Equação de Schrödinger - Schrödinger equation

A equação de Schrödinger inscrita na lápide de Annemarie e Erwin Schrödinger. ( A notação de ponto de Newton para a derivada de tempo é usada.)

A equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial linear que governa a função de onda de um sistema mecânico quântico. É um resultado fundamental na mecânica quântica , e sua descoberta foi um marco significativo no desenvolvimento do assunto. A equação leva o nome de Erwin Schrödinger , que postulou a equação em 1925, e a publicou em 1926, formando a base para o trabalho que resultou em seu Prêmio Nobel de Física em 1933.

Conceitualmente, a equação de Schrödinger é a contraparte quântica da segunda lei de Newton na mecânica clássica . Dado um conjunto de condições iniciais conhecidas, a segunda lei de Newton faz uma previsão matemática sobre o caminho que um determinado sistema físico seguirá ao longo do tempo. A equação de Schrödinger dá a evolução ao longo do tempo de uma função de onda , a caracterização mecânica quântica de um sistema físico isolado. A equação pode ser derivada do fato de que o operador de evolução no tempo deve ser unitário e, portanto, deve ser gerado pelo exponencial de um operador auto-adjunto , que é o hamiltoniano quântico .

A equação de Schrödinger não é a única maneira de estudar sistemas de mecânica quântica e fazer previsões. As outras formulações da mecânica quântica incluem a mecânica da matriz , introduzida por Werner Heisenberg , e a formulação integral do caminho , desenvolvida principalmente por Richard Feynman . Paul Dirac incorporou a mecânica da matriz e a equação de Schrödinger em uma única formulação. Quando essas abordagens são comparadas, o uso da equação de Schrödinger é algumas vezes chamado de "mecânica ondulatória".

Definição

Preliminares

Gráfico complexo de uma função de onda que satisfaz a equação de Schrödinger não relativística com V = 0 . Em outras palavras, isso corresponde a uma partícula viajando livremente pelo espaço vazio.

Cursos introdutórios em física ou química geralmente introduzem a equação de Schrödinger de uma forma que pode ser apreciada conhecendo apenas os conceitos e notações do cálculo básico , particularmente as derivadas com respeito ao espaço e ao tempo. Um caso especial da equação de Schrödinger que admite uma afirmação nesses termos é a equação de Schrödinger de espaço de posição para uma única partícula não relativística em uma dimensão:

Aqui está uma função de onda, uma função que atribui um número complexo a cada ponto a cada vez . O parâmetro é a massa da partícula, e é o potencial que representa o ambiente em que a partícula existe. A constante é a unidade imaginária , e é a constante de Planck reduzida , que possui unidades de ação (energia multiplicada pelo tempo).

Ampliando além deste caso simples, a formulação matematicamente rigorosa da mecânica quântica desenvolvida por Paul Dirac , David Hilbert , John von Neumann e Hermann Weyl define o estado de um sistema mecânico quântico como um vetor pertencente a um espaço de Hilbert ( separável ) . Postula-se que esse vetor seja normalizado sob o produto interno do espaço de Hilbert, ou seja, na notação de Dirac ele obedece . A natureza exata deste espaço de Hilbert depende do sistema - por exemplo, para descrever a posição e o momento, o espaço de Hilbert é o espaço de funções quadradas integráveis complexas , enquanto o espaço de Hilbert para o spin de um único próton é simplesmente o espaço de vetores complexos bidimensionais com o produto interno usual.

Quantidades físicas de interesse - posição, momento, energia, spin - são representadas por "observáveis", que são operadores lineares Hermitianos (mais precisamente, auto-adjuntos ) atuando no espaço de Hilbert. Uma função de onda pode ser um autovetor de um estado próprio observável, caso em que é chamada de estado próprio , e o valor próprio associado corresponde ao valor do estado próprio observável. De forma mais geral, um estado quântico será uma combinação linear dos autoestados, conhecida como superposição quântica . Quando um observável é medido, o resultado será um de seus autovalores com probabilidade dada pela regra de Born : no caso mais simples o autovalor é não degenerado e a probabilidade é dada por , onde está seu autovetor associado. De modo mais geral, o autovalor é degenerado e a probabilidade é dada por , onde está o projetor em seu autovalor associado.

Um eigenstate de momentum seria uma onda perfeitamente monocromática de extensão infinita, que não é quadrada-integrável. Da mesma forma, um eigenstate de posição seria uma distribuição delta de Dirac , não integrável ao quadrado e tecnicamente não seria uma função. Conseqüentemente, nenhum deles pode pertencer ao espaço de Hilbert da partícula. Os físicos às vezes introduzem "bases" fictícias para um espaço de Hilbert compreendendo elementos fora desse espaço. Eles são inventados por conveniência de cálculo e não representam estados físicos.

Equação dependente do tempo

A forma da equação de Schrödinger depende da situação física. A forma mais geral é a equação de Schrödinger dependente do tempo, que fornece uma descrição de um sistema que evolui com o tempo:

onde (a letra grega psi ) é o vetor de estado do sistema quântico, é o tempo e é um observável, o operador hamiltoniano .

Cada uma dessas três linhas é uma função de onda que satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo para um oscilador harmônico . Esquerda: A parte real (azul) e a parte imaginária (vermelha) da função de onda. Direita: A distribuição de probabilidade de encontrar a partícula com esta função de onda em uma determinada posição. As duas primeiras linhas são exemplos de estados estacionários , que correspondem a ondas estacionárias . A linha inferior é um exemplo de um estado que não é um estado estacionário. A coluna da direita ilustra porque os estados estacionários são chamados de "estacionários".

O termo "equação de Schrödinger" pode se referir à equação geral ou à versão não relativística específica. A equação geral é, de fato, bastante geral, usada em toda a mecânica quântica, para tudo, desde a equação de Dirac até a teoria quântica de campos , inserindo diversas expressões para o hamiltoniano. A versão não relativística específica é uma aproximação que produz resultados precisos em muitas situações, mas apenas até certo ponto (ver mecânica quântica relativística e teoria quântica de campo relativística ).

Para aplicar a equação de Schrödinger, escreva o hamiltoniano para o sistema, levando em consideração as energias cinética e potencial das partículas que constituem o sistema e, em seguida, insira-o na equação de Schrödinger. A equação diferencial parcial resultante é resolvida para a função de onda, que contém informações sobre o sistema. Na prática, o quadrado do valor absoluto da função de onda em cada ponto é usado para definir uma função de densidade de probabilidade . Por exemplo, dada uma função de onda no espaço de posição como acima, temos

Equação independente do tempo

A equação de Schrödinger dependente do tempo descrita acima prediz que as funções de onda podem formar ondas estacionárias , chamadas de estados estacionários . Esses estados são particularmente importantes, pois seu estudo individual posteriormente simplifica a tarefa de resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo para qualquer estado. Os estados estacionários também podem ser descritos por uma forma mais simples da equação de Schrödinger, a equação de Schrödinger independente do tempo.

Equação de Schrödinger independente do tempo ( geral )

onde está a energia do sistema. Isso só é usado quando o próprio hamiltoniano não depende explicitamente do tempo. No entanto, mesmo neste caso, a função de onda total ainda tem uma dependência do tempo. Na linguagem da álgebra linear , esta equação é uma equação de autovalor . Portanto, a função de onda é uma autofunção do operador hamiltoniano com os autovalores correspondentes .

Propriedades

Linearidade

A equação de Schrödinger é uma equação diferencial linear , o que significa que se duas funções de onda ψ 1 e ψ 2 são soluções, então qualquer combinação linear das duas também é:

onde um e b são quaisquer números complexos. Além disso, a soma pode ser estendida para qualquer número de funções de onda. Esta propriedade permite que as superposições de estados quânticos sejam soluções da equação de Schrödinger. Ainda mais genericamente, ele sustenta que uma solução geral para a equação de Schrödinger pode ser encontrada tomando uma soma ponderada sobre uma base de estados. Uma escolha frequentemente empregada é a base de estados próprios de energia, que são soluções da equação de Schrödinger independente do tempo. Por exemplo, considere uma função de onda Ψ ( x , t ) de forma que a função de onda seja um produto de duas funções: uma independente do tempo e outra dependente do tempo. Se os estados de energia definida encontrados usando a equação de Schrödinger independente do tempo são dados por ψ E ( x ) com amplitude A n e fator de fase dependente do tempo é dado por

então uma solução geral válida é

Unidade

Mantendo a constante hamiltoniana , a equação de Schrödinger tem a solução

O operador é conhecido como operador de evolução no tempo e é unitário : ele preserva o produto interno entre os vetores no espaço de Hilbert. A unidade é uma característica geral da evolução do tempo de acordo com a equação de Schrödinger. Se o estado inicial for , então o estado em um momento posterior será dado por

para algum operador unitário . Por outro lado, suponha que seja uma família contínua de operadores unitários parametrizados por . Sem perda de generalidade , a parametrização pode ser escolhida para que seja o operador de identidade e aquele para qualquer . Em seguida, depende exponencialmente do parâmetro , implicando

para algum operador auto-adjunto , chamado de gerador da família . Um hamiltoniano é exatamente esse gerador (até o fator da constante de Planck que seria definido como 1 em unidades naturais ).

Mudanças de base

A equação de Schrödinger é freqüentemente apresentada usando quantidades variando como funções de posição, mas como uma equação de vetor-operador ela tem uma representação válida em qualquer base completa arbitrária de kets no espaço de Hilbert . Como mencionado acima, "bases" que se encontram fora do espaço físico de Hilbert também são empregadas para fins de cálculo. Isto é ilustrado pela posição-espaço e impulso de espaço equações Schrödinger para uma partícula não-relativística, Spinless. O espaço de Hilbert para tal partícula é o espaço de funções quadradas integráveis ​​complexas no espaço euclidiano tridimensional, e seu hamiltoniano é a soma de um termo de energia cinética que é quadrático no operador de momento e um termo de energia potencial:

Escrevendo para um vetor de posição tridimensional e para um vetor de momento tridimensional, a equação de Schrödinger do espaço de posição é

A contraparte momentum-espaço envolve as transformadas de Fourier da função de onda e o potencial:

As funções e são derivados a partir de

onde e não pertencem ao próprio espaço de Hilbert, mas têm produtos internos bem definidos com todos os elementos desse espaço.

Quando restrita de três dimensões a uma, a equação espaço-posição é apenas a primeira forma da equação de Schrödinger dada acima . A relação entre posição e momento na mecânica quântica pode ser apreciada em uma única dimensão. Na quantização canônica , as variáveis ​​clássicas e são promovidas a operadores auto-adjuntos e que satisfazem a relação de comutação canônica.

Isso implica que

então a ação do operador momentum na representação do espaço de posição é . Assim, torna-se uma segunda derivada , e em três dimensões, a segunda derivada torna-se o Laplaciano .

A relação de comutação canônica também implica que os operadores de posição e momento são conjugados de Fourier um do outro. Consequentemente, as funções originalmente definidas em termos de sua dependência de posição podem ser convertidas em funções de momento usando a transformada de Fourier. Na física do estado sólido , a equação de Schrödinger é freqüentemente escrita para funções de momento, já que o teorema de Bloch garante que o potencial da rede cristalina periódica se acopla com apenas vetores de rede recíprocos discretos . Isso torna conveniente resolver a equação de Schrödinger de espaço de momento em cada ponto na zona de Brillouin, independentemente dos outros pontos na zona de Brillouin.

Corrente de probabilidade

A equação de Schrödinger é consistente com a conservação de probabilidade local . Multiplicar a equação de Schrödinger à direita pela função de onda conjugada complexa e multiplicar a função de onda à esquerda do conjugado complexo da equação de Schrödinger, e subtrair, dá a equação de continuidade para probabilidade:

Onde

é a densidade de probabilidade (probabilidade por unidade de volume, * denota conjugado complexo ), e

é a probabilidade de corrente (fluxo por unidade de área).

Separação de variáveis

Se o hamiltoniano não é uma função explícita do tempo, a equação é separável em um produto de partes espaciais e temporais. Em geral, a função de onda assume a forma:

onde é uma função de todas as coordenadas espaciais da (s) partícula (s) que constituem o sistema apenas, e é uma função apenas do tempo. Substituir esta expressão por na equação de Schrödinger e resolver por separação de variáveis implica que a solução geral da equação dependente do tempo tem a forma

Como o fator de fase dependente do tempo é sempre o mesmo, apenas a parte espacial precisa ser resolvida em problemas independentes do tempo. Além disso, o operador de energia Ĥ = /tpode sempre ser substituído pelo autovalor de energia E e, portanto, a equação de Schrödinger independente do tempo é uma equação de autovalor para o operador hamiltoniano:

Isso é verdade para qualquer número de partículas em qualquer número de dimensões (em um potencial independente do tempo). Este caso descreve as soluções de ondas estacionárias da equação dependente do tempo, que são os estados com energia definida (em vez de uma distribuição de probabilidade de energias diferentes). Na física, essas ondas estacionárias são chamadas de " estados estacionários " ou " autoestados de energia "; em química, eles são chamados de " orbitais atômicos " ou " orbitais moleculares ". As superposições de estados próprios de energia mudam suas propriedades de acordo com as fases relativas entre os níveis de energia. Os autoestados de energia formam uma base: qualquer função de onda pode ser escrita como uma soma sobre os estados de energia discretos ou uma integral sobre estados de energia contínuos, ou mais geralmente como uma integral sobre uma medida. Este é o teorema espectral em matemática e, em um espaço de estados finito, é apenas uma declaração da integridade dos autovetores de uma matriz hermitiana .

A separação de variáveis ​​também pode ser um método útil para a equação de Schrödinger independente do tempo. Por exemplo, dependendo da simetria do problema, os eixos cartesianos podem ser separados,

ou as coordenadas radiais e angulares podem ser separadas:

Exemplos

Partícula em uma caixa

Caixa de energia potencial unidimensional (ou poço de potencial infinito)

A partícula em uma caixa de energia potencial unidimensional é o exemplo matematicamente mais simples em que as restrições levam à quantização dos níveis de energia. A caixa é definida como tendo energia potencial zero dentro de uma determinada região e energia potencial infinita fora . Para o caso unidimensional na direção, a equação de Schrödinger independente do tempo pode ser escrita

Com o operador diferencial definido por

a equação anterior evoca o análogo clássico da energia cinética ,

com estado , neste caso, tendo energia coincidente com a energia cinética da partícula.

As soluções gerais da equação de Schrödinger para a partícula em uma caixa são

ou, da fórmula de Euler ,

As infinitas paredes potenciais da caixa determinam os valores de e em e onde deve ser zero. Assim, em ,

e . Em ,

em que não pode ser zero, pois isso entraria em conflito com o postulado que tem a norma 1. Portanto, uma vez que , deve ser um múltiplo inteiro de ,

Esta restrição em implica uma restrição nos níveis de energia, produzindo

Um poço potencial finito é a generalização do problema do poço potencial infinito para poços potenciais com profundidade finita. O problema do poço potencial finito é matematicamente mais complicado do que o problema da partícula infinita em uma caixa, pois a função de onda não é fixada em zero nas paredes do poço. Em vez disso, a função de onda deve satisfazer as condições de contorno matemáticas mais complicadas, pois é diferente de zero em regiões fora do poço. Outro problema relacionado é o da barreira de potencial retangular , que fornece um modelo para o efeito de tunelamento quântico que desempenha um papel importante no desempenho de tecnologias modernas, como memória flash e microscopia de tunelamento de varredura .

Oscilador harmônico

Um oscilador harmônico em mecânica clássica (A – B) e mecânica quântica (C – H). Em (A – B), uma bola, presa a uma mola , oscila para frente e para trás. (C – H) são seis soluções para a Equação de Schrödinger para esta situação. O eixo horizontal é a posição, o eixo vertical é a parte real (azul) ou a parte imaginária (vermelha) da função de onda . Estados estacionários , ou autoestados de energia, que são soluções para a equação de Schrödinger independente do tempo, são mostrados em C, D, E, F, mas não em G ou H.

A equação de Schrödinger para esta situação é

onde está o deslocamento e a frequência angular. Este é um exemplo de sistema quântico-mecânico cuja função de onda pode ser resolvida exatamente. Além disso, pode ser usado para descrever aproximadamente uma ampla variedade de outros sistemas, incluindo átomos vibrantes, moléculas e átomos ou íons em redes e aproximando outros potenciais próximos aos pontos de equilíbrio. É também a base dos métodos de perturbação na mecânica quântica.

As soluções no espaço de posição são

onde , e as funções são os polinômios Hermite de ordem . O conjunto de soluções pode ser gerado por

Os valores próprios são

O caso é chamado de estado fundamental , sua energia é chamada de energia do ponto zero e a função de onda é Gaussiana .

O oscilador harmônico, como a partícula em uma caixa, ilustra a característica genérica da equação de Schrödinger de que as energias dos estados próprios ligados são discretizadas.

Átomo de hidrogênio

A equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio (ou um átomo semelhante ao hidrogênio) é

onde é a carga do elétron, é a posição do elétron em relação ao núcleo, é a magnitude da posição relativa, o termo potencial é devido à interação de Coulomb , em que é a permissividade do espaço livre e

é a massa reduzida de 2 corpos do núcleo de hidrogênio (apenas um próton ) de massa e o elétron de massa . O sinal negativo surge no termo potencial, uma vez que o próton e o elétron têm cargas opostas. A massa reduzida no lugar da massa do elétron é usada uma vez que o elétron e o próton juntos orbitam um ao outro em torno de um centro de massa comum e constituem um problema de dois corpos a ser resolvido. O movimento do elétron é de interesse principal aqui, então o problema de um corpo equivalente é o movimento do elétron usando a massa reduzida.

A equação de Schrödinger para um átomo de hidrogênio pode ser resolvida por separação de variáveis. Nesse caso, as coordenadas polares esféricas são as mais convenientes. Assim,

onde R são funções radiais e são harmônicos esféricos de grau e ordem . Este é o único átomo para o qual a equação de Schrödinger foi resolvida exatamente. Os átomos de vários elétrons requerem métodos aproximados. A família de soluções é:

Onde:

Soluções aproximadas

Normalmente não é possível resolver a equação de Schrödinger exatamente para situações de interesse físico. Assim, soluções aproximadas são obtidas usando técnicas como métodos variacionais e aproximação de WKB . Também é comum tratar um problema de interesse como uma pequena modificação em um problema que pode ser resolvido exatamente, um método conhecido como teoria da perturbação .

Limite semiclássico

Uma maneira simples de comparar a mecânica clássica à quântica é considerar a evolução no tempo da posição esperada e o momento esperado , que podem então ser comparados com a evolução no tempo da posição comum e o momento na mecânica clássica. Os valores da expectativa quântica satisfazem o teorema de Ehrenfest . Para uma partícula quântica unidimensional movendo-se em um potencial , o teorema de Ehrenfest diz

Embora a primeira dessas equações seja consistente com o comportamento clássico, a segunda não é: se o par satisfizesse a segunda lei de Newton, o lado direito da segunda equação teria que ser

que normalmente não é o mesmo que . No caso do oscilador harmônico quântico, entretanto, é linear e essa distinção desaparece, de modo que, neste caso muito especial, a posição esperada e o momento esperado seguem exatamente as trajetórias clássicas.

Para sistemas gerais, o melhor que podemos esperar é que a posição e o momento esperados sigam aproximadamente as trajetórias clássicas. Se a função de onda estiver altamente concentrada em torno de um ponto , então e será quase a mesma, já que ambos serão aproximadamente iguais a . Nesse caso, a posição esperada e o momento esperado permanecerão muito próximos das trajetórias clássicas, pelo menos enquanto a função de onda permanecer altamente localizada na posição.

A equação de Schrödinger em sua forma geral

está intimamente relacionado com a equação de Hamilton-Jacobi (HJE)

onde é a ação clássica e é a função hamiltoniana (não operador). Aqui, as coordenadas generalizadas para (usadas no contexto do HJE) podem ser definidas para a posição em coordenadas cartesianas como .

Substituindo

onde é a densidade de probabilidade, na equação de Schrödinger e, em seguida, tomando o limite na equação resultante produz a equação de Hamilton-Jacobi .

Matrizes de densidade

As funções de onda nem sempre são a maneira mais conveniente de descrever os sistemas quânticos e seu comportamento. Quando a preparação de um sistema é apenas imperfeitamente conhecida, ou quando o sistema sob investigação é parte de um todo maior, podem ser usadas matrizes de densidade . Uma matriz de densidade é um operador semi-definido positivo cujo traço é igual a 1. (O termo "operador de densidade" também é usado, particularmente quando o espaço de Hilbert subjacente é infinito dimensional.) O conjunto de todas as matrizes de densidade é convexo , e os pontos extremos são os operadores que se projetam em vetores no espaço de Hilbert. Estas são as representações da matriz de densidade das funções de onda; na notação de Dirac, eles são escritos

O análogo da matriz de densidade da equação de Schrödinger para funções de onda é

onde os colchetes denotam um comutador . Isso é conhecido como equação de von Neumann, equação de Liouville-von Neumann ou apenas equação de Schrödinger para matrizes de densidade. Se o hamiltoniano for independente do tempo, esta equação pode ser facilmente resolvida para render

Mais geralmente, se o operador unitário descreve a evolução da função de onda ao longo de algum intervalo de tempo, então a evolução do tempo de uma matriz de densidade ao longo desse mesmo intervalo é dada por

A evolução unitária de uma matriz de densidade conserva sua entropia de von Neumann .

Física quântica relativística e teoria quântica de campo

A teoria quântica de campos (QFT) é uma estrutura que permite a combinação da mecânica quântica com a relatividade especial . A forma geral da equação de Schrödinger também é válida em QFT, tanto em situações relativísticas como não relativísticas.

Equações de Klein-Gordon e Dirac

A mecânica quântica relativística é obtida onde a mecânica quântica e a relatividade especial se aplicam simultaneamente. Em geral, deseja-se construir equações de onda relativísticas a partir da relação relativística energia-momento

em vez de equações de energia clássicas. A equação de Klein-Gordon e a equação de Dirac são duas dessas equações. A equação de Klein-Gordon,

foi a primeira equação a ser obtida, antes mesmo da não relativística, e se aplica a partículas massivas sem spin. A equação de Dirac surgiu a partir da obtenção da "raiz quadrada" da equação de Klein-Gordon pela fatoração de todo o operador de onda relativística em um produto de dois operadores - um deles é o operador de toda a equação de Dirac. Equação de Dirac inteira:

A forma geral da equação de Schrödinger permanece verdadeira na relatividade, mas a hamiltoniana é menos óbvia. Por exemplo, o Hamiltoniano Dirac para uma partícula de massa m e carga eléctrica q em um campo electromagnético (descrito pelos potenciais electromagnéticos φ e A ) é:

em que γ = ( γ 1 , γ 2 , γ 3 ) e γ 0 são as matrizes gama de Dirac relacionadas ao spin da partícula. A equação de Dirac é verdadeira para todas as partículas de spin 12 , e as soluções para a equação são campos de espinor de 4 componentes com dois componentes correspondentes à partícula e os outros dois à antipartícula .

Para a equação de Klein-Gordon, a forma geral da equação de Schrödinger é inconveniente de usar e, na prática, o hamiltoniano não é expresso de forma análoga ao hamiltoniano de Dirac. As equações para campos quânticos relativísticos podem ser obtidas de outras maneiras, como começando de uma densidade Lagrangiana e usando as equações de Euler-Lagrange para campos, ou usando a teoria de representação do grupo de Lorentz em que certas representações podem ser usadas para fixar a equação para uma partícula livre de spin (e massa).

Em geral, o hamiltoniano a ser substituído na equação geral de Schrödinger não é apenas uma função dos operadores de posição e momento (e possivelmente do tempo), mas também das matrizes de spin. Além disso, as soluções para uma equação de onda relativística, para uma partícula massiva de spin s , são campos de spinor com componentes de valor complexo 2 (2 s + 1) .

Fock space

Conforme formulado originalmente, a equação de Dirac é uma equação para uma única partícula quântica, assim como a equação de Schrödinger de uma única partícula com função de onda . Isso é de uso limitado na mecânica quântica relativística, onde o número de partículas não é fixo. Heuristicamente, essa complicação pode ser motivada observando-se que a equivalência massa-energia implica que partículas materiais podem ser criadas a partir da energia. Uma maneira comum de resolver isso em QFT é introduzir um espaço de Hilbert onde os estados de base são rotulados por número de partícula, o chamado espaço Fock . A equação de Schrödinger pode então ser formulada para estados quânticos neste espaço de Hilbert.

História

Seguindo a quantização da luz por Max Planck (ver radiação de corpo negro ), Albert Einstein interpretou os quanta de Planck como fótons , partículas de luz , e propôs que a energia de um fóton é proporcional à sua frequência , um dos primeiros sinais de onda –Dualidade de partícula . Uma vez que a energia e o momento estão relacionados da mesma forma que a frequência e o número de onda na relatividade especial , seguiu-se que o momento de um fóton é inversamente proporcional ao seu comprimento de onda , ou proporcional ao seu número de onda :

onde é a constante de Planck e é a constante de Planck reduzida. Louis de Broglie levantou a hipótese de que isso é verdade para todas as partículas, mesmo as partículas que têm massa, como os elétrons. Ele mostrou que, supondo que as ondas de matéria se propagam junto com suas contrapartes de partículas, os elétrons formam ondas estacionárias , o que significa que apenas certas frequências rotacionais discretas em torno do núcleo de um átomo são permitidas. Essas órbitas quantizadas correspondem a níveis de energia discretos , e de Broglie reproduziu a fórmula do modelo de Bohr para os níveis de energia. O modelo de Bohr foi baseado na quantização assumida do momento angular de acordo com:

De acordo com de Broglie, o elétron é descrito por uma onda e todo um número de comprimentos de onda deve caber ao longo da circunferência da órbita do elétron:

Esta abordagem essencialmente confinou a onda de elétrons em uma dimensão, ao longo de uma órbita circular de raio .

Em 1921, antes de de Broglie, Arthur C. Lunn, da Universidade de Chicago, usou o mesmo argumento baseado na conclusão do vetor 4 de energia relativística momentum para derivar o que agora chamamos de relação de de Broglie. Ao contrário de de Broglie, Lunn formulou a equação diferencial agora conhecida como equação de Schrödinger e resolveu seus autovalores de energia para o átomo de hidrogênio. Infelizmente, o artigo foi rejeitado pela Physical Review , conforme relatado por Kamen.

Seguindo as idéias de de Broglie, o físico Peter Debye fez um comentário improvisado que, se as partículas se comportassem como ondas, elas deveriam satisfazer algum tipo de equação de onda. Inspirado pela observação de Debye, Schrödinger decidiu encontrar uma equação de onda tridimensional adequada para o elétron. Ele foi guiado pela analogia de William Rowan Hamilton entre mecânica e óptica, codificada na observação de que o limite de comprimento de onda zero da óptica se assemelha a um sistema mecânico - as trajetórias dos raios de luz tornam-se trilhas nítidas que obedecem ao princípio de Fermat , um análogo do princípio de menor ação .

A equação que ele encontrou é:

No entanto, nessa época, Arnold Sommerfeld havia refinado o modelo de Bohr com correções relativísticas . Schrödinger usou a relação relativística de energia-momento para encontrar o que agora é conhecido como a equação de Klein-Gordon em um potencial de Coulomb (em unidades naturais ):

Ele encontrou as ondas estacionárias dessa equação relativística, mas as correções relativísticas discordaram da fórmula de Sommerfeld. Desanimado, ele deixou de lado seus cálculos e se isolou com uma amante em uma cabana na montanha em dezembro de 1925.

Enquanto estava na cabana, Schrödinger decidiu que seus cálculos não relativísticos anteriores eram novos o suficiente para serem publicados e decidiu deixar o problema das correções relativísticas para o futuro. Apesar das dificuldades em resolver a equação diferencial para o hidrogênio (ele havia procurado a ajuda de seu amigo, o matemático Hermann Weyl ), Schrödinger mostrou que sua versão não relativística da equação de onda produzia as energias espectrais corretas do hidrogênio em um artigo publicado em 1926. Schrödinger calculou o série espectral de hidrogênio , tratando o elétron de um átomo de hidrogênio como uma onda , movendo-se em um poço de potencial , criado pelo próton . Este cálculo reproduziu com precisão os níveis de energia do modelo de Bohr .

A equação de Schrödinger detalha o comportamento de, mas nada diz sobre sua natureza . Schrödinger tentou interpretar a parte real de como uma densidade de carga, e então revisou essa proposta, dizendo em seu próximo artigo que o módulo ao quadrado de é uma densidade de carga. Essa abordagem, no entanto, não teve sucesso. Em 1926, poucos dias após a publicação deste artigo, Max Born interpretou com sucesso como a amplitude de probabilidade , cujo módulo ao quadrado é igual à densidade de probabilidade . Mais tarde, o próprio Schrödinger explicou esta interpretação da seguinte forma:

A já ... mencionada função psi .... é agora o meio para prever a probabilidade dos resultados de medição. Nele está incorporada a soma momentaneamente atingida da expectativa futura baseada na teoria, algo como estabelecido em um catálogo.

-  Erwin Schrödinger

Interpretação

A equação de Schrödinger fornece uma maneira de calcular a função de onda de um sistema e como ela muda dinamicamente no tempo. No entanto, a equação de Schrödinger não diz diretamente o que, exatamente, é a função de onda. O significado da equação de Schrödinger e como as entidades matemáticas nela se relacionam com a realidade física depende da interpretação da mecânica quântica que se adota.

Nas visualizações frequentemente agrupadas como a interpretação de Copenhague , a função de onda de um sistema é uma coleção de informações estatísticas sobre esse sistema. A equação de Schrödinger relaciona informações sobre o sistema em um momento com informações sobre ele em outro. Embora o processo de evolução no tempo representado pela equação de Schrödinger seja contínuo e determinístico, em que conhecer a função de onda em um instante é, em princípio, suficiente para calculá-la para todos os tempos futuros, as funções de onda também podem mudar descontinuamente e estocasticamente durante uma medição . A função de onda muda, de acordo com essa escola de pensamento, porque novas informações estão disponíveis. A função de onda pós-medição geralmente não pode ser conhecida antes da medição, mas as probabilidades para as diferentes possibilidades podem ser calculadas usando a regra de Born . Outras interpretações mais recentes da mecânica quântica, como a mecânica quântica relacional e o QBismo, também dão à equação de Schrödinger um status desse tipo.

O próprio Schrödinger sugeriu em 1952 que os diferentes termos de uma superposição que evolui sob a equação de Schrödinger "não são alternativas, mas todos realmente acontecem simultaneamente". Isso foi interpretado como uma versão inicial da interpretação de muitos mundos de Everett . Esta interpretação, formulada independentemente em 1956, sustenta que todas as possibilidades descritas pela teoria quântica ocorrem simultaneamente em um multiverso composto de universos paralelos principalmente independentes. Esta interpretação remove o axioma do colapso da função de onda, deixando apenas a evolução contínua sob a equação de Schrödinger, e assim todos os estados possíveis do sistema medido e do aparelho de medição, junto com o observador, estão presentes em uma superposição quântica física real . Embora o multiverso seja determinístico, percebemos um comportamento não determinístico governado por probabilidades, porque não observamos o multiverso como um todo, mas apenas um universo paralelo de cada vez. Exatamente como isso deveria funcionar tem sido objeto de muito debate. Por que devemos atribuir probabilidades a resultados que certamente ocorrerão em alguns mundos, e por que as probabilidades devem ser dadas pela regra de Born? Várias maneiras de responder a essas perguntas na estrutura de muitos mundos foram propostas, mas não há consenso sobre se elas são bem-sucedidas.

A mecânica Bohmiana reformula a mecânica quântica para torná-la determinística, ao preço de torná-la explicitamente não local (um preço exigido pelo teorema de Bell ). Ele atribui a cada sistema físico não apenas uma função de onda, mas, além disso, uma posição real que evolui deterministicamente sob uma equação orientadora não local. A evolução de um sistema físico é dada em todos os momentos pela equação de Schrödinger junto com a equação orientadora.

Veja também

Notas

Referências

links externos