Segunda derivada - Second derivative

A segunda derivada de uma função quadrática é constante .

No cálculo , a segunda derivada , ou a derivada de segunda ordem , de uma função f é a derivada da derivada de f . Grosso modo, a segunda derivada mede como a própria taxa de variação de uma quantidade está mudando; por exemplo, a segunda derivada da posição de um objeto com respeito ao tempo é a aceleração instantânea do objeto, ou a taxa na qual a velocidade do objeto está mudando em relação ao tempo. Na notação Leibniz :

onde a é a aceleração, v é a velocidade, t é o tempo, x é a posição e d é o "delta" ou mudança instantânea. A última expressão é a segunda derivada da posição (x) em relação ao tempo.

No gráfico de uma função , a segunda derivada corresponde à curvatura ou concavidade do gráfico. O gráfico de uma função com uma segunda derivada positiva é côncavo para cima, enquanto o gráfico de uma função com uma segunda derivada negativa se curva no sentido oposto.

Regra de potência da segunda derivada

A regra de potência para a primeira derivada, se aplicada duas vezes, produzirá a regra de potência da segunda derivada da seguinte forma:

Notação

A segunda derivada de uma função geralmente é denotada . Isso é:

Ao usar a notação de Leibniz para derivadas, a segunda derivada de uma variável dependente y em relação a uma variável independente x é escrita

Esta notação é derivada da seguinte fórmula:

Notação alternativa

Como a seção anterior observa, a notação de Leibniz padrão para a segunda derivada é . No entanto, esta forma não é manipulável algebricamente. Ou seja, embora seja formada como uma fração de diferenciais, a fração não pode ser dividida em pedaços, os termos não podem ser cancelados, etc. No entanto, essa limitação pode ser corrigida usando uma fórmula alternativa para a segunda derivada. Este é derivado da aplicação da regra do quociente à primeira derivada. Isso produz a fórmula:

Nesta fórmula, representa o operador diferencial aplicado a , por exemplo, , representa a aplicação do operador diferencial duas vezes, ou seja, e refere-se ao quadrado do operador diferencial aplicada a , ou seja, .

Quando escrito desta forma (e levando em consideração o significado da notação dada acima), os termos da segunda derivada podem ser livremente manipulados como qualquer outro termo algébrico. Por exemplo, a fórmula da função inversa para a segunda derivada pode ser deduzida de manipulações algébricas da fórmula acima, bem como a regra da cadeia para a segunda derivada. Ainda está em debate se fazer essa mudança na notação é útil o suficiente para valer a pena.

Exemplo

Dada a função

a derivada de f é a função

A segunda derivada de f é a derivada de , a saber

Relação com o gráfico

Um enredo de de a . A linha tangente é azul onde a curva é côncava para cima, verde onde a curva é côncava para baixo e vermelha nos pontos de inflexão (0, / 2 e ).

Concavidade

A segunda derivada de uma função f pode ser usada para determinar a concavidade do gráfico de f . Uma função cuja segunda derivada é positiva será côncava para cima (também chamada de convexa), o que significa que a linha tangente ficará abaixo do gráfico da função. Da mesma forma, uma função cuja segunda derivada é negativa será côncava para baixo (também chamada simplesmente de côncava) e suas linhas tangentes ficarão acima do gráfico da função.

Pontos de inflexão

Se a segunda derivada de uma função mudar de sinal, o gráfico da função mudará de côncavo para baixo para côncavo para cima, ou vice-versa. Um ponto onde isso ocorre é chamado de ponto de inflexão . Assumindo que a segunda derivada é contínua, ela deve assumir o valor zero em qualquer ponto de inflexão, embora nem todo ponto onde a segunda derivada é zero seja necessariamente um ponto de inflexão.

Teste de segunda derivada

A relação entre a segunda derivada e o gráfico pode ser usada para testar se um ponto estacionário para uma função (isto é, um ponto onde ) é um máximo local ou um mínimo local . Especificamente,

  • Se , então tem um máximo local em .
  • Se , então tem um mínimo local em .
  • Se , o teste da segunda derivada não diz nada sobre o ponto , um possível ponto de inflexão.

A razão pela qual a segunda derivada produz esses resultados pode ser vista por meio de uma analogia do mundo real. Considere um veículo que a princípio está se movendo para frente com grande velocidade, mas com uma aceleração negativa. Claramente, a posição do veículo no ponto onde a velocidade chega a zero será a distância máxima da posição inicial - após este tempo, a velocidade se tornará negativa e o veículo fará a ré. O mesmo é verdade para o mínimo, com um veículo que a princípio tem uma velocidade muito negativa, mas aceleração positiva.

Limite

É possível escrever um único limite para a segunda derivada:

O limite é chamado de segunda derivada simétrica . Observe que a segunda derivada simétrica pode existir mesmo quando a segunda derivada (usual) não existe.

A expressão à direita pode ser escrita como um quociente de diferença de quocientes de diferença:

Esse limite pode ser visto como uma versão contínua da segunda diferença para sequências .

No entanto, a existência do limite acima não significa que a função tenha uma segunda derivada. O limite acima apenas dá a possibilidade de calcular a segunda derivada - mas não fornece uma definição. Um contra-exemplo é a função de sinal , que é definida como:

A função de sinal não é contínua em zero e, portanto, a segunda derivada para não existe. Mas o limite acima existe para :

Aproximação quadrática

Assim como a primeira derivada está relacionada a aproximações lineares , a segunda derivada está relacionada à melhor aproximação quadrática para uma função f . Esta é a função quadrática cujas primeira e segunda derivadas são iguais às de f em um determinado ponto. A fórmula para a melhor aproximação quadrática para uma função f em torno do ponto x = a é

Essa aproximação quadrática é o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função centrada em x  =  a .

Valores próprios e vetores próprios da segunda derivada

Para muitas combinações de condições de contorno, podem ser obtidas fórmulas explícitas para autovalores e autovetores da segunda derivada . Por exemplo, assumindo condições de contorno de Dirichlet homogêneas (isto é, ), os autovalores são e os autovetores correspondentes (também chamados de autofunções ) são . Aqui,

Para outros casos bem conhecidos, consulte Valores próprios e vetores próprios da segunda derivada .

Generalização para dimensões superiores

O Hessian

A segunda derivada generaliza para dimensões superiores por meio da noção de segundas derivadas parciais . Para uma função f : R 3  →  R , estes incluem os três parciais de segunda ordem

e os parciais mistos

Se a imagem e o domínio da função têm potencial, eles se encaixam em uma matriz simétrica conhecida como Hessiana . Os valores próprios desta matriz podem ser usados ​​para implementar um análogo multivariável do teste da segunda derivada. (Veja também o teste da segunda derivada parcial .)

O Laplaciano

Outra generalização comum da segunda derivada é o Laplaciano . Este é o operador diferencial (ou ) definido por

O Laplaciano de uma função é igual à divergência do gradiente e ao traço da matriz Hessiana.

Veja também

Referências

Leitura adicional

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