Segunda derivada - Second derivative
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No cálculo , a segunda derivada , ou a derivada de segunda ordem , de uma função f é a derivada da derivada de f . Grosso modo, a segunda derivada mede como a própria taxa de variação de uma quantidade está mudando; por exemplo, a segunda derivada da posição de um objeto com respeito ao tempo é a aceleração instantânea do objeto, ou a taxa na qual a velocidade do objeto está mudando em relação ao tempo. Na notação Leibniz :
onde a é a aceleração, v é a velocidade, t é o tempo, x é a posição e d é o "delta" ou mudança instantânea. A última expressão é a segunda derivada da posição (x) em relação ao tempo.
No gráfico de uma função , a segunda derivada corresponde à curvatura ou concavidade do gráfico. O gráfico de uma função com uma segunda derivada positiva é côncavo para cima, enquanto o gráfico de uma função com uma segunda derivada negativa se curva no sentido oposto.
Regra de potência da segunda derivada
A regra de potência para a primeira derivada, se aplicada duas vezes, produzirá a regra de potência da segunda derivada da seguinte forma:
Notação
A segunda derivada de uma função geralmente é denotada . Isso é:
Ao usar a notação de Leibniz para derivadas, a segunda derivada de uma variável dependente y em relação a uma variável independente x é escrita
Esta notação é derivada da seguinte fórmula:
Notação alternativa
Como a seção anterior observa, a notação de Leibniz padrão para a segunda derivada é . No entanto, esta forma não é manipulável algebricamente. Ou seja, embora seja formada como uma fração de diferenciais, a fração não pode ser dividida em pedaços, os termos não podem ser cancelados, etc. No entanto, essa limitação pode ser corrigida usando uma fórmula alternativa para a segunda derivada. Este é derivado da aplicação da regra do quociente à primeira derivada. Isso produz a fórmula:
Nesta fórmula, representa o operador diferencial aplicado a , por exemplo, , representa a aplicação do operador diferencial duas vezes, ou seja, e refere-se ao quadrado do operador diferencial aplicada a , ou seja, .
Quando escrito desta forma (e levando em consideração o significado da notação dada acima), os termos da segunda derivada podem ser livremente manipulados como qualquer outro termo algébrico. Por exemplo, a fórmula da função inversa para a segunda derivada pode ser deduzida de manipulações algébricas da fórmula acima, bem como a regra da cadeia para a segunda derivada. Ainda está em debate se fazer essa mudança na notação é útil o suficiente para valer a pena.
Exemplo
Dada a função
a derivada de f é a função
A segunda derivada de f é a derivada de , a saber
Relação com o gráfico
Concavidade
A segunda derivada de uma função f pode ser usada para determinar a concavidade do gráfico de f . Uma função cuja segunda derivada é positiva será côncava para cima (também chamada de convexa), o que significa que a linha tangente ficará abaixo do gráfico da função. Da mesma forma, uma função cuja segunda derivada é negativa será côncava para baixo (também chamada simplesmente de côncava) e suas linhas tangentes ficarão acima do gráfico da função.
Pontos de inflexão
Se a segunda derivada de uma função mudar de sinal, o gráfico da função mudará de côncavo para baixo para côncavo para cima, ou vice-versa. Um ponto onde isso ocorre é chamado de ponto de inflexão . Assumindo que a segunda derivada é contínua, ela deve assumir o valor zero em qualquer ponto de inflexão, embora nem todo ponto onde a segunda derivada é zero seja necessariamente um ponto de inflexão.
Teste de segunda derivada
A relação entre a segunda derivada e o gráfico pode ser usada para testar se um ponto estacionário para uma função (isto é, um ponto onde ) é um máximo local ou um mínimo local . Especificamente,
- Se , então tem um máximo local em .
- Se , então tem um mínimo local em .
- Se , o teste da segunda derivada não diz nada sobre o ponto , um possível ponto de inflexão.
A razão pela qual a segunda derivada produz esses resultados pode ser vista por meio de uma analogia do mundo real. Considere um veículo que a princípio está se movendo para frente com grande velocidade, mas com uma aceleração negativa. Claramente, a posição do veículo no ponto onde a velocidade chega a zero será a distância máxima da posição inicial - após este tempo, a velocidade se tornará negativa e o veículo fará a ré. O mesmo é verdade para o mínimo, com um veículo que a princípio tem uma velocidade muito negativa, mas aceleração positiva.
Limite
É possível escrever um único limite para a segunda derivada:
O limite é chamado de segunda derivada simétrica . Observe que a segunda derivada simétrica pode existir mesmo quando a segunda derivada (usual) não existe.
A expressão à direita pode ser escrita como um quociente de diferença de quocientes de diferença:
Esse limite pode ser visto como uma versão contínua da segunda diferença para sequências .
No entanto, a existência do limite acima não significa que a função tenha uma segunda derivada. O limite acima apenas dá a possibilidade de calcular a segunda derivada - mas não fornece uma definição. Um contra-exemplo é a função de sinal , que é definida como:
A função de sinal não é contínua em zero e, portanto, a segunda derivada para não existe. Mas o limite acima existe para :
Aproximação quadrática
Assim como a primeira derivada está relacionada a aproximações lineares , a segunda derivada está relacionada à melhor aproximação quadrática para uma função f . Esta é a função quadrática cujas primeira e segunda derivadas são iguais às de f em um determinado ponto. A fórmula para a melhor aproximação quadrática para uma função f em torno do ponto x = a é
Essa aproximação quadrática é o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função centrada em x = a .
Valores próprios e vetores próprios da segunda derivada
Para muitas combinações de condições de contorno, podem ser obtidas fórmulas explícitas para autovalores e autovetores da segunda derivada . Por exemplo, assumindo condições de contorno de Dirichlet homogêneas (isto é, ), os autovalores são e os autovetores correspondentes (também chamados de autofunções ) são . Aqui,
Para outros casos bem conhecidos, consulte Valores próprios e vetores próprios da segunda derivada .
Generalização para dimensões superiores
O Hessian
A segunda derivada generaliza para dimensões superiores por meio da noção de segundas derivadas parciais . Para uma função f : R 3 → R , estes incluem os três parciais de segunda ordem
e os parciais mistos
Se a imagem e o domínio da função têm potencial, eles se encaixam em uma matriz simétrica conhecida como Hessiana . Os valores próprios desta matriz podem ser usados para implementar um análogo multivariável do teste da segunda derivada. (Veja também o teste da segunda derivada parcial .)
O Laplaciano
Outra generalização comum da segunda derivada é o Laplaciano . Este é o operador diferencial (ou ) definido por
O Laplaciano de uma função é igual à divergência do gradiente e ao traço da matriz Hessiana.
Veja também
- Chirpyness , segunda derivada da fase instantânea
- Diferença finita , usada para aproximar a segunda derivada
- Teste de segunda derivada parcial
- Simetria de segundas derivadas
Referências
Leitura adicional
Imprimir
- Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2 de fevereiro de 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8ª ed.), Nova York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
- Apostol, Tom M. (junho de 1967), Calculus, vol. 1: Cálculo de uma variável com uma introdução à álgebra linear , 1 (2ª ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
- Apostol, Tom M. (junho de 1969), Calculus, vol. 2: Cálculo Multi-Variável e Álgebra Linear com Aplicações , 1 (2ª ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
- Eves, Howard (2 de janeiro de 1990), Uma Introdução à História da Matemática (6ª ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
- Larson, Ron; Hostetler, Robert P .; Edwards, Bruce H. (28 de fevereiro de 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4ª ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
- Spivak, Michael (setembro de 1994), Calculus (3ª ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
- Stewart, James (24 de dezembro de 2002), Calculus (5ª ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
- Thompson, Silvanus P. (8 de setembro de 1998), Calculus Made Easy (Revised, Updated, Expanded ed.), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0
Livros online
- Crowell, Benjamin (2003), Calculus
- Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus
- Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus
- Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
- Mauch, Sean (2004), versão integral do livro de matemática aplicada de Sean , arquivado do original em 15/04/2006
- Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations
- Strang, Gilbert (1991), Calculus
- Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus , arquivado do original em 11/09/2005
- Wikilivros, cálculo