Média do sinal - Signal averaging

A média do sinal é uma técnica de processamento de sinal aplicada no domínio do tempo , com o objetivo de aumentar a força de um sinal em relação ao ruído que o está obscurecendo. Fazendo a média de um conjunto de medições replicadas , a relação sinal-ruído (SNR) será aumentada, idealmente em proporção à raiz quadrada do número de medições.

Derivando o SNR para sinais médios

Presumiu que

Sinal não está correlacionada ao ruído, eo ruído é não correlacionadas: . ${\ displaystyle s (t)}$ ${\ displaystyle z (t)}$ ${\ displaystyle E [z (t) z (t- \ tau)] = 0 = E [z (t) s (t- \ tau)] \ forall t, \ tau}$
A potência do sinal é constante nas medições replicadas. ${\ displaystyle P_ {sinal} = E [s ^ {2}]}$
O ruído é aleatório, com média zero e variância constante nas medições replicadas: e . ${\ displaystyle E [z] = 0 = \ mu}$ ${\ displaystyle 0 <E [\ left (z- \ mu \ right) ^ {2}] = E [z ^ {2}] = P_ {ruído} = \ sigma ^ {2}}$
Nós (canonicamente) definimos a relação Sinal-Ruído como . ${\ displaystyle SNR = {\ frac {P_ {sinal}} {P_ {ruído}}} = {\ frac {E [s ^ {2}]} {\ sigma ^ {2}}}}$

Potência de ruído para sinais amostrados

Assumindo que amostramos o ruído, obtemos uma variância por amostra de

${\ displaystyle \ mathrm {Var} (z) = E [z ^ {2}] = \ sigma ^ {2}}$ .

A média de uma variável aleatória leva à seguinte variação:

${\ displaystyle \ mathrm {Var} \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} z_ {i} \ right) = {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ mathrm {Var} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} z_ {i} \ right) = {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {Var} \ left (z_ {i} \ right)}$ .

Uma vez que a variação de ruído é constante : ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Var} (N _ {\ text {avg}}) = \ mathrm {Var} \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} z_ {i} \ right) = {\ frac {1} {n ^ {2}}} n \ sigma ^ {2} = {\ frac {1} {n}} \ sigma ^ {2}}$ ,

demonstrando que a média das realizações do mesmo ruído não correlacionado reduz a potência do ruído em um fator de e reduz o nível de ruído em um fator de . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$

Potência do sinal para sinais amostrados

Considerando vetores de amostras de sinal de comprimento : ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle V_ {i}, \, i \ in \ {1, \ ldots, n \}}$ ${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle V_ {i} = \ left [s_ {i, 1}, \ ldots, s_ {i, T} \ right], \ quad s_ {i, k} \ in \ mathbb {K} ^ {T} }$ ,

o poder de tal vetor simplesmente é ${\ displaystyle P_ {i}}$

${\ displaystyle P_ {i} = \ sum _ {k = 1} ^ {T} {s_ {i, k} ^ {2}} = \ left | V_ {i} \ right | ^ {2}}$ .

Mais uma vez, a média dos vetores , resulta no seguinte vetor médio ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle V_ {i}, \, i = 1, \ ldots, n}$

${\ displaystyle V _ {\ text {avg}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {T} \ sum _ {i = 1} ^ {n} s_ {i, k} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {k = 1} ^ {T} s_ {i, k}}$ .

No caso em que , vemos que atinge um máximo de ${\ displaystyle V_ {n} \ equiv V_ {m} \ forall m, n \ in \ {1, \ ldots, n \}}$ ${\ displaystyle V _ {\ text {avg}}}$

${\ displaystyle V _ {\ text {média, sinais idênticos}} = P_ {i}}$ .

Neste caso, a relação sinal / ruído também atinge um máximo,

${\ displaystyle {\ text {SNR}} _ {\ text {média, sinais idênticos}} = {\ frac {V _ {\ text {média, sinais idênticos}}} {N _ {\ text {média}}}} = n {\ text {SNR}}}$ .

Este é o caso de sobreamostragem , onde o sinal observado está correlacionado (porque a sobreamostragem implica que as observações do sinal estão fortemente correlacionadas).

Sinais de tempo bloqueado

A média é aplicada para melhorar um componente de sinal bloqueado no tempo em medições ruidosas; o bloqueio de tempo implica que o sinal é periódico de observação, então terminamos no caso máximo acima.

Média de tentativas pares e ímpares

Uma maneira específica de obter réplicas é calcular a média de todas as tentativas pares e ímpares em buffers separados. Isso tem a vantagem de permitir a comparação de resultados pares e ímpares de testes intercalados. Uma média das médias ímpares e pares gera o resultado médio completo, enquanto a diferença entre as médias ímpar e par, dividida por dois, constitui uma estimativa do ruído.

Implementação de algoritmo

O que se segue é uma simulação MATLAB do processo de média:

N=1000;   % signal length
even=zeros(N,1);  % even buffer
odd=even;         % odd buffer
actual_noise=even;% keep track of noise level
x=sin(linspace(0,4*pi,N))'; % tracked signal
for ii=1:256 % number of replicates
    n = randn(N,1); % random noise
    actual_noise = actual_noise+n;
    
    if (mod(ii,2))
        even = even+n+x;
    else
        odd=odd+n+x;
    end
end

even_avg = even/(ii/2); % even buffer average 
odd_avg = odd/(ii/2);   % odd buffer average
act_avg = actual_noise/ii; % actual noise level

db(rms(act_avg))
db(rms((even_avg-odd_avg)/2))
plot((odd_avg+even_avg)); 
hold on; 
plot((even_avg-odd_avg)/2)

O processo de cálculo da média acima, e em geral, resulta em uma estimativa do sinal. Quando comparado com o traçado bruto, o componente de ruído médio é reduzido a cada tentativa de média. Ao calcular a média de sinais reais, o componente subjacente pode nem sempre ser tão claro, resultando em médias repetidas em uma busca por componentes consistentes em duas ou três repetições. É improvável que dois ou mais resultados consistentes sejam produzidos apenas por acaso.

Ruído correlacionado

A média do sinal normalmente se baseia na suposição de que o componente de ruído de um sinal é aleatório, tendo média zero e não estando relacionado ao sinal. No entanto, existem casos em que o ruído não é incompatível. Um exemplo comum de ruído correlacionado é o ruído de quantização (por exemplo, o ruído criado durante a conversão de um sinal analógico para um digital).

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