Sears – Haack body - Sears–Haack body

Sears-Haack body

O corpo Sears-Haack é a forma com o menor arrasto de onda teórico no fluxo supersônico, para um determinado comprimento de corpo e volume. A derivação matemática assume fluxo supersônico de pequenas perturbações (linearizado), que é governado pela equação de Prandtl-Glauert . A derivação e a forma foram publicadas independentemente por dois pesquisadores separados: Wolfgang Haack em 1941 e mais tarde por William Sears em 1947.

A teoria indica que o arrasto da onda é dimensionado como o quadrado da segunda derivada da distribuição da área (consulte a expressão completa abaixo), portanto, para o arrasto das ondas baixo é necessário que seja suave . Assim, o corpo Sears-Haack é apontado em cada extremidade e cresce suavemente até um máximo e então diminui suavemente em direção ao segundo ponto. ${\ displaystyle D _ {\ text {wave}} \ sim [S '' (x)] ^ {2}}$ ${\ displaystyle S (x)}$

Fórmulas úteis

A área da seção transversal de um corpo Sears-Haack é

{\ displaystyle S (x) = {\ frac {16V} {3L \ pi}} [4x (1-x)] ^ {3/2} = \ pi R _ {\ text {max}} ^ {2} [ 4x (1-x)] ^ {3/2},}

seu volume é

{\ displaystyle V = {\ frac {3 \ pi ^ {2}} {16}} R _ {\ text {max}} ^ {2} L,}

seu raio é

{\ displaystyle r (x) = R _ {\ text {max}} [4x (1-x)] ^ {3/4},}

a derivada (inclinação) é

{\ displaystyle r '(x) = 3R _ {\ text {max}} [4x (1-x)] ^ {- 1/4} (1-2x),}

a segunda derivada é

{\ displaystyle r '' (x) = - 3R _ {\ text {max}} \ {[4x (1-x)] ^ {- 5/4} (1-2x) ^ {2} +2 [4x ( 1-x)] ^ {- 1/4} \},}

Onde:

x é a relação entre a distância do nariz e todo o comprimento do corpo (sempre entre 0 e 1),
r é o raio local,
${\ displaystyle R _ {\ text {max}}}$ é o raio em seu máximo (ocorre no centro da forma),
V é o volume,
L é o comprimento.

Da teoria do corpo esguio , segue-se que:

{\ displaystyle D _ {\ text {wave}} = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ rho U ^ {2} \ int _ {0} ^ {\ ell} \ int _ {0} ^ {\ ell} S '' (x_ {1}) S '' (x_ {2}) \ ln | x_ {1} -x_ {2} | \ mathrm {d} x_ {1} \ mathrm {d} x_ {2},}

alternativamente:

{\ displaystyle D _ {\ text {wave}} = - {\ frac {1} {2 \ pi}} \ rho U ^ {2} \ int _ {0} ^ {\ ell} S '' (x) \ mathrm {d} x \ int _ {0} ^ {x} S '' (x_ {1}) \ ln (x-x_ {1}) \ mathrm {d} x_ {1}.}

Essas fórmulas podem ser combinadas para obter o seguinte:

{\ displaystyle D _ {\ text {wave}} = {\ frac {64V ^ {2}} {\ pi L ^ {4}}} \ rho U ^ {2} = {\ frac {9 \ pi ^ {3 } R_ {max} ^ {4}} {4L ^ {2}}} \ rho U ^ {2},}

{\ displaystyle C_ {D _ {\ text {wave}}} = {\ frac {24V} {L ^ {3}}} = {\ frac {9 \ pi ^ {2} R_ {max} ^ {2}} {2L ^ {2}}},}

Onde:

${\ displaystyle D _ {\ text {wave}}}$ é a resistência da onda ,
${\ displaystyle \ rho}$ é a densidade do fluido,
U é a velocidade.

Generalização por RT Jones

A derivação da forma do corpo Sears-Haack está correta apenas no limite de um corpo esguio. A teoria foi generalizada para formas delgadas mas não axissimétricas por Robert T. Jones no Relatório NACA 1284. Nesta extensão, a área é definida no cone de Mach cujo vértice está na localização , em vez de no plano como assumido por Sears e Haack. Conseqüentemente, a teoria de Jones o torna aplicável a formas mais complexas, como aeronaves supersônicas inteiras. ${\ displaystyle S (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x = {\ text {constant}}}$

Regra de área

Um conceito superficialmente relacionado é a regra da área de Whitcomb , que afirma que o arrasto da onda devido ao volume no fluxo transônico depende principalmente da distribuição da área da seção transversal total, e para o arrasto de onda baixo essa distribuição deve ser suave. Um equívoco comum é que o corpo Sears-Haack tem a distribuição de área ideal de acordo com a regra de área, mas isso não é correto. A equação de Prandtl-Glauert , que é o ponto de partida na derivação da forma do corpo de Sears-Haack, não é válida no fluxo transônico, que é onde a regra da área se aplica.

Veja também

Referências

^ Palaniappan, Karthik (2004). Corpos com Arrasto de Pressão Mínima em Fluxo Supersônico - Investigando Efeitos Não Lineares (PDF) . 22ª Conferência e Exposição de Aerodinâmica Aplicada. Antony Jameson . Página visitada em 2010-09-16 .
^ NACA Report 1284, Theory of Wing-Body Drag at Supersonic Speeds, por Robert T. Jones, 8 de julho de 1953

links externos

[1] Palaniappan, Karthik (2004). Corpos com Arrasto de Pressão Mínima em Fluxo Supersônico - Investigando Efeitos Não Lineares (PDF) . 22ª Conferência e Exposição de Aerodinâmica Aplicada. Antony Jameson . Página visitada em 2010-09-16 .

[2] NACA Report 1284, Theory of Wing-Body Drag at Supersonic Speeds, por Robert T. Jones, 8 de julho de 1953

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