de 10 km e em uma linha leste-oeste de cerca de 8 km. Assim, uma planta da cidade de Nova York com precisão de um metro ou uma planta do canteiro de obras com precisão de um milímetro satisfariam as condições acima para a negligência da curvatura. Eles podem ser tratados por levantamento plano e mapeados por desenhos em escala nos quais quaisquer dois pontos à mesma distância no desenho estão à mesma distância no solo. As verdadeiras distâncias terrestres são calculadas medindo a distância no mapa e depois multiplicando pelo inverso da fração de escala ou, de forma equivalente, simplesmente usando divisores para transferir a separação entre os pontos no mapa para uma escala de barra no mapa.

Escala de pontos (ou escala particular)

Como provado pelo teorema Egregium de Gauss , uma esfera (ou elipsóide) não pode ser projetada em um plano sem distorção. Isso é comumente ilustrado pela impossibilidade de alisar uma casca de laranja em uma superfície plana sem rasgá-la e deformá-la. A única representação verdadeira de uma esfera em escala constante é outra esfera, como um globo .

Dado o tamanho prático limitado dos globos, devemos usar mapas para mapeamento detalhado. Os mapas requerem projeções. Uma projeção implica distorção: Uma separação constante no mapa não corresponde a uma separação constante no terreno. Embora um mapa possa exibir uma escala de barra gráfica, a escala deve ser usada com o entendimento de que será precisa apenas em algumas linhas do mapa. (Isso é discutido mais adiante nos exemplos nas seções a seguir.)

Seja P um ponto na latitude e longitude na esfera (ou elipsóide ). Seja Q um ponto vizinho e seja o ângulo entre o elemento PQ e o meridiano em P: este ângulo é o ângulo de azimute do elemento PQ. Sejam P' e Q' pontos correspondentes na projeção. O ângulo entre a direção P'Q' e a projeção do meridiano é o rumo . Em geral . Comentário: esta distinção precisa entre azimute (na superfície da Terra) e orientação (no mapa) não é observada universalmente, muitos escritores usam os termos quase de forma intercambiável.

Definição: a escala de pontos em P é a razão entre as duas distâncias P'Q' e PQ no limite em que Q se aproxima de P. Escrevemos isso como

onde a notação indica que a escala do ponto é função da posição de P e também da direção do elemento PQ.

Definição: se P e Q estão no mesmo meridiano , a escala do meridiano é denotada por .

Definição: se P e Q estão no mesmo paralelo , a escala paralela é denotada por .

Definição: se a escala do ponto depende apenas da posição, não da direção, dizemos que é isotrópica e convencionalmente denotamos seu valor em qualquer direção pelo fator de escala paralela .

Definição: Uma projeção cartográfica é dita conforme se o ângulo entre um par de linhas que se cruzam em um ponto P é o mesmo que o ângulo entre as linhas projetadas no ponto projetado P', para todos os pares de linhas que se cruzam no ponto P. Um mapa conforme tem um fator de escala isotrópico. Por outro lado, os fatores de escala isotrópica em todo o mapa implicam uma projeção conforme.

A isotropia de escala implica que pequenos elementos são esticados igualmente em todas as direções, ou seja, a forma de um pequeno elemento é preservada. Esta é a propriedade do ortomorfismo (do grego 'forma correta'). A qualificação 'pequena' significa que, em uma determinada precisão de medição, nenhuma alteração pode ser detectada no fator de escala sobre o elemento. Como as projeções conformes têm um fator de escala isotrópico, elas também são chamadas de projeções ortomórficas . Por exemplo, a projeção de Mercator é conformal, pois é construída para preservar os ângulos e seu fator de escala é isotrópico, uma função apenas da latitude: Mercator preserva a forma em pequenas regiões.

Definição: em uma projeção conforme com uma escala isotrópica, os pontos que têm o mesmo valor de escala podem ser unidos para formar as linhas de isoescala . Estes não são plotados em mapas para usuários finais, mas aparecem em muitos dos textos padrão. (Veja Snyder páginas 203-206.)

A fração representativa (RF) ou escala principal

Existem duas convenções usadas para estabelecer as equações de qualquer projeção. Por exemplo, a projeção cilíndrica equiretangular pode ser escrita como

cartógrafos:             
matemáticos:            

Aqui adotaremos a primeira dessas convenções (seguindo o uso nas pesquisas de Snyder). Claramente, as equações de projeção acima definem posições em um enorme cilindro enrolado em torno da Terra e depois desenrolado. Dizemos que essas coordenadas definem o mapa de projeção que deve ser distinguido logicamente dos mapas reais impressos (ou visualizados). Se a definição de escala de pontos na seção anterior for em termos do mapa de projeção, podemos esperar que os fatores de escala sejam próximos da unidade. Para projeções cilíndricas tangentes normais, a escala ao longo do equador é k=1 e, em geral, a escala muda à medida que nos afastamos do equador. A análise de escala no mapa de projeção é uma investigação da mudança de k longe de seu verdadeiro valor de unidade.

Os mapas impressos reais são produzidos a partir do mapa de projeção por uma escala constante denotada por uma proporção como 1:100M (para mapas do mundo inteiro) ou 1:10000 (para planos de cidades). Para evitar confusão no uso da palavra 'escala', essa fração de escala constante é chamada de fração representativa (RF) do mapa impresso e deve ser identificada com a razão impressa no mapa. As coordenadas reais do mapa impresso para a projeção cilíndrica equirretangular são

mapa impresso:             

Esta convenção permite uma clara distinção entre escala de projeção intrínseca e escala de redução.

A partir deste ponto, ignoramos o RF e trabalhamos com o mapa de projeção.

Visualização da escala de pontos: a indicatrix Tissot

A projeção tripel de Winkel com a indicatriz de deformação de Tissot

Considere um pequeno círculo na superfície da Terra centrado em um ponto P na latitude e longitude . Como a escala do ponto varia com a posição e a direção, a projeção do círculo na projeção será distorcida. Tissot provou que, desde que a distorção não seja muito grande, o círculo se tornará uma elipse na projeção. Em geral, a dimensão, forma e orientação da elipse mudarão ao longo da projeção. A sobreposição dessas elipses de distorção na projeção do mapa transmite a maneira pela qual a escala do ponto está mudando no mapa. A elipse de distorção é conhecida como indicatriz de Tissot . O exemplo mostrado aqui é a projeção Winkel tripel , a projeção padrão para mapas mundiais feita pela National Geographic Society . A distorção mínima está no meridiano central nas latitudes de 30 graus (Norte e Sul). (Outros exemplos).

Escala de pontos para projeções cilíndricas normais da esfera

201globe.svg

A chave para uma compreensão quantitativa da escala é considerar um elemento infinitesimal na esfera. A figura mostra um ponto P na latitude e longitude na esfera. O ponto Q está na latitude e na longitude . As linhas PK e MQ são arcos de meridianos de comprimento onde é o raio da esfera e está em radianos. As linhas PM e KQ são arcos de círculos paralelos de comprimento com medida em radianos. Ao derivar uma propriedade pontual da projeção em P, basta tomar um elemento infinitesimal PMQK da superfície: no limite de Q aproximando-se de P, tal elemento tende a um retângulo planar infinitesimal.

Elementos infinitesimais na esfera e uma projeção cilíndrica normal

As projeções cilíndricas normais da esfera têm e são iguais a uma função apenas da latitude. Portanto, o elemento infinitesimal PMQK na esfera se projeta para um elemento infinitesimal P'M'Q'K' que é um retângulo exato com base e altura  . Ao comparar os elementos na esfera e na projeção, podemos deduzir imediatamente expressões para os fatores de escala em paralelos e meridianos. (O tratamento da escala em uma direção geral pode ser encontrado abaixo .)

fator de escala paralelo  
fator de escala do meridiano 

Observe que o fator de escala paralela é independente da definição de , portanto é o mesmo para todas as projeções cilíndricas normais. É útil notar que

na latitude 30 graus a escala paralela é
na latitude 45 graus a escala paralela é
na latitude 60 graus a escala paralela é
na latitude 80 graus, a escala paralela é
na latitude 85 graus, a escala paralela é

Os exemplos a seguir ilustram três projeções cilíndricas normais e, em cada caso, a variação de escala com posição e direção é ilustrada pelo uso da indicatriz de Tissot .

Três exemplos de projeção cilíndrica normal

A projeção equiretangular

A projeção equidistante com a indicatriz de deformação de Tissot

A projeção equirretangular , também conhecida como Plate Carrée (francês para "quadrado plano") ou (um tanto enganosamente) a projeção equidistante, é definida por

  

onde é o raio da esfera, é a longitude do meridiano central da projeção (aqui considerado o meridiano de Greenwich em ) e é a latitude. Observe que e estão em radianos (obtidos pela multiplicação da medida de grau por um fator de /180). A longitude está no intervalo e a latitude está no intervalo .

Como a seção anterior fornece

escala paralela, 
escala meridiana

Para o cálculo da escala de pontos em uma direção arbitrária, consulte o adendo .

A figura ilustra a indicatriz Tissot para esta projeção. No equador h=k=1 e os elementos circulares não são distorcidos na projeção. Em latitudes mais altas, os círculos são distorcidos em uma elipse dada pelo alongamento apenas na direção paralela: não há distorção na direção do meridiano. A razão entre o eixo maior e o eixo menor é . Claramente, a área da elipse aumenta pelo mesmo fator.

É instrutivo considerar o uso de escalas de barras que podem aparecer em uma versão impressa dessa projeção. A escala é verdadeira (k = 1) no equador, de modo que multiplicar seu comprimento em um mapa impresso pelo inverso do RF (ou escala principal) fornece a circunferência real da Terra. A escala de barras no mapa também é desenhada na escala real, de modo que a transferência de uma separação entre dois pontos no equador para a escala de barras dará a distância correta entre esses pontos. O mesmo vale para os meridianos. Em um paralelo diferente do equador a escala é assim quando transferimos uma separação de um paralelo para a escala de barras devemos dividir a distância da escala de barras por este fator para obter a distância entre os pontos quando medidos ao longo do paralelo (que não é o distância verdadeira ao longo de um grande círculo ). Em uma linha em um rumo de, digamos, 45 graus ( ), a escala varia continuamente com a latitude e a transferência de uma separação ao longo da linha para a escala de barra não fornece uma distância relacionada à distância real de maneira simples. (Mas veja adendo ). Mesmo que uma distância ao longo dessa linha de ângulo plano constante pudesse ser calculada, sua relevância é questionável, pois tal linha na projeção corresponde a uma curva complicada na esfera. Por essas razões, as escalas de barra em mapas de pequena escala devem ser usadas com extremo cuidado.

Projeção de Mercator

A projeção de Mercator com a indicatriz de deformação de Tissot . (A distorção aumenta sem limite em latitudes mais altas)

A projeção de Mercator mapeia a esfera em um retângulo (de extensão infinita na direção -) pelas equações

onde a, e são como no exemplo anterior. Como os fatores de escala são:

escala paralela     
escala meridiana   

No adendo matemático , é mostrado que a escala de pontos em uma direção arbitrária também é igual a , então a escala é isotrópica (mesma em todas as direções), sua magnitude aumentando com a latitude como . No diagrama de Tissot, cada elemento circular infinitesimal preserva sua forma, mas é ampliado cada vez mais à medida que a latitude aumenta.

Projeção de área igual de Lambert

Projeção de área igual cilíndrica normal de Lambert com indicador de deformação de Tissot

A projeção de área igual de Lambert mapeia a esfera para um retângulo finito pelas equações

onde a, e são como no exemplo anterior. Como os fatores de escala são

escala paralela      
escala meridiana   

O cálculo da escala de pontos em uma direção arbitrária é dado abaixo .

As escalas vertical e horizontal agora se compensam (hk=1) e no diagrama de Tissot cada elemento circular infinitesimal é distorcido em uma elipse da mesma área que os círculos não distorcidos no equador.

Gráficos de fatores de escala

Cyl proj scale 3examples.svg

O gráfico mostra a variação dos fatores de escala para os três exemplos acima. O gráfico superior mostra a função de escala de Mercator isotrópica: a escala no paralelo é a mesma que a escala no meridiano. Os outros gráficos mostram o fator de escala do meridiano para a projeção equirretangular (h=1) e para a projeção de área igual de Lambert. Essas duas últimas projeções têm uma escala paralela idêntica à do gráfico de Mercator. Para Lambert note que a escala paralela (como Mercator A) aumenta com a latitude e a escala meridiana (C) diminui com a latitude de tal forma que hk=1, garantindo a conservação da área.

Variação de escala na projeção de Mercator

A escala de pontos de Mercator é a unidade no equador porque é tal que o cilindro auxiliar usado em sua construção é tangente à Terra no equador. Por esta razão, a projeção usual deve ser chamada de projeção tangente . A escala varia com a latitude como . Uma vez que tende ao infinito quando nos aproximamos dos pólos, o mapa de Mercator é grosseiramente distorcido em altas latitudes e por esta razão a projeção é totalmente inapropriada para mapas do mundo (a menos que estejamos discutindo navegação e linhas de loxodromia ). No entanto, a uma latitude de cerca de 25 graus, o valor de é cerca de 1,1, portanto, Mercator tem precisão de 10% em uma faixa de largura de 50 graus centrada no equador. Faixas mais estreitas são melhores: uma faixa de largura de 16 graus (centrada no equador) tem precisão de 1% ou 1 parte em 100.

Um critério padrão para bons mapas em grande escala é que a precisão deve estar dentro de 4 partes em 10.000, ou 0,04%, correspondendo a . Desde atinge este valor em graus (ver figura abaixo, linha vermelha). Portanto, a projeção tangente de Mercator é altamente precisa dentro de uma faixa de largura de 3,24 graus centrada no equador. Isso corresponde a uma distância norte-sul de cerca de 360 ​​km (220 milhas). Dentro desta faixa, o Mercator é muito bom, altamente preciso e preserva a forma porque é conforme (preserva o ângulo). Essas observações levaram ao desenvolvimento das projeções transversais de Mercator, nas quais um meridiano é tratado "como um equador" da projeção, de modo que obtemos um mapa preciso dentro de uma distância estreita desse meridiano. Esses mapas são bons para países alinhados quase norte-sul (como a Grã-Bretanha ) e um conjunto de 60 desses mapas é usado para o Universal Transverse Mercator (UTM) . Observe que em ambas as projeções (que são baseadas em vários elipsoides) as equações de transformação para x e y e a expressão para o fator de escala são funções complicadas de latitude e longitude.

Variação de escala perto do equador para as projeções de Mercator tangente (vermelho) e secante (verde).

Projeções secantes ou modificadas

A ideia básica de uma projeção secante é que a esfera é projetada para um cilindro que intercepta a esfera em dois paralelos, digamos norte e sul. Claramente, a escala agora é verdadeira nessas latitudes, enquanto os paralelos abaixo dessas latitudes são contraídos pela projeção e seu fator de escala (paralelo) deve ser menor que um. O resultado é que o desvio da escala da unidade é reduzido em uma faixa mais ampla de latitudes.

Projeção Cilíndrica secante.svg

Como exemplo, uma possível projeção secante de Mercator é definida por

Os multiplicadores numéricos não alteram a forma da projeção, mas significam que os fatores de escala são modificados:

escala secante de Mercator,   

Por isso

  • a escala no equador é 0,9996,
  • a escala é k  = 1 em uma latitude dada por where de modo que graus,
  • k=1,0004 em uma latitude dada por para quais graus. Portanto, a projeção tem , ou seja, uma precisão de 0,04%, sobre uma faixa mais larga de 4,58 graus (em comparação com 3,24 graus para a forma tangente).

Isso é ilustrado pela curva inferior (verde) na figura da seção anterior.

Essas zonas estreitas de alta precisão são usadas na projeção UTM e OSGB britânica, ambas secantes, transversais a Mercator no elipsóide com a escala no meridiano central constante em . As linhas de isoescala são linhas ligeiramente curvas a aproximadamente 180 km a leste e a oeste do meridiano central. O valor máximo do fator de escala é 1,001 para UTM e 1,0007 para OSGB.

As linhas de escala unitária na latitude (norte e sul), onde a superfície de projeção cilíndrica intercepta a esfera, são os paralelos padrão da projeção secante.

Embora uma faixa estreita seja importante para mapeamento de alta precisão em grande escala, para mapas mundiais, paralelos padrão espaçados muito mais amplos são usados ​​para controlar a variação de escala. Exemplos são

  • Behrmann com paralelos padrão em 30N, 30S.
  • Gall área igual com paralelos padrão em 45N, 45S.
Variação de escala para as projeções de área igual Lambert (verde) e Gall (vermelho).

Os gráficos de escala para o último são mostrados abaixo em comparação com os fatores de escala de área igual de Lambert. Neste último, o equador é um único paralelo padrão e a escala paralela aumenta de k = 1 para compensar a diminuição na escala do meridiano. Para o Gall, a escala paralela é reduzida no equador (para k=0,707), enquanto a escala do meridiano é aumentada (para k=1,414). Isso dá origem à distorção grosseira da forma na projeção de Gall-Peters. (No globo, a África é tão longa quanto larga). Observe que as escalas de meridianos e paralelos são ambas unidades nos paralelos padrão.

adendo matemático

Elementos infinitesimais na esfera e uma projeção cilíndrica normal

Para projeções cilíndricas normais, a geometria dos elementos infinitesimais dá

A relação entre os ângulos e é

Para a projeção de Mercator, os ângulos são preservados. (Dificilmente surpreendente, já que esta é a relação usada para derivar Mercator). Para as projeções equidistantes e de Lambert, temos e , respectivamente, a relação entre e depende da latitude  . Denote a escala do ponto em P quando o elemento infinitesimal PQ faz um ângulo com o meridiano por É dado pela razão das distâncias:

Definindo e substituindo e das equações (a) e (b), respectivamente, dá

Para as projeções diferentes de Mercator, devemos primeiro calcular e usar a equação (c), antes de podermos encontrar . Por exemplo, a projeção equiretangular tem de modo que

Se considerarmos uma linha de inclinação constante na projeção, tanto o valor correspondente de quanto o fator de escala ao longo da linha são funções complicadas de . Não há uma maneira simples de transferir uma separação finita geral para uma escala de barras e obter resultados significativos.

símbolo de razão

Embora os dois pontos sejam frequentemente usados ​​para expressar proporções, o Unicode pode expressar um símbolo específico para proporções, sendo ligeiramente aumentado: U+ 2236 RATIO ( ).

Veja também

Referências