Esqueleto (teoria da categoria) - Skeleton (category theory)
Em matemática , o esqueleto de uma categoria é uma subcategoria que, grosso modo, não contém nenhum isomorfismo estranho . Em certo sentido, o esqueleto de uma categoria é a "menor" categoria equivalente , que captura todas as "propriedades categóricas" do original. Na verdade, duas categorias são equivalentes se e somente se tiverem esqueletos isomórficos . Uma categoria é denominada esquelética se os objetos isomórficos forem necessariamente idênticos.
Definição
Um esqueleto de uma categoria C é uma categoria equivalente D em que não há dois objetos distintos isomórficos. Geralmente é considerado uma subcategoria. Em detalhes, um esqueleto de C é uma categoria D tal que:
- D é uma subcategoria de C : todo objeto de D é um objeto de C
para cada par de objetos d 1 e d 2 de D , os morfismos em D são morfismos em C , ou seja,
e as identidades e as composições em D são as restrições de aqueles em C .
- A inclusão de D em C é cheia , o que significa que para cada par de objectos de d 1 e d 2 de D que fortalecer a relação subconjunto acima a uma igualdade:
- A inclusão de D em C é essencialmente sobrejetiva : todo objeto- C é isomórfico a algum objeto- D .
- D é esquelético: não há dois objetos D distintos isomórficos.
Existência e singularidade
É um fato básico que toda pequena categoria tem um esqueleto; de maneira mais geral, cada categoria acessível tem um esqueleto. (Isso é equivalente ao axioma da escolha .) Além disso, embora uma categoria possa ter muitos esqueletos distintos, quaisquer dois esqueletos são isomórficos como categorias , portanto, até o isomorfismo de categorias, o esqueleto de uma categoria é único .
A importância dos esqueletos vem do fato de que eles são (até o isomorfismo de categorias), representantes canônicos das classes de equivalência de categorias sob a relação de equivalência de equivalência de categorias . Isso decorre do fato de que qualquer esqueleto de uma categoria C é equivalente a C , e que duas categorias são equivalentes se e somente se tiverem esqueletos isomórficos.
Exemplos
- A categoria Conjunto de todos os conjuntos possui a subcategoria de todos os números cardinais como um esqueleto.
- A categoria K -Vect de todos os espaços vetoriais sobre um campo fixo tem a subcategoria que consiste em todas as potências , onde α é qualquer número cardinal, como um esqueleto; para qualquer finito m e n , os mapas são exatamente os n × m matrizes com entradas no K .
- FinSet , a categoria de todos os conjuntos finitos, tem FinOrd , a categoria de todos os números ordinais finitos, como um esqueleto.
- A categoria de todos os conjuntos bem ordenados tem a subcategoria de todos os números ordinais como um esqueleto.
- Uma pré-encomenda , ou seja, uma pequena categoria tal que para cada par de objetos , o conjunto tem um elemento ou está vazio, tem um conjunto parcialmente ordenado como um esqueleto.
Veja também
Referências
- Adámek, Jiří, Herrlich, Horst e Strecker, George E. (1990). Categorias abstratas e concretas . Originalmente publicado por John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 . (agora edição online gratuita)
- Robert Goldblatt (1984). Topoi, a Análise Categorial da Lógica (Estudos em lógica e os fundamentos da matemática, 98). Holanda do Norte. Reimpresso em 2006 por Dover Publications.