Álgebra de Lie semi-simples - Semisimple Lie algebra

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Álgebras de Lie
Álgebra de Lie semisimples
Teoria da representação
Grupos de mentira em física
Cientistas Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossário Tabela de grupos de Lie
v t e

Em matemática , uma álgebra de Lie é semisimples se for uma soma direta de álgebras de Lie simples ( álgebras de Lie não abelianas sem quaisquer ideais próprios diferentes de zero ).

Ao longo do artigo, salvo indicação em contrário, uma álgebra de Lie é uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre um campo de característica 0. Para tal álgebra de Lie , se diferente de zero, as seguintes condições são equivalentes: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ é semi-simples;
• a forma de Killing , κ (x, y) = tr (ad ( x ) ad ( y )), é não degenerada ;
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ não tem ideais abelianos diferentes de zero;
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ não tem ideais solucionáveis diferentes de zero ;
• o radical (ideal máximo solucionável) de é zero. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Significado

O significado da semisimplicidade vem primeiro da decomposição de Levi , que afirma que toda álgebra de Lie de dimensão finita é o produto semidireto de um ideal solucionável (seu radical) e uma álgebra semisimples. Em particular, não há álgebra de Lie diferente de zero que seja solucionável e semisimples.

As álgebras de Lie semisimples têm uma classificação muito elegante, em forte contraste com as álgebras de Lie solucionáveis . As álgebras de Lie semisimples sobre um campo algebraicamente fechado de zero característico são completamente classificadas por seu sistema radicular , que por sua vez é classificado por diagramas Dynkin . Álgebras semisimples sobre campos não algébricamente fechados podem ser entendidas em termos daquelas sobre o fechamento algébrico, embora a classificação seja um pouco mais intrincada; ver formulário real para o caso de álgebras de Lie semisimples reais, que foram classificadas por Élie Cartan .

Além disso, a teoria da representação das álgebras de Lie semisimples é muito mais limpa do que a das álgebras de Lie gerais. Por exemplo, a decomposição de Jordan em uma álgebra de Lie semi-simples coincide com a decomposição de Jordan em sua representação; este não é o caso das álgebras de Lie em geral.

Se for semi-simples, então . Em particular, todos os linear semisimple álgebra de Lie é um subálgebra de , a álgebra de Lie linear especial . O estudo da estrutura de constitui uma parte importante da teoria da representação para álgebras de Lie semisimples. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}}}$

História

As álgebras de Lie semisimples sobre os números complexos foram classificadas pela primeira vez por Wilhelm Killing (1888-90), embora sua prova carecesse de rigor. Sua prova foi feita rigorosamente por Élie Cartan (1894) em seu doutorado. tese, que também classificou álgebras de Lie reais semi-simples. Isso foi posteriormente refinado, e a classificação atual pelos diagramas de Dynkin foi dada por Eugene Dynkin, então com 22 anos, em 1947. Algumas pequenas modificações foram feitas (principalmente por JP Serre), mas a prova não mudou em seus fundamentos e pode ser encontrado em qualquer referência padrão, como ( Humphreys 1972 ).

Propriedades básicas

• Cada ideal, quociente e produto de álgebras de Lie semisimples é novamente semisimples.
• O centro de uma álgebra de Lie semisimples é trivial (uma vez que o centro é um ideal abeliano). Em outras palavras, a representação adjunta é injetiva. Além disso, a imagem acaba sendo de derivações sobre . Portanto, é um isomorfismo. (Este é um caso especial do lema de Whitehead .) ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad}}$${\ displaystyle \ operatorname {Der} ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad}: {\ mathfrak {g}} {\ overset {\ sim} {\ to}} \ operatorname {Der} ({\ mathfrak {g}})}$
• Como a representação adjunta é injetiva, uma álgebra de Lie semisimple é uma álgebra de Lie linear sob a representação adjunta. Isso pode levar a alguma ambigüidade, já que toda álgebra de Lie já é linear em relação a algum outro espaço vetorial ( teorema de Ado ), embora não necessariamente por meio da representação adjunta. Mas, na prática, essa ambigüidade raramente ocorre.
• Se for uma álgebra de Lie semisimples, então (porque é semisimples e abeliana). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$
• Uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre um campo k de zero característico é semisimples se e somente se a extensão de base for semisimples para cada extensão de campo . Assim, por exemplo, uma álgebra de Lie real de dimensão finita é semisimples se e somente se sua complexificação for semisimples. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ otimes _ {k} F}$${\ displaystyle F \ supset k}$

Decomposição de Jordan

Cada endomorfismo x de um espaço vetorial de dimensão finita sobre um campo de característica zero pode ser decomposto exclusivamente em uma parte semisimples (ou seja, diagonalizável sobre o fechamento algébrico) e parte nilpotente

${\ displaystyle x = s + n \}$

de modo que s e n comutam um com o outro. Além disso, cada um de s e n é um polinômio em x . Esta é a decomposição de Jordan de x .

O acima se aplica à representação adjunta de uma álgebra de Lie semisimples . Um elemento x de é considerado semisimples (resp. Nilpotente) se for um operador semi-simples (resp. Nilpotente). Se , então, a decomposição abstrata de Jordan afirma que x pode ser escrito exclusivamente como: ${\ displaystyle \ operatorname {ad}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} (x)}$${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle x = s + n}$

onde é semi-simples, é nilpotente e . Além disso, se comuta com x , então também comuta com ambos . ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle [s, n] = 0}$${\ displaystyle y \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle s, n}$

Os fatores de decomposição abstratos de Jordan por meio de qualquer representação de no sentido de que dada qualquer representação ρ, ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ rho (x) = \ rho (s) + \ rho (n) \,}$

é a decomposição de Jordan de ρ ( x ) na álgebra de endomorfismo do espaço de representação. (Isso é provado como uma consequência do teorema da redutibilidade completa de Weyl ; consulte o teorema de Weyl sobre redutibilidade completa # Aplicação: preservação da decomposição de Jordan .)

Estrutura

Seja uma álgebra de Lie semisimples (dimensão finita) sobre um campo algebraicamente fechado de zero característico. A estrutura de pode ser descrita por uma ação conjunta de uma certa subálgebra distinta sobre ela, uma subálgebra de Cartan . Por definição, uma subálgebra de Cartan (também chamada de subálgebra toral máxima ) de é uma subálgebra máxima que, para cada uma , é diagonalizável . Acontece que, é abeliano e, portanto, todos os operadores em são diagonalizáveis ​​simultaneamente . Para cada funcional linear de , deixe ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle h \ in {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} (h)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {h}})}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha} = \ {x \ in {\ mathfrak {g}} | [h, x] = \ alpha (h) x \, {\ text {para todos} } h \ in {\ mathfrak {h}} \}}$ .

(Observe que é o centralizador de .) Então ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

(O item mais difícil de mostrar é . Todas as provas padrão usam alguns fatos na teoria da representação ; por exemplo, Serre usa o fato de que um -módulo com um elemento primitivo de peso negativo é infinito-dimensional, contraditório .) ${\ displaystyle \ dim {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha} = 1}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$${\ displaystyle \ dim {\ mathfrak {g}} <\ infty}$

Deixe com as relações de comutação ; ou seja, correspondem à base padrão de . ${\ displaystyle h _ {\ alpha} \ in {\ mathfrak {h}}, e _ {\ alpha} \ in {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}, f _ {\ alpha} \ in {\ mathfrak {g }} _ {- \ alpha}}$${\ displaystyle [e _ {\ alpha}, f _ {\ alpha}] = h _ {\ alpha}, [h _ {\ alpha}, e _ {\ alpha}] = 2e _ {\ alpha}, [h _ {\ alpha}, f _ {\ alpha}] = - 2f _ {\ alpha}}$${\ displaystyle h _ {\ alpha}, e _ {\ alpha}, f _ {\ alpha}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$

Os funcionais lineares em são chamados de raízes de em relação a . A extensão das raízes (uma vez que se , então, é o operador zero; ou seja, está no centro, que é zero.) Além disso, a partir da teoria da representação de , deduz-se a seguinte simetria e propriedades integrais de : para cada , ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle \ alpha (h) = 0, \ alpha \ in \ Phi}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} (h)}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ Phi}$

Observe que tem as propriedades (1) e (2) o conjunto de ponto fixo é , o que significa que é a reflexão em relação ao hiperplano correspondente a . O texto acima então diz que é um sistema raiz . ${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle s _ {\ alpha} (\ alpha) = - \ alpha}$${\ displaystyle \ {\ gamma \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*} | \ gamma (h _ {\ alpha}) = 0 \}}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Phi}$

Segue-se da teoria geral de um sistema radicular que contém uma base de tal que cada raiz é uma combinação linear de com coeficientes inteiros do mesmo sinal; as raízes são chamadas de raízes simples . Let , etc. Em seguida, os elementos (chamados geradores de Chevalley ) são gerados como uma álgebra de Lie. Além disso, eles satisfazem as relações (chamadas de relações de Serre ): com , ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {l}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {l}}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle e_ {i} = e _ {\ alpha _ {i}}}$${\ displaystyle 3l}$${\ displaystyle e_ {i}, f_ {i}, h_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle a_ {ij} = \ alpha _ {j} (h_ {i})}$

${\ displaystyle [h_ {i}, h_ {j}] = 0,}$

${\ displaystyle [e_ {i}, f_ {i}] = h_ {i}, [e_ {i}, f_ {j}] = 0, i \ neq j,}$

${\ displaystyle [h_ {i}, e_ {j}] = a_ {ij} e_ {j}, [h_ {i}, f_ {j}] = - a_ {ij} f_ {j},}$

${\ displaystyle \ operatorname {ad} (e_ {i}) ^ {- a_ {ij} +1} (e_ {j}) = \ operatorname {ad} (f_ {i}) ^ {- a_ {ij} + 1} (f_ {j}) = 0, i \ neq j}$ .

O inverso disso também é verdadeiro: isto é, a álgebra de Lie gerada pelos geradores e as relações como a acima é uma álgebra de Lie semisimpla (dimensão finita) que tem a decomposição do espaço raiz como acima (desde que seja uma matriz de Cartan ). Este é um teorema de Serre . Em particular, duas álgebras de Lie semisimples são isomórficas se tiverem o mesmo sistema radicular. ${\ displaystyle [a_ {ij}] _ {1 \ leq i, j \ leq l}}$

A implicação da natureza axiomática de um sistema radicular e do teorema de Serre é que se pode enumerar todos os sistemas radiculares possíveis; portanto, "todas as" álgebras de Lie semisimples (de dimensão finita sobre um campo algebraicamente fechado de zero característico).

O grupo Weyl é o grupo de transformações lineares geradas pelos 's. O grupo de Weyl é uma importante simetria do problema; por exemplo, os pesos de qualquer representação de dimensão finita de são invariantes no grupo de Weyl. ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*} \ simeq {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Exemplo de decomposição do espaço da raiz em sl _n (C)

For e a subálgebra de Cartan de matrizes diagonais, definidas por ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i} \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {i} (d (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})) = a_ {i}}$ ,

onde denota a matriz diagonal com na diagonal. Então a decomposição é dada por ${\ displaystyle d (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ left (\ bigoplus _ {i \ neq j} {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}} \ right)}$

Onde

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}} = {\ text {Span}} _ {\ mathbb {C}} (e_ {ij})}$

para o vector em com a base padrão (matriz), significado representa o vector base na linha -ésimo e coluna -ésimo. Esta decomposição de tem um sistema raiz associado: ${\ displaystyle e_ {ij}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle e_ {ij}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ Phi = \ {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}: i \ neq j \}}$

sl ₂ (C)

Por exemplo, na decomposição é ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} = {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}} \ oplus { \ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}}}$

e o sistema raiz associado é

${\ displaystyle \ Phi = \ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}, \ lambda _ {2} - \ lambda _ {1} \}}$

sl ₃ (C)

Na decomposição está ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} = {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}} \ oplus { \ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {3}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {3}} \ oplus { \ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {3} - \ lambda _ {1}} \ oplus { \ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {3} - \ lambda _ {2}}}$

e o sistema raiz associado é dado por

${\ displaystyle \ Phi = \ {\ pm (\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}), \ pm (\ lambda _ {1} - \ lambda _ {3}), \ pm (\ lambda _ {2} - \ lambda _ {3}) \}}$

Exemplos

Como observado em #Estrutura , álgebras de Lie semisimples sobre (ou mais geralmente um campo algebraicamente fechado de zero característico) são classificadas pelo sistema de raiz associado a suas subálgebras de Cartan, e os sistemas de raiz, por sua vez, são classificados por seus diagramas Dynkin. Exemplos de álgebras de Lie semisimples, as álgebras de Lie clássicas , com notação proveniente de seus diagramas Dynkin , são: ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

• ${\ displaystyle A_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1}}$ , a álgebra de Lie linear especial .
• ${\ displaystyle B_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n + 1}}$ , a álgebra de Lie ortogonal especial de dimensão ímpar .
• ${\ displaystyle C_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2n}}$ , a álgebra de Lie simplética .
• ${\ displaystyle D_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n}}$ , a álgebra de Lie ortogonal especial de dimensão par ( ). ${\ displaystyle n> 1}$

A restrição na família é necessária porque é unidimensional e comutativa e, portanto, não é semi-simples. ${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle D_ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2}}$

Essas álgebras de Lie são numeradas de forma que n seja a classificação . Quase todas essas álgebras de Lie semisimples são, na verdade, simples e os membros dessas famílias são quase todos distintos, exceto por algumas colisões em pequenas fileiras. Por exemplo e . Essas quatro famílias, junto com cinco exceções ( E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ e G ₂ ), são de fato as únicas álgebras de Lie simples sobre os números complexos. ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {4} \ cong {\ mathfrak {so}} _ {3} \ oplus {\ mathfrak {so}} _ {3}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2} \ cong {\ mathfrak {so}} _ {5}}$

Classificação

Cada álgebra de Lie semisimples sobre um campo algebraicamente fechado de característica 0 é uma soma direta de álgebras de Lie simples (por definição), e as álgebras de Lie simples de dimensão finita caem em quatro famílias - A _n , B _n , C _n e D _n - com cinco exceções E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ e G ₂ . Álgebras de Lie simples são classificadas pelos diagramas Dynkin conectados , mostrados à direita, enquanto as álgebras de Lie semissimples correspondem a diagramas de Dynkin não necessariamente conectados, onde cada componente do diagrama corresponde a uma soma da decomposição da álgebra de Lie semissimples em álgebras de Lie simples .

A classificação prossegue considerando uma subálgebra de Cartan (veja abaixo) e a ação adjunta da álgebra de Lie nesta subálgebra. O sistema raiz da ação determina então a álgebra de Lie original e deve ter uma forma muito restrita, que pode ser classificada pelos diagramas Dynkin. Consulte a seção abaixo que descreve as subálgebras e sistemas raiz de Cartan para obter mais detalhes.

A classificação é amplamente considerada um dos resultados mais elegantes da matemática - uma breve lista de axiomas produz, por meio de uma prova relativamente curta, uma classificação completa, mas não trivial, com estrutura surpreendente. Isso deve ser comparado à classificação de grupos simples finitos , que é significativamente mais complicada.

A enumeração das quatro famílias não é redundante e consiste apenas em álgebras simples se para A _n , para B _n , para C _n e para D _n . Se começarmos com uma numeração inferior, a enumeração será redundante e haverá isomorfismos excepcionais entre álgebras de Lie simples, que se refletem nos isomorfismos dos diagramas Dynkin ; o E _n também pode ser estendido para baixo, mas abaixo de E ₆ são isomórficos a outras álgebras não excepcionais. ${\ displaystyle n \ geq 1}$${\ displaystyle n \ geq 2}$${\ displaystyle n \ geq 3}$${\ displaystyle n \ geq 4}$

Em um campo não algebricamente fechado, a classificação é mais complicada - classifica-se álgebras de Lie simples sobre o fechamento algébrico e, para cada uma delas, classifica-se álgebras de Lie simples sobre o campo original que têm esta forma (sobre o fechamento). Por exemplo, para classificar álgebras de Lie reais simples, classifica-se álgebras de Lie reais com uma dada complexificação, que são conhecidas como formas reais da álgebras de Lie complexa; isso pode ser feito por diagramas Satake , que são diagramas Dynkin com dados adicionais ("decorações").

Teoria da representação de álgebras de Lie semisimples

Seja uma álgebra de Lie semisimples (dimensão finita) sobre um campo algebraicamente fechado de zero característico. Então, como em #Structure , onde está o sistema raiz. Escolha as raízes simples em ; uma raiz de é então chamada de positiva e é denotada por se for uma combinação linear das raízes simples com coeficientes inteiros não negativos. Let , que é uma subálgebra maximal solucionável de , a subálgebra de Borel . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ textstyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha> 0}$${\ textstyle {\ mathfrak {b}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha> 0} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Seja V um módulo simples (possivelmente com dimensão infinita) . Se V passa a admitir um vector -Peso , então cabe única de escala e é chamado o maior vetor de peso de V . É também um vector de -Peso e o -Peso de , um funcional linear de , chama-se o maior peso de V . Os fatos básicos, porém não triviais, são (1) para cada funcional linear , existe um módulo simples tendo como seu peso mais alto e (2) dois módulos simples com o mesmo peso mais alto são equivalentes. Em suma, existe uma bijeção entre e o conjunto das classes de equivalência de módulos simples que admitem um vetor de peso de Borel. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle v_ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle v_ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ mu \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle V ^ {\ mu}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Para aplicações, frequentemente se está interessado em um módulo simples de dimensão finita (uma representação irredutível de dimensão finita). Este é especialmente o caso quando é a álgebra de Lie de um grupo de Lie (ou complexificação de tal), uma vez que, através da correspondência de Lie , uma representação de álgebra de Lie pode ser integrada a uma representação de grupo de Lie quando as obstruções são superadas. O próximo critério então atende a esta necessidade: por câmara de Weyl positiva , queremos dizer o cone convexo onde é um vetor único tal que . O critério então lê: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle C \ subset {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle C = \ {\ mu \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*} | \ mu (h _ {\ alpha}) \ geq 0, \ alpha \ in \ Phi> 0 \}}$${\ displaystyle h _ {\ alpha} \ in [{\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}, {\ mathfrak {g}} _ {- \ alpha}]}$${\ displaystyle \ alpha (h _ {\ alpha}) = 2}$

• ${\ displaystyle \ dim V ^ {\ mu} <\ infty}$ se e somente se, para cada raiz positiva , (1) é um número inteiro e (2) reside em . ${\ displaystyle \ alpha> 0}$${\ displaystyle \ mu (h _ {\ alpha})}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle C}$

Um funcional linear que satisfaça a condição equivalente acima é chamado de peso integral dominante. Portanto, em resumo, existe uma bijeção entre os pesos integrais dominantes e as classes de equivalência dos módulos simples de dimensão finita, o resultado conhecido como o teorema do maior peso . O caráter de um módulo simples de dimensão finita em turnos é calculado pela fórmula de caráter de Weyl . ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

O teorema devido a Weyl diz que, sobre um campo de característica zero, todo módulo de dimensão finita de uma álgebra de Lie semi-simples é completamente redutível ; ou seja, é uma soma direta de módulos simples . Conseqüentemente, os resultados acima se aplicam a representações de dimensão finita de uma álgebra de Lie semisimples. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Álgebra de Lie semisimples real

Para uma álgebra de Lie semi-simples sobre um campo que tem zero característico, mas não é algebraicamente fechado, não há teoria de estrutura geral como aquela para aqueles sobre um campo algebricamente fechado de zero característico. Mas, no campo dos números reais, ainda existem os resultados da estrutura.

Let Ser uma álgebra de Lie semissimples finito-dimensional real e a complexificação dela (que é novamente semisimple). A álgebra de Lie real é chamada de forma real de . Uma forma real é chamada de forma compacta se a forma Killing nela é definida negativa; é necessariamente a álgebra de Lie de um grupo de Lie compacto (daí o nome). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {g}} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}}}$

Estojo compacto

Suponha que seja uma forma compacta e um subespaço abeliano máximo. Pode-se mostrar (por exemplo, a partir do fato é a álgebra de Lie de um grupo de Lie compacto) que consiste em matrizes skew-hermitianas, diagonalizáveis com autovalores imaginários. Portanto, é uma subálgebra de Cartan e resulta na decomposição do espaço de raiz (cf. #Estrutura ) ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subset {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {h}})}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}}$

onde cada um tem valor real ; assim, pode ser identificado com um funcional linear real no espaço vetorial real . ${\ displaystyle \ alpha \ in \ Phi}$${\ displaystyle i {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle i {\ mathfrak {h}}}$

Por exemplo, deixe e pegue o subespaço de todas as matrizes diagonais. Nota . Seja o funcional linear dado por for . Então, para cada um , ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {su}} (n)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subset {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle e_ {i} (H) = h_ {i}}$${\ displaystyle H = \ operatorname {diag} (h_ {1}, \ dots, h_ {n})}$${\ displaystyle H \ in {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}}}$

${\ displaystyle [H, E_ {ij}] = (e_ {i} (H) -e_ {j} (H)) E_ {ij}}$

onde está a matriz que tem 1 no -ésimo ponto e zero em outro lugar. Portanto, cada raiz tem a forma e a decomposição do espaço da raiz é a decomposição de matrizes: ${\ displaystyle E_ {ij}}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha = e_ {i} -e_ {j}, i \ neq j}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}} \ oplus \ bigoplus _ {i \ neq j} \ mathbb {C} E_ {ij}.}$

Caixa não compacta

Suponha que não seja necessariamente uma forma compacta (ou seja, a assinatura do formulário Killing não é totalmente negativa). Suponha, além disso, que tenha uma involução de Cartan e seja a decomposição de eigenspace de , onde estão os autoespaços para 1 e -1, respectivamente. Por exemplo, se e o negativo transpõem, então . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {k}} \ oplus {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}, {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}} = {\ mathfrak {so}} (n)}$

Let Ser um subespaço abeliano máximo. Agora, consiste em matrizes simétricas (com respeito a um produto interno adequado) e, portanto, os operadores in são simultaneamente diagonalizáveis, com autovalores reais. Ao repetir os argumentos para o campo de base algebraicamente fechado, obtém-se a decomposição (chamada de decomposição de espaço raiz restrito ): ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ subset {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {p}})}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {a}})}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {g}} _ {0} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}}$

Onde

• os elementos em são chamados de raízes restritas , ${\ displaystyle \ Phi}$
• ${\ displaystyle \ theta ({\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}) = {\ mathfrak {g}} _ {- \ alpha}}$ para qualquer funcional linear ; em particular, , ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle - \ Phi \ subset \ Phi}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0} = {\ mathfrak {a}} \ oplus Z _ {\ mathfrak {k}} ({\ mathfrak {a}})}$ .

Além disso, é um sistema radicular, mas não necessariamente reduzido (ou seja, pode acontecer que ambas sejam raízes). ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha, 2 \ alpha}$

O caso de ${\ displaystyle \ mathrm {sl} (n, \ mathbb {C})}$

Se , então, pode ser considerada a subálgebra diagonal de , consistindo em matrizes diagonais cujas entradas diagonais somam zero. Uma vez que tem dimensão , vemos que tem classificação . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathrm {sl} (n, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle n-1}$${\ displaystyle \ mathrm {sl} (n; \ mathbb {C})}$${\ displaystyle n-1}$

Os vetores raiz , neste caso, podem ser considerados as matrizes com , onde é a matriz com 1 no local e zeros em outro lugar. Se for uma matriz diagonal com entradas diagonais , então temos ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E_ {i, j}}$${\ displaystyle i \ neq j}$${\ displaystyle E_ {i, j}}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$

${\ displaystyle [H, E_ {i, j}] = (\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}) E_ {i, j}}$ .

Assim, as raízes para são os funcionais lineares dados por ${\ displaystyle \ mathrm {sl} (n, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ alpha _ {i, j}}$

${\ displaystyle \ alpha _ {i, j} (H) = \ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}}$ .

Depois de se identificarem com seu dual, as raízes tornam-se os vetores no espaço de -tuplas que somam zero. Este é o sistema radicular conhecido como na rotulagem convencional. ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ alpha _ {i, j}: = e_ {i} -e_ {j}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A_ {n-1}}$

A reflexão associada à raiz atua transpondo as entradas e diagonais. O grupo de Weyl é então apenas o grupo de permutação em elementos, agindo permutando as entradas diagonais de matrizes em . ${\ displaystyle \ alpha _ {i, j}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

Generalizações

As álgebras de Lie semisimples admitem certas generalizações. Em primeiro lugar, muitas afirmações que são verdadeiras para álgebras de Lie semisimples são verdadeiras de forma mais geral para álgebras de Lie redutivas . Abstratamente, uma álgebra de Lie redutiva é aquela cuja representação adjunta é completamente redutível , enquanto, concretamente, uma álgebra de Lie redutiva é uma soma direta de uma álgebra de Lie semi-simples e uma álgebra de Lie abeliana ; por exemplo, é semi-simples e redutor. Muitas propriedades das álgebras de Lie semisimples dependem apenas da redutibilidade. ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$

Muitas propriedades de álgebras de Lie semisimples / redutivas complexas são verdadeiras não apenas para álgebras de Lie semissimples / redutivas sobre campos algebricamente fechados, mas mais geralmente para álgebras de Lie semisimples / redutivas divididas sobre outros campos: álgebras de Lie semisimples / redutivas sobre campos algebraicamente fechados são sempre divididas , mas em relação a outros campos nem sempre é esse o caso. As álgebras de Lie divididas têm essencialmente a mesma teoria de representação que as álgebras de Lie semi-simples sobre campos algebricamente fechados, por exemplo, a subálgebra de Cartan dividida desempenhando o mesmo papel que a subálgebra de Cartan desempenha em campos algebraicamente fechados. Esta é a abordagem seguida em ( Bourbaki 2005 ), por exemplo, que classifica representações de álgebras de Lie semisimples / redutivas divididas.

Grupos semisimples e redutivos

Um grupo de Lie conectado é chamado de semi-simples se sua álgebra de Lie for uma álgebra de Lie semi-simples, ou seja, uma soma direta de álgebras de Lie simples. É chamada de redutiva se sua álgebra de Lie for uma soma direta de álgebras de Lie simples e triviais (unidimensionais). Grupos redutivos ocorrem naturalmente como simetrias de vários objetos matemáticos em álgebra, geometria e física. Por exemplo, o grupo de simetrias de um espaço vetorial real n- dimensional (equivalentemente, o grupo de matrizes invertíveis) é redutor. ${\ displaystyle GL_ {n} (\ mathbb {R})}$

Veja também

• Álgebra de mentira
• Sistema radicular
• Representação da álgebra de Lie
• Grupo compacto
• Grupo de Lie simples
• Borel subalgebra
• Teorema de Jacobson-Morozov

Referências