Definição teórica de conjuntos de números naturais - Set-theoretic definition of natural numbers

Na teoria dos conjuntos , várias maneiras foram propostas para construir os números naturais . Estes incluem a representação via ordinais de von Neumann , comumente empregados na teoria dos conjuntos axiomáticos , e um sistema baseado na equinumerosidade que foi proposto por Gottlob Frege e por Bertrand Russell .

Definição como ordinais de von Neumann

Na teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel (ZF) , os números naturais são definidos recursivamente , deixando 0 = {} ser o conjunto vazio e n + 1 = n ∪ { n } para cada n . Desta forma, n = {0, 1,…, n - 1} para cada número natural n . Esta definição possui a propriedade de que n é um conjunto com n elementos. Os primeiros números definidos desta forma são: ( Goldrei 1996 )

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} 0 & {} = \ {\} && {} = \ emptyset, \\ 1 & {} = \ {0 \} && {} = \ {\ emptyset \}, \ \ 2 & {} = \ {0,1 \} && {} = \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \}, \\ 3 & {} = \ {0,1,2 \} && {} = \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \}, \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \} \}. \ end {alignat}}}$

O conjunto N de números naturais é definido neste sistema como o menor conjunto contendo 0 e fechado sob a função sucessora S definida por S ( n ) = n ∪ { n } . A estrutura ⟨ N , 0, S ⟩ é um modelo das axiomas Peano ( Goldrei 1996 ). A existência do conjunto N é equivalente ao axioma do infinito na teoria dos conjuntos ZF.

O conjunto N e seus elementos, quando construídos dessa forma, são uma parte inicial dos ordinais de von Neumann.

Frege e Russell

Gottlob Frege e Bertrand Russell propuseram definir um número natural n como a coleção de todos os conjuntos com n elementos. Mais formalmente, um número natural é uma classe de equivalência de conjuntos finitos sob a relação de equivalência de equinumerosidade. Esta definição pode parecer circular, mas não é, porque a equinumerosidade pode ser definida de maneiras alternativas, por exemplo, dizendo que dois conjuntos são equinumerosos se eles podem ser colocados em correspondência um a um - isso às vezes é conhecido como o princípio de Hume .

Essa definição funciona na teoria dos tipos e em teorias de conjuntos que surgiram da teoria dos tipos, como Novos Fundamentos e sistemas relacionados. No entanto, não funciona na teoria axiomática dos conjuntos ZFC nem em certos sistemas relacionados, porque em tais sistemas as classes de equivalência sob equinumerosidade são classes próprias ao invés de conjuntos.

Hatcher

William S. Hatcher (1982) deriva os axiomas de Peano de vários sistemas fundamentais, incluindo ZFC e teoria das categorias , e do sistema da Grundgesetze der Arithmetik de Frege usando notação moderna e dedução natural . O paradoxo de Russell provou que esse sistema é inconsistente, mas George Boolos (1998) e David J. Anderson e Edward Zalta (2004) mostram como repará-lo.

Veja também

• Codificação Ackermann
• Fundamentos da matemática
• Novas Fundações

Referências

• Anderson, DJ e Edward Zalta , 2004, "Frege, Boolos, and Logical Objects," Journal of Philosophical Logic 33 : 1-26.
• George Boolos , 1998. Logic, Logic, and Logic .
• Goldrei, Derek (1996). Teoria dos conjuntos clássicos . Chapman & Hall .
• Hatcher, William S., 1982. The Logical Foundations of Mathematics . Pergamon. Neste texto, S se refere aos axiomas de Peano.
• Holmes, Randall, 1998. Teoria dos conjuntos elementares com um conjunto universal . Academia-Bruylant. O editor graciosamente consentiu em permitir a difusão desta introdução ao NFU através da web. Os direitos autorais são reservados.
• Patrick Suppes , 1972 (1960). Teoria dos conjuntos axiomáticos . Dover.

links externos

• Enciclopédia de Filosofia de Stanford :
  • Novas fundações de Quine - por Thomas Forster.
  • Teorias de conjuntos axiomáticos alternativos - por Randall Holmes.
• McGuire, Gary, " Quais são os números naturais? "
• Randall Holmes: Página inicial de novas fundações.