Esqueleto (teoria da categoria) - Skeleton (category theory)

Em matemática , o esqueleto de uma categoria é uma subcategoria que, grosso modo, não contém nenhum isomorfismo estranho . Em certo sentido, o esqueleto de uma categoria é a "menor" categoria equivalente , que captura todas as "propriedades categóricas" do original. Na verdade, duas categorias são equivalentes se e somente se tiverem esqueletos isomórficos . Uma categoria é denominada esquelética se os objetos isomórficos forem necessariamente idênticos.

Definição

Um esqueleto de uma categoria C é uma categoria equivalente D em que não há dois objetos distintos isomórficos. Geralmente é considerado uma subcategoria. Em detalhes, um esqueleto de C é uma categoria D tal que:

  • D é uma subcategoria de C : todo objeto de D é um objeto de C

para cada par de objetos d 1 e d 2 de D , os morfismos em D são morfismos em C , ou seja,

e as identidades e as composições em D são as restrições de aqueles em C .

  • A inclusão de D em C é cheia , o que significa que para cada par de objectos de d 1 e d 2 de D que fortalecer a relação subconjunto acima a uma igualdade:
  • A inclusão de D em C é essencialmente sobrejetiva : todo objeto- C é isomórfico a algum objeto- D .
  • D é esquelético: não há dois objetos D distintos isomórficos.

Existência e singularidade

É um fato básico que toda pequena categoria tem um esqueleto; de maneira mais geral, cada categoria acessível tem um esqueleto. (Isso é equivalente ao axioma da escolha .) Além disso, embora uma categoria possa ter muitos esqueletos distintos, quaisquer dois esqueletos são isomórficos como categorias , portanto, até o isomorfismo de categorias, o esqueleto de uma categoria é único .

A importância dos esqueletos vem do fato de que eles são (até o isomorfismo de categorias), representantes canônicos das classes de equivalência de categorias sob a relação de equivalência de equivalência de categorias . Isso decorre do fato de que qualquer esqueleto de uma categoria C é equivalente a C , e que duas categorias são equivalentes se e somente se tiverem esqueletos isomórficos.

Exemplos

Veja também

Referências

  • Adámek, Jiří, Herrlich, Horst e Strecker, George E. (1990). Categorias abstratas e concretas . Originalmente publicado por John Wiley & Sons. ISBN  0-471-60922-6 . (agora edição online gratuita)
  • Robert Goldblatt (1984). Topoi, a Análise Categorial da Lógica (Estudos em lógica e os fundamentos da matemática, 98). Holanda do Norte. Reimpresso em 2006 por Dover Publications.