Assinatura (topologia) - Signature (topology)

No campo da topologia , a assinatura é um invariante inteiro que é definido para uma variedade orientada M de dimensão divisível por quatro .

Este invariante de uma variedade foi estudado em detalhes, começando com o teorema de Rokhlin para variedades 4 e o teorema da assinatura de Hirzebruch .

Definição

Dado uma variedade conectada e orientada M de dimensão 4 k , o produto de xícara dá origem a uma forma quadrática Q no grupo de cohomologia real 'médio'

${\ displaystyle H ^ {2k} (M, \ mathbf {R})}$.

A identidade básica para o produto do copo

${\ displaystyle \ alpha ^ {p} \ smile \ beta ^ {q} = (- 1) ^ {pq} (\ beta ^ {q} \ smile \ alpha ^ {p})}$

mostra que com p = q = 2 k o produto é simétrico . Leva valores em

${\ displaystyle H ^ {4k} (M, \ mathbf {R})}$.

Se assumirmos também que M é compacto , a dualidade de Poincaré identifica isso com

${\ displaystyle H ^ {0} (M, \ mathbf {R})}$

que pode ser identificado com . Portanto, o produto da xícara, sob essas hipóteses, dá origem a uma forma bilinear simétrica em H ^{2 k} ( M , R ); e, por conseguinte, para uma forma quadrática Q . A forma Q não é degenerada devido à dualidade de Poincaré, visto que emparelha não degenerativamente consigo mesma. De forma mais geral, a assinatura pode ser definida desta forma para qualquer poliedro compacto geral com dualidade de Poincaré 4n- dimensional. ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$

A assinatura de M é por definição a assinatura de Q , uma tripla ordenada de acordo com sua definição. Se M não estiver conectado, sua assinatura é definida como a soma das assinaturas de seus componentes conectados.

Outras dimensões

Se M tem dimensão não divisível por 4, sua assinatura é geralmente definida como 0. Existem generalizações alternativas na teoria L : a assinatura pode ser interpretada como o grupo L simétrico 4 k- dimensional (simplesmente conectado) ou como o Grupo L quadrático 4 k- dimensional e esses invariantes nem sempre desaparecem para outras dimensões. O invariante de Kervaire é um mod 2 (ou seja, um elemento de ) para variedades emolduradas de dimensão 4 k +2 (o grupo L quadrático ), enquanto o invariante de Rham é um invariante mod 2 de variedades de dimensão 4 k +1 ( o grupo L simétrico ); os outros grupos L dimensionais desaparecem. ${\ displaystyle L ^ {4k},}$${\ displaystyle L_ {4k},}$${\ displaystyle \ mathbf {Z} / 2}$${\ displaystyle L_ {4k + 2}}$${\ displaystyle L ^ {4k + 1}}$

Invariante de Kervaire

Quando é duas vezes um número inteiro ímpar ( par isoladamente ), a mesma construção dá origem a uma forma bilinear anti - simétrica . Essas formas não têm uma invariante de assinatura; se forem não degenerados, quaisquer duas dessas formas são equivalentes. No entanto, se tomarmos um refinamento quadrático da forma, o que ocorre se tivermos uma variedade emoldurada , então as formas ε-quadráticas resultantes não precisam ser equivalentes, sendo distinguidas pelo invariante de Arf . O invariante resultante de uma variedade é chamado de invariante de Kervaire . ${\ displaystyle d = 4k + 2 = 2 (2k + 1)}$

Propriedades

René Thom (1954) mostrou que a assinatura de uma variedade é um cobordismo invariante e, em particular, é dada por alguma combinação linear de seus números de Pontryagin . Por exemplo, em quatro dimensões, é dado por . Friedrich Hirzebruch (1954) encontrou uma expressão explícita para essa combinação linear como o gênero L da variedade. William Browder (1962) provou que um poliedro compacto simplesmente conectado com dualidade de Poincaré 4 n- dimensional é homotopia equivalente a uma variedade se e somente se sua assinatura satisfizer a expressão do teorema da assinatura de Hirzebruch . ${\ displaystyle {\ frac {p_ {1}} {3}}}$

Veja também

• Teorema da assinatura de Hirzebruch
• Gênero de uma sequência multiplicativa
• Teorema de Rokhlin

Referências