Espaço simplesmente conectado - Simply connected space

Em topologia , um espaço topológico é chamado simplesmente conectado (ou 1-conectado , ou 1-simplesmente conectado ) se for conectado por caminho e cada caminho entre dois pontos pode ser continuamente transformado (intuitivamente para espaços incorporados, permanecendo dentro do espaço) em qualquer outro caminho, preservando os dois pontos de extremidade em questão. O grupo fundamental de um espaço topológico é um indicador de falha para o espaço ser simplesmente conectado: um espaço topológico conectado por caminho é simplesmente conectado se e somente se seu grupo fundamental for trivial.

Definição e formulações equivalentes

Esta forma representa um conjunto que não é simplesmente conectado, pois qualquer laço que envolva um ou mais dos orifícios não pode ser contraído a um ponto sem sair da região.

Um espaço topológico é chamado simplesmente ligada se ele é conectado-caminho e qualquer lacete em definido por pode ser efectuada por um ponto: existe um mapa contínuo tal que restringe a S 1 é aqui, e indica o círculo unitário e fechada disco unidade em o plano euclidiano, respectivamente.

Uma formulação equivalente é esta: é simplesmente conectado se e somente se estiver conectado por caminho, e sempre que e forem dois caminhos (ou seja, mapas contínuos) com o mesmo ponto inicial e final ( ), então pode ser continuamente deformado enquanto mantém ambos endpoints fixos. Explicitamente, existe uma homotopia tal que e

Um espaço topológico é simplesmente conectado se e somente se for conectado por caminho e o grupo fundamental de em cada ponto for trivial, ou seja, consiste apenas no elemento de identidade . Da mesma forma, é simplesmente conectado se e somente se, para todos os pontos, o conjunto de morfismos no grupóide fundamental de tiver apenas um elemento.

Na análise complexa : um subconjunto aberto é simplesmente conectado se e somente se ambos e seu complemento na esfera de Riemann estiverem conectados. O conjunto de números complexos com parte imaginária estritamente maior que zero e menor que um fornece um bom exemplo de um subconjunto ilimitado, conectado e aberto do plano cujo complemento não está conectado. No entanto, está simplesmente conectado. Também pode valer a pena apontar que um relaxamento do requisito de estar conectado leva a uma exploração interessante de subconjuntos abertos do plano com complemento estendido conectado. Por exemplo, um conjunto aberto (não necessariamente conectado) conectou um complemento estendido exatamente quando cada um de seus componentes conectados está simplesmente conectado.

Discussão informal

Informalmente, um objeto em nosso espaço está simplesmente conectado se consistir em uma única peça e não tiver nenhum "orifício" que o atravesse. Por exemplo, nem um donut nem uma xícara de café (com uma alça) são simplesmente conectadas, mas uma bola de borracha oca é simplesmente conectada. Em duas dimensões, um círculo não é simplesmente conectado, mas um disco e uma linha estão. Os espaços que estão conectados, mas não simplesmente conectados, são chamados de não simplesmente conectados ou multiplamente conectados .

Uma esfera é simplesmente conectada porque cada volta pode ser contraída (na superfície) até um ponto.


A definição exclui apenas furos em forma de alça . Uma esfera (ou, de forma equivalente, uma bola de borracha com um centro oco) é simplesmente conectada, porque qualquer laço na superfície de uma esfera pode se contrair até um ponto, embora tenha um "buraco" no centro oco. A condição mais forte, de que o objeto não tem orifícios de nenhuma dimensão, é chamada de contratibilidade .

Exemplos

Um toro não é uma superfície simplesmente conectada. Nenhum dos dois loops coloridos mostrados aqui pode ser contraído até um ponto sem deixar a superfície. Um toro sólido também não é simplesmente conectado porque o loop roxo não pode se contrair até um ponto sem deixar o sólido.
  • O plano euclidiano é simplesmente conectado, mas sem a origem não. Se, então, ambos e menos a origem estão simplesmente conectados.
  • Analogamente: a esfera n- dimensional é simplesmente conectada se e somente se
  • Cada subconjunto convexo de é simplesmente conectado.
  • Um toro , o cilindro (elíptico) , a tira de Möbius , o plano projetivo e a garrafa de Klein não estão simplesmente conectados.
  • Todo espaço vetorial topológico é simplesmente conectado; isso inclui espaços de Banach e espaços de Hilbert .
  • Pois o grupo ortogonal especial não é simplesmente conectado e o grupo unitário especial é simplesmente conectado.
  • A compactação de um ponto de não está simplesmente conectada (embora esteja simplesmente conectada).
  • A linha longa é simplesmente conectada, mas sua compactação, a linha longa estendida não (uma vez que nem mesmo é conectada por caminho).

Propriedades

Uma superfície ( variedade topológica bidimensional ) é simplesmente conectada se e somente se ela estiver conectada e seu gênero (o número de alças da superfície) for 0.

Uma cobertura universal de qualquer espaço (adequado) é um espaço simplesmente conectado que mapeia por meio de um mapa de cobertura .

Se e forem homotópicos equivalentes e estiverem simplesmente conectados, então também será

A imagem de um conjunto simplesmente conectado em uma função contínua não precisa ser simplesmente conectada. Tomemos por exemplo o plano complexo sob o mapa exponencial: a imagem é que não está simplesmente conectada.

A noção de conexão simples é importante na análise complexa devido aos seguintes fatos:

  • O teorema integral de Cauchy estados que se é um subconjunto aberta simplesmente ligado do plano complexo e é uma função holomórfica , em seguida, tem uma primitiva sobre e o valor de cada integrante linha em com integrando depende apenas os pontos finais e do caminho, e pode ser calculado como o integral, portanto, não depende do caminho particular que conecta e
  • O teorema de mapeamento de Riemann afirma que qualquer subconjunto não vazio aberto simplesmente conectado de (exceto ele mesmo) é conformalmente equivalente ao disco unitário .

A noção de conexão simples também é uma condição crucial na conjectura de Poincaré .

Veja também

Referências

  • Spanier, Edwin (dezembro de 1994). Topologia Algébrica . Springer. ISBN 0-387-94426-5.
  • Conway, John (1986). Funções de One I Variável Complexa . Springer. ISBN 0-387-90328-3.
  • Bourbaki, Nicolas (2005). Grupos de mentiras e álgebras de mentiras . Springer. ISBN 3-540-43405-4.
  • Gamelin, Theodore (janeiro de 2001). Análise complexa . Springer. ISBN 0-387-95069-9.
  • Joshi, Kapli (agosto de 1983). Introdução à topologia geral . Editores da Nova Era. ISBN 0-85226-444-5.