Função sigmóide - Sigmoid function

A curva logística

Gráfico da função de erro

Uma função sigmóide é uma função matemática com uma curva característica em forma de "S" ou curva sigmóide .

Um exemplo comum de função sigmóide é a função logística mostrada na primeira figura e definida pela fórmula:

${\ displaystyle S (x) = {\ frac {1} {1 + e ^ {- x}}} = {\ frac {e ^ {x}} {e ^ {x} +1}} = 1-S (-x).}$

Outras funções sigmóides padrão são fornecidas na seção Exemplos . Em alguns campos, principalmente no contexto de redes neurais artificiais , o termo "função sigmóide" é usado como um apelido para a função logística.

Casos especiais da função sigmóide incluem a curva de Gompertz (usada em sistemas de modelagem que saturam em grandes valores de x) e a curva ogee (usada no vertedouro de algumas barragens ). As funções sigmóides têm domínio de todos os números reais , com o valor de retorno (resposta) comumente aumentando monotonicamente, mas pode estar diminuindo. As funções sigmóides geralmente mostram um valor de retorno (eixo y) no intervalo de 0 a 1. Outro intervalo comumente usado é de -1 a 1.

Uma grande variedade de funções sigmóides, incluindo as funções tangentes logísticas e hiperbólicas , têm sido usadas como a função de ativação de neurônios artificiais . As curvas sigmóides também são comuns em estatísticas como funções de distribuição cumulativa (que vão de 0 a 1), como as integrais da densidade logística , a densidade normal e as funções de densidade de probabilidade t de Student . A função sigmóide logística é invertível e seu inverso é a função logit .

Definição

Uma função sigmóide é uma função real limitada , diferenciável , que é definida para todos os valores reais de entrada e tem uma derivada não negativa em cada ponto e exatamente um ponto de inflexão . Uma "função" sigmóide e uma "curva" sigmóide referem-se ao mesmo objeto.

Propriedades

Em geral, uma função sigmóide é monotónica , e tem um primeiro derivado que é em forma de sino . Por outro lado, a integral de qualquer função em forma de sino contínua, não negativa (com um máximo local e nenhum mínimo local, a menos que degenerada) será sigmoidal. Assim, as funções de distribuição cumulativa para muitas distribuições de probabilidade comuns são sigmoidais. Um exemplo é a função de erro , que está relacionada à função de distribuição cumulativa de uma distribuição normal ; outra é a função arctan , que está relacionada à função de distribuição cumulativa de uma distribuição de Cauchy .

Uma função sigmóide é restringida por um par de assíntotas horizontais como . ${\ displaystyle x \ rightarrow \ pm \ infty}$

Uma função sigmóide é convexa para valores menores que um determinado ponto e é côncava para valores maiores que esse ponto: em muitos dos exemplos aqui, esse ponto é 0.

Exemplos

Algumas funções sigmóides comparadas. No desenho, todas as funções são normalizadas de forma que sua inclinação na origem seja 1.

• Função logística
  $${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {1 + e ^ {- x}}}}$$

  
• Tangente hiperbólica (versão alterada e em escala da função logística, acima)
  $${\ displaystyle f (x) = \ tanh x = {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {e ^ {x} + e ^ {- x}}}}$$

  
• Função Arctangent
  $${\ displaystyle f (x) = \ arctan x}$$

  
• Função gudermanniana
  $${\ displaystyle f (x) = \ operatorname {gd} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {\ cosh t}} = 2 \ arctan \ left (\ tanh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ right)}$$

  
• Função de erro
  $${\ displaystyle f (x) = \ operatorname {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2 }} \, dt}$$

  
• Função logística generalizada
  $${\ displaystyle f (x) = \ left (1 + e ^ {- x} \ right) ^ {- \ alpha}, \ quad \ alpha> 0}$$

  
• Função Smoothstep
  $${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} {\ displaystyle \ left (\ int _ {0} ^ {1} \ left (1-u ^ {2} \ right) ^ {N} du \ right ) ^ {- 1} \ int _ {0} ^ {x} \ left (1-u ^ {2} \ right) ^ {N} \ du}, & | x | \ leq 1 \\\\\ operatorname {sgn} (x) & | x | \ geq 1 \\\ end {cases}} \ quad N \ in \ mathbb {Z} \ geq 1}$$

  
• Algumas funções algébricas , por exemplo

  ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}$

• e de uma forma mais geral

  ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x} {(1+ | x | ^ {k}) ^ {1 / k}}}}$ (Vejo )

Formulários

Curva S logística invertida para modelar a relação entre a produtividade do trigo e a salinidade do solo.

Muitos processos naturais, como os de curvas de aprendizado de sistemas complexos , exibem uma progressão de pequenos começos que acelera e se aproxima de um clímax com o tempo. Quando um modelo matemático específico está faltando, uma função sigmóide é freqüentemente usada.

O modelo van Genuchten-Gupta é baseado em uma curva S invertida e aplicado à resposta do rendimento da cultura à salinidade do solo .

Exemplos da aplicação da curva S logística à resposta do rendimento da cultura (trigo) à salinidade do solo e à profundidade do lençol freático no solo são mostrados na função logística # Na agricultura: modelagem da resposta da cultura .

Em redes neurais artificiais , às vezes funções não suaves são usadas para eficiência; estes são conhecidos como sigmóides duros .

No processamento de sinal de áudio , as funções sigmóides são usadas como funções de transferência de forma de onda para emular o som do corte do circuito analógico .

Em bioquímica e farmacologia , a equação de Hill e a equação de Hill-Langmuir são funções sigmóides.

Na computação gráfica e na renderização em tempo real, algumas das funções sigmóides são usadas para misturar cores ou geometria entre dois valores, suavemente e sem costuras ou descontinuidades visíveis.

As curvas de titulação entre ácidos e bases fortes têm um formato sigmóide devido à natureza logarítmica da escala de pH .

Veja também

Referências

• Mitchell, Tom M. (1997). Aprendizado de máquina . WCB – McGraw – Hill. ISBN 978-0-07-042807-2.. Em particular, consulte o "Capítulo 4: Redes Neurais Artificiais" (em particular pp. 96-97), onde Mitchell usa a palavra "função logística" e a "função sigmóide" como sinônimos - esta função ele também chama de "função de esmagamento" - e o A função sigmóide (também conhecida como logística) é usada para comprimir as saídas dos "neurônios" em redes neurais multicamadas.
• Humphrys, Mark. "Saída contínua, a função sigmóide" . Propriedades do sigmóide, incluindo como ele pode se deslocar ao longo dos eixos e como seu domínio pode ser transformado.