Sólido de revolução - Solid of revolution

Girando uma curva. A superfície formada é uma superfície de revolução ; ele encerra um sólido de revolução.

Sólidos de revolução ( Matemateca Ime-Usp )

Em geometria , um sólido de revolução é uma figura sólida obtida girando uma curva plana em torno de uma linha reta (o eixo de revolução ) que está no mesmo plano. A superfície criada por esta revolução e que delimita o sólido é a superfície da revolução .

Supondo que a curva não cruze o eixo, o volume do sólido é igual ao comprimento do círculo descrito pelo centróide da figura multiplicado pela área da figura ( segundo teorema do centróide de Pappus ).

Um disco representativo é um elemento de volume tridimensional de um sólido de revolução. O elemento é criado girando um segmento de linha (de comprimento $w$ ) em torno de algum eixo (localizado $r$ unidades de distância), de modo que um volume cilíndrico de $π$ $r$ $2$ $w$ unidades seja encerrado.

Encontrando o volume

Dois métodos comuns para encontrar o volume de um sólido de revolução são o método do disco e o método da casca de integração . Para aplicar esses métodos, é mais fácil desenhar o gráfico em questão; identificar a área que deve ser revolvida em torno do eixo de revolução; determinar o volume de uma fatia em forma de disco do sólido, com espessura $δx$ , ou um invólucro cilíndrico de largura $δx$ ; e, em seguida, encontre a soma limite desses volumes quando $δx se$ aproxima de 0, um valor que pode ser encontrado avaliando uma integral adequada. Uma justificativa mais rigorosa pode ser dada tentando avaliar uma integral tripla em coordenadas cilíndricas com duas ordens diferentes de integração.

Método de disco

Integração do disco sobre o eixo y

O método do disco é usado quando a fatia desenhada é perpendicular ao eixo de revolução; ou seja, ao integrar paralelamente ao eixo de revolução.

O volume do sólido formado pela rotação da área entre as curvas de $f (x)$ e $g (x)$ e as linhas $x = a$ e $x = b$ sobre o eixo $x$ é dado por

{\ displaystyle V = \ pi \ int _ {a} ^ {b} \ left | f (x) ^ {2} -g (x) ^ {2} \ right | \, dx \ ,.}

Se $g (x) = 0$ (por exemplo, revolvendo uma área entre a curva e o eixo $x$ ), isso se reduz a:

{\ displaystyle V = \ pi \ int _ {a} ^ {b} f (x) ^ {2} \, dx \ ,.}

O método pode ser visualizado considerando um retângulo horizontal fino em $y$ entre $f (y)$ na parte superior $eg (y)$ na parte inferior, e girando-o sobre o eixo $y$ ; forma um anel (ou disco no caso em que $g (y) = 0$ ), com raio externo $f (y)$ e raio interno $g (y)$ . A área de um anel é $π (R 2 - r 2)$ , onde $R$ é o raio externo (neste caso $f (y)$ ) e $r$ é o raio interno (neste caso $g (y)$ ). O volume de cada disco infinitesimal é, portanto, $π f (y) 2 dy$ . O limite da soma de Riemann dos volumes dos discos entre $um$ e $b$ torna-se integral (1).

Assumindo a aplicabilidade do teorema de Fubini e a fórmula de mudança multivariada de variáveis, o método do disco pode ser derivado de uma maneira direta por (denotando o sólido como D):

{\ displaystyle V = \ iiint _ {D} dV = \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {g (z)} ^ {f (z)} \ int _ {0} ^ {2 \ pi } r \, d \ theta \, dr \, dz = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {g (z)} ^ {f (z)} r \, dr \, dz = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {1} {2}} r ^ {2} \ Vert _ {f (z)} ^ {g (z)} \, dz = \ pi \ int _ {a} ^ {b} f (z) ^ {2} -g (z) ^ {2} \, dz}

Método do cilindro

Integração de shell

O método do cilindro é usado quando a fatia desenhada é paralela ao eixo de revolução; ou seja, ao integrar perpendicular ao eixo de revolução.

O volume do sólido formado pela rotação da área entre as curvas de $f (x)$ e $g (x)$ e as linhas $x = a$ e $x = b$ sobre o eixo $y$ é dado por

{\ displaystyle V = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} x | f (x) -g (x) | \, dx \ ,.}

Se $g (x) = 0$ (por exemplo, revolvendo uma área entre a curva e o eixo $y$ ), isso se reduz a:

{\ displaystyle V = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} x | f (x) | \, dx \ ,.}

O método pode ser visualizado considerando um retângulo vertical fino em $x$ com altura $f (x) - g (x)$ , e girando-o sobre o eixo $y$ ; ele forma uma casca cilíndrica. A área da superfície lateral de um cilindro é $2π rh$ , onde $r$ é o raio (neste caso $x$ ) $eh$ é a altura (neste caso $f (x) - g (x)$ ). A soma de todas as áreas de superfície ao longo do intervalo dá o volume total.

Este método pode ser derivado com a mesma integral tripla, desta vez com uma ordem diferente de integração:

{\ displaystyle V = \ iiint _ {D} dV = \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {g (r)} ^ {f (r)} \ int _ {0} ^ {2 \ pi } r \, d \ theta \, dz \, dr = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {g (r)} ^ {f (r)} r \, dz \, dr = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} r (f (r) -g (r)) \, dr}

.

Sólido de demonstração de revolução

As formas em repouso

As formas em movimento, mostrando os sólidos de revolução formados por cada

Forma paramétrica

Matemática e arte : estudo do vaso como sólido de revolução de Paolo Uccello . Século 15

Quando uma curva é definida por sua forma paramétrica $(x (t), y (t))$ em algum intervalo $[a, b]$ , os volumes dos sólidos gerados pela rotação da curva em torno do eixo $x$ ou eixo $y$ são dado por

{\ displaystyle V_ {x} = \ int _ {a} ^ {b} \ pi y ^ {2} \, {\ frac {dx} {dt}} \, dt \ ,,}

{\ displaystyle V_ {y} = \ int _ {a} ^ {b} \ pi x ^ {2} \, {\ frac {dy} {dt}} \, dt \ ,.}

Nas mesmas circunstâncias, as áreas das superfícies dos sólidos gerados pela rotação da curva em torno do eixo $x$ ou do eixo $y$ são dadas por

{\ displaystyle A_ {x} = \ int _ {a} ^ {b} 2 \ pi y \, {\ sqrt {\ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ esquerda ({\ frac {dy} {dt}} \ direita) ^ {2}}} \, dt \ ,,}

{\ displaystyle A_ {y} = \ int _ {a} ^ {b} 2 \ pi x \, {\ sqrt {\ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ esquerda ({\ frac {dy} {dt}} \ direita) ^ {2}}} \, dt \ ,.}

Forma polar

Para uma curva polar onde , os volumes dos sólidos gerados pela rotação da curva em torno do eixo x ou eixo y são ${\ displaystyle r = f (\ theta)}$ ${\ displaystyle \ alpha \ leq \ theta \ leq \ beta}$