Grupo de espaço - Space group
Em matemática , física e química , um grupo espacial é o grupo de simetria de um objeto no espaço, geralmente em três dimensões . Os elementos de um grupo espacial (suas operações de simetria ) são as transformações rígidas de um objeto que o deixam inalterado. Em três dimensões, os grupos espaciais são classificados em 219 tipos distintos ou 230 tipos se as cópias quirais forem consideradas distintas. Grupos espaciais são discretas cocompact grupos de isometries de um orientado do espaço Euclidiano em qualquer número de dimensões. Em dimensões diferentes de 3, eles às vezes são chamados de grupos de Bieberbach .
Em cristalografia , grupos espaciais também são chamados os cristalográficos ou Fedorov grupos , e representam uma descrição da simetria do cristal. Uma fonte definitiva sobre grupos espaciais tridimensionais é International Tables for Crystallography Hahn (2002) .
História
Grupos espaciais em 2 dimensões são os 17 grupos de papel de parede que são conhecidos há vários séculos, embora a prova de que a lista estava completa só tenha sido dada em 1891, depois que a classificação muito mais difícil dos grupos espaciais foi amplamente concluída.
Em 1879, o matemático alemão Leonhard Sohncke listou os 65 grupos espaciais (chamados grupos Sohncke) cujos elementos preservam a quiralidade . Mais precisamente, ele listou 66 grupos, mas tanto o matemático e cristalógrafo russo Evgraf Fedorov quanto o matemático alemão Arthur Moritz Schoenflies notaram que dois deles eram realmente iguais. Os grupos espaciais em três dimensões foram enumerados pela primeira vez em 1891 por Fedorov (cuja lista tinha duas omissões (I 4 3d e Fdd2) e uma duplicação (Fmm2)), e logo depois em 1891 foram enumerados de forma independente por Schönflies (cuja lista tinha quatro omissões (I 4 3d, Pc, Cc,?) E uma duplicação (P 4 2 1 m)). A lista correta de 230 grupos espaciais foi encontrada em 1892 durante a correspondência entre Fedorov e Schönflies. Barlow ( 1894 ) posteriormente enumerou os grupos com um método diferente, mas omitiu quatro grupos (Fdd2, I 4 2d, P 4 2 1 d e P 4 2 1 c), embora ele já tivesse a lista correta de 230 grupos de Fedorov e Schönflies; a alegação comum de que Barlow não tinha conhecimento de seu trabalho está incorreta. Burckhardt (1967) descreve em detalhes a história da descoberta dos grupos espaciais.
Elementos
Os grupos espaciais em três dimensões são feitos a partir de combinações dos 32 grupos de pontos cristalográficos com as 14 redes Bravais , cada uma delas pertencendo a um dos 7 sistemas de rede . O que isso significa é que a ação de qualquer elemento de um determinado grupo espacial pode ser expressa como a ação de um elemento do grupo de pontos apropriado seguido opcionalmente por uma tradução. Um grupo espacial é, portanto, alguma combinação da simetria translacional de uma célula unitária (incluindo a centralização da rede ), as operações de simetria do grupo de pontos de reflexão , rotação e rotação inadequada (também chamada de rotoinversão) e as operações de simetria do eixo do parafuso e do plano de deslizamento . A combinação de todas essas operações de simetria resulta em um total de 230 grupos espaciais diferentes que descrevem todas as simetrias de cristal possíveis.
Elementos fixando um ponto
Os elementos do grupo espacial que fixam um ponto do espaço são o elemento de identidade, reflexos, rotações e rotações impróprias .
Traduções
As traduções formam um subgrupo abeliano normal de nível 3, chamado de rede de Bravais. Existem 14 tipos possíveis de rede Bravais. O quociente do grupo espacial pela rede de Bravais é um grupo finito que é um dos 32 grupos de pontos possíveis .
Aviões planadores
Um plano de planagem é um reflexo em um plano, seguido por uma translação paralela a esse plano. Isso é notado por , ou , dependendo de qual eixo o deslizamento está ao longo. Há também o deslizamento, que é um deslizamento ao longo da metade da diagonal de uma face, e o deslizamento, que é um quarto do caminho ao longo de uma diagonal de face ou espaço da célula unitária. Este último é chamado de plano de deslizamento de diamante, uma vez que está presente na estrutura do diamante . Em 17 grupos espaciais, devido à centralização da célula, os deslizamentos ocorrem em duas direções perpendiculares simultaneamente, ou seja , o mesmo plano de deslizamento pode ser denominado b ou c , a ou b , a ou c . Por exemplo, o grupo Abm2 também pode ser denominado Acm2, o grupo Ccca pode ser denominado Cccb. Em 1992, foi sugerido o uso do símbolo e para tais aviões. Os símbolos para cinco grupos espaciais foram modificados:
Grupo espacial nº | 39 | 41 | 64 | 67 | 68 |
---|---|---|---|---|---|
Novo símbolo | Aem2 | Aea2 | Cmce | Cmme | Ccce |
Símbolo Antigo | Abm2 | Aba2 | Cmca | Cmma | Ccca |
Eixos de parafuso
Um eixo de parafuso é uma rotação em torno de um eixo, seguida por uma translação ao longo da direção do eixo. Eles são indicados por um número, n , para descrever o grau de rotação, onde o número é quantas operações devem ser aplicadas para completar uma rotação completa (por exemplo, 3 significaria uma rotação de um terço do caminho em torno do eixo a cada vez) . O grau de translação é então adicionado como um subscrito mostrando a que distância ao longo do eixo a translação está, como uma parte do vetor de rede paralela. Portanto, 2 1 é uma rotação dupla seguida por uma translação de 1/2 do vetor de rede.
Fórmula geral
A fórmula geral para a ação de um elemento de um grupo espacial é
- Y = H . x + D
onde M é sua matriz, D é seu vetor, e onde o elemento transforma o ponto x no ponto y . Em geral, D = D ( rede ) + D ( M ), onde D ( M ) é uma função única de M que é zero para M sendo a identidade. As matrizes M formam um grupo de pontos que é a base do grupo espacial; a rede deve ser simétrica nesse grupo de pontos, mas a própria estrutura cristalina pode não ser simétrica nesse grupo de pontos quando aplicada a qualquer ponto particular (isto é, sem uma translação). Por exemplo, a estrutura cúbica do diamante não tem nenhum ponto onde o grupo de pontos cúbicos se aplica.
A dimensão da rede pode ser menor que a dimensão geral, resultando em um grupo espacial "subperiódico". Para (dimensão geral, dimensão de rede):
- (1,1): Grupos de linhas unidimensionais
- (2,1): Grupos de linhas bidimensionais : grupos de frisos
- (2,2): Grupos de papel de parede
- (3,1): Grupos de linhas tridimensionais ; com os grupos de pontos cristalográficos 3D, os grupos de bastonetes
- (3,2): grupos de camadas
- (3,3): Os grupos espaciais discutidos neste artigo
Notação
Existem pelo menos dez métodos de nomeação de grupos de espaços. Alguns desses métodos podem atribuir vários nomes diferentes ao mesmo grupo espacial, portanto, ao todo, existem muitos milhares de nomes diferentes.
- Número
- A União Internacional de Cristalografia publica tabelas de todos os tipos de grupos espaciais e atribui a cada um um número exclusivo de 1 a 230. A numeração é arbitrária, exceto que grupos com o mesmo sistema de cristal ou grupo de pontos recebem números consecutivos.
As direções de visão dos 7 sistemas de cristal são mostradas a seguir.
Posição no símbolo | Triclínico | Monoclínico | Ortorrômbico | Tetragonal | Trigonal | Hexagonal | Cúbico |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | - | b | uma | c | c | c | uma |
2 | - | b | uma | uma | uma | [111] | |
3 | - | c | [110] | [210] | [210] | [110] |
- Notação Hall
- Notação de grupo de espaço com origem explícita. Os símbolos de rotação, translação e direção do eixo são claramente separados e os centros de inversão são explicitamente definidos. A construção e o formato da notação a tornam particularmente adequada para a geração de informações de simetria por computador. Por exemplo, o grupo número 3 tem três símbolos Hall: P 2y (P 1 2 1), P 2 (P 1 1 2), P 2x (P 2 1 1).
- Notação Schönflies
- Os grupos espaciais com determinado grupo de pontos são numerados por 1, 2, 3, ... (na mesma ordem de seu número internacional) e esse número é adicionado como um sobrescrito ao símbolo de Schönflies para o grupo de pontos. Por exemplo, os grupos de números 3 a 5 cujo grupo de pontos é C 2 têm símbolos de Schönflies C1
2, C2
2, C3
2.
- Notação de Coxeter
- Grupos de simetria espacial e pontual, representados como modificações dos grupos de Coxeter refletivos puros .
- Notação geométrica
- Uma notação de álgebra geométrica .
Sistemas de classificação
Existem (pelo menos) 10 maneiras diferentes de classificar grupos espaciais em classes. As relações entre alguns deles são descritas na tabela a seguir. Cada sistema de classificação é um refinamento dos que estão abaixo dele. Para entender uma explicação dada aqui, pode ser necessário entender a próxima.
(Cristalográfico) tipos de grupos espaciais (230 em três dimensões) | |
---|---|
Dois grupos espaciais, considerados subgrupos do grupo de transformações afins do espaço, têm o mesmo tipo de grupo espacial se forem iguais até uma transformação afim do espaço que preserva a orientação . Assim, por exemplo, uma mudança de ângulo entre os vetores de translação não afeta o tipo de grupo de espaço se não adicionar ou remover qualquer simetria. Uma definição mais formal envolve conjugação (consulte o grupo Simetria ). Em três dimensões, para 11 dos grupos de espaço afim, não há mapa de preservação da quiralidade (ou seja, preservação da orientação) do grupo para sua imagem no espelho, então, se alguém distingue os grupos de suas imagens no espelho, cada um se divide em dois casos (tal como P4 1 e P4 3 ). Portanto, em vez dos 54 grupos espaciais afins que preservam a quiralidade, existem 54 + 11 = 65 tipos de grupos espaciais que preservam a quiralidade (os grupos Sohncke ). Para a maioria dos cristais quirais, os dois enantiomorfos pertencem ao mesmo grupo espacial cristalográfico, como P2 1 3 para FeSi , mas para outros, como quartzo , eles pertencem a dois grupos espaciais enantiomórficos. | |
Tipos de grupos de espaço afim (219 em três dimensões) | |
Dois grupos espaciais, considerados subgrupos do grupo de transformações afins do espaço, têm o mesmo tipo de grupo espacial afim se forem iguais até uma transformação afim, mesmo que esta inverta a orientação. O tipo de grupo de espaço afim é determinado pelo grupo abstrato subjacente do grupo de espaço. Em três dimensões, Cinquenta e quatro dos tipos de grupos de espaço afim preservam a quiralidade e fornecem cristais quirais. Os dois enantiomorfos de um cristal quiral têm o mesmo grupo de espaço afim. | |
Classes de cristal aritmético (73 em três dimensões) | |
Às vezes chamado de Z-classes. Estes são determinados pelo grupo de pontos junto com a ação do grupo de pontos no subgrupo de traduções. Em outras palavras, as classes de cristais aritméticos correspondem às classes de conjugação do subgrupo finito do grupo linear geral GL n ( Z ) sobre os inteiros. Um grupo espacial é denominado simórfico (ou dividido ) se houver um ponto tal que todas as simetrias são o produto de uma simetria que fixa esse ponto e uma translação. De forma equivalente, um grupo espacial é simórfico se for um produto semidireto de seu grupo de pontos com seu subgrupo de translação. Existem 73 grupos espaciais simórficos, com exatamente um em cada classe de cristal aritmético. Existem também 157 tipos de grupos espaciais não simórficos com números variados nas classes de cristal aritmético.
As classes aritméticas de cristal podem ser interpretadas como diferentes orientações dos grupos de pontos na rede, com os componentes da matriz dos elementos do grupo sendo restritos a ter coeficientes inteiros no espaço da rede. Isso é bastante fácil de imaginar no caso de grupo de papel de parede bidimensional . Alguns dos grupos de pontos têm reflexos e as linhas de reflexão podem estar ao longo das direções da rede, na metade do caminho entre eles ou em ambos.
|
|
(geométricas) Classes de cristal (32 em três dimensões) | Bandos de Bravais (14 em três dimensões) |
Às vezes chamado de Q-classes. A classe de cristal de um grupo espacial é determinada por seu grupo de pontos: o quociente pelo subgrupo de translações, atuando na rede. Dois grupos espaciais estão na mesma classe de cristal se e somente se seus grupos de pontos, que são subgrupos de GL n ( Z ), estão conjugados no grupo maior GL n ( Q ). | Estes são determinados pelo tipo de rede Bravais subjacente.
Estes correspondem às classes de conjugação de grupos de pontos da rede em GL n ( Z ), onde o grupo de pontos da rede é o grupo de simetrias da rede subjacente que fixam um ponto da rede e contém o grupo de pontos. |
Sistemas de cristal (7 em três dimensões) | Sistemas reticulados (7 em três dimensões) |
Os sistemas de cristal são uma modificação ad hoc dos sistemas de rede para torná-los compatíveis com a classificação por grupos de pontos. Eles diferem das famílias de cristais porque a família de cristais hexagonais é dividida em dois subconjuntos, chamados sistemas de cristal trigonal e hexagonal. O sistema de cristal trigonal é maior do que o sistema de rede romboédrica, o sistema de cristal hexagonal é menor do que o sistema de rede hexagonal e os sistemas de cristal e sistemas de rede restantes são os mesmos. | O sistema de rede de um grupo espacial é determinado pela classe de conjugação do grupo de pontos da rede (um subgrupo de GL n ( Z )) no grupo maior GL n ( Q ). Em três dimensões, o grupo de pontos de rede pode ter uma das 7 ordens diferentes 2, 4, 8, 12, 16, 24 ou 48. A família de cristais hexagonais é dividida em dois subconjuntos, chamados de sistemas de rede romboédrica e hexagonal. |
Famílias de cristal (6 em três dimensões) | |
O grupo de pontos de um grupo espacial não determina exatamente seu sistema de rede, porque ocasionalmente dois grupos de espaço com o mesmo grupo de pontos podem estar em sistemas de rede diferentes. As famílias de cristal são formadas a partir de sistemas de rede pela fusão dos dois sistemas de rede sempre que isso acontece, de modo que a família de cristal de um grupo espacial é determinada por seu sistema de rede ou por seu grupo de pontos. Em 3 dimensões, as únicas duas famílias de rede que se fundem dessa maneira são os sistemas de rede hexagonal e romboédrico, que são combinados na família de cristal hexagonal. As 6 famílias de cristais em 3 dimensões são chamadas triclínicas, monoclínicas, ortorrômbicas, tetragonais, hexagonais e cúbicas. As famílias de cristal são comumente usadas em livros populares sobre cristais, onde às vezes são chamados de sistemas de cristal. |
Conway , Delgado Friedrichs e Huson et al. ( 2001 ) deu outra classificação dos grupos espaciais, chamada de notação de fibrifold , de acordo com as estruturas de fibrifold no orbifold correspondente . Eles dividiram os 219 grupos espaciais afins em grupos redutíveis e irredutíveis. Os grupos redutíveis se enquadram em 17 classes correspondentes aos 17 grupos de papel de parede , e os 35 grupos irredutíveis restantes são os mesmos que os grupos cúbicos e são classificados separadamente.
Em outras dimensões
Teoremas de Bieberbach
Em n dimensões, um grupo de espaço afim, ou grupo de Bieberbach, é um subgrupo discreto de isometrias do espaço euclidiano n- dimensional com um domínio fundamental compacto. Bieberbach ( 1911 , 1912 ) provou que o subgrupo de traduções de qualquer grupo contém n traduções linearmente independentes e é um subgrupo abeliano livre de índice finito, e também é o único subgrupo abeliano normal máximo. Ele também mostrou que em qualquer dimensão n há apenas um número finito de possibilidades para a classe de isomorfismo do grupo subjacente de um grupo espacial e, além disso, a ação do grupo no espaço euclidiano é única até a conjugação por transformações afins. Isso responde a parte do décimo oitavo problema de Hilbert . Zassenhaus (1948) mostrou que, inversamente, qualquer grupo que seja a extensão de Z n por um grupo finito agindo fielmente é um grupo espacial afim . A combinação desses resultados mostra que classificar grupos espaciais em n dimensões até a conjugação por transformações afins é essencialmente o mesmo que classificar classes de isomorfismo para grupos que são extensões de Z n por um grupo finito agindo fielmente.
É essencial nos teoremas de Bieberbach assumir que o grupo atua como isometrias; os teoremas não generalizam para grupos co-compactos discretos de transformações afins do espaço euclidiano. Um contra-exemplo é dado pelo grupo de Heisenberg tridimensional dos inteiros agindo por translações no grupo de Heisenberg dos reais, identificado com o espaço euclidiano tridimensional. Este é um grupo cocompact discreta de transformações afins de espaço, mas não contém um subgrupo Z 3 .
Classificação em pequenas dimensões
Esta tabela fornece o número de tipos de grupos espaciais em pequenas dimensões, incluindo os números de várias classes de grupos espaciais. Os números de pares enantiomórficos são dados entre parênteses.
Dimensões | Famílias de cristal, sequência OEIS A004032 | Sistemas de cristal, sequência OEIS A004031 | Rede de Bravais, sequência OEIS A256413 | Grupos de pontos cristalográficos abstratos, sequência OEIS A006226 | Classes de cristais geométricos, classes Q, grupos de pontos cristalográficos, sequência OEIS A004028 | Classes de cristal aritmético, classes Z, sequência OEIS A004027 | Tipos de grupos de espaço afim, sequência OEIS A004029 | Tipos de grupos espaciais cristalográficos, sequência OEIS A006227 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
2 | 4 | 4 | 5 | 9 | 10 | 13 | 17 | 17 |
3 | 6 | 7 | 14 | 18 | 32 | 73 | 219 (+11) | 230 |
4 | 23 (+6) | 33 (+7) | 64 (+10) | 118 | 227 (+44) | 710 (+70) | 4783 (+111) | 4894 |
5 | 32 | 59 | 189 | 239 | 955 | 6079 | 222018 (+79) | 222097 |
6 | 91 | 251 | 841 | 1594 | 7103 | 85308 (+?) | 28927915 (+?) | ? |
Grupos magnéticos e reversão do tempo
Além dos grupos espaciais cristalográficos, há também grupos espaciais magnéticos (também chamados de grupos cristalográficos de duas cores (preto e branco) ou grupos de Shubnikov). Essas simetrias contêm um elemento conhecido como reversão do tempo. Eles tratam o tempo como uma dimensão adicional, e os elementos do grupo podem incluir a reversão do tempo como um reflexo nele. Eles são importantes em estruturas magnéticas que contêm spins ordenados não emparelhados, ou seja , estruturas ferro- , ferri- ou antiferromagnéticas estudadas por difração de nêutrons . O elemento de reversão do tempo gira um giro magnético, deixando todas as outras estruturas iguais e pode ser combinado com uma série de outros elementos de simetria. Incluindo a reversão do tempo, existem 1651 grupos espaciais magnéticos em 3D ( Kim 1999 , p.428). Também foi possível construir versões magnéticas para outras dimensões globais e de rede (artigos de Daniel Litvin , ( Litvin 2008 ), ( Litvin 2005 )). Os grupos de frisos são grupos de linhas 1D magnéticas e os grupos de camadas são grupos de papel de parede magnético e os grupos de pontos 3D axiais são grupos de pontos 2D magnéticos. Número de grupos originais e magnéticos por dimensão (geral, rede) :( Palistrant 2012 ) ( Souvignier 2006 )
Dimensão geral |
Dimensão da treliça |
Grupos ordinários | Grupos magnéticos | |||
---|---|---|---|---|---|---|
Nome | Símbolo | Contar | Símbolo | Contar | ||
0 | 0 | Grupo de simetria zero-dimensional | 1 | 2 | ||
1 | 0 | Grupos de pontos unidimensionais | 2 | 5 | ||
1 | Grupos de simetria discreta unidimensional | 2 | 7 | |||
2 | 0 | Grupos de pontos bidimensionais | 10 | 31 | ||
1 | Grupos de frisos | 7 | 31 | |||
2 | Grupos de papel de parede | 17 | 80 | |||
3 | 0 | Grupos de pontos tridimensionais | 32 | 122 | ||
1 | Grupos de bastão | 75 | 394 | |||
2 | Grupos de camadas | 80 | 528 | |||
3 | Grupos espaciais tridimensionais | 230 | 1651 | |||
4 | 0 | Grupos de pontos quadridimensionais | 271 | 1202 | ||
1 | 343 | |||||
2 | 1091 | |||||
3 | 1594 | |||||
4 | Grupos de simetria discreta quadridimensional | 4894 | 62227 |
Tabela de grupos de espaço em 2 dimensões (grupos de papel de parede)
Tabela dos grupos de papel de parede usando a classificação dos grupos espaciais tridimensionais:
Sistema cristalino , rede Bravais |
Classe geométrica, grupo de pontos | Aula de aritmética |
Grupos de papel de parede (diagrama de célula) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Schön. | Orbifold | Cox. | Ord. | ||||||
Oblíquo |
C 1 | (1) | [] + | 1 | Nenhum | p1 (1) |
|||
C 2 | (22) | [2] + | 2 | Nenhum | p2 (2222) |
||||
Retangular |
D 1 | (*) | [] | 2 | Ao longo | pm (**) |
pg (× concepts) |
||
D 2 | (* 22) | [2] | 4 | Ao longo | pmm (* 2222) |
pmg (22 *) |
|||
Retangular centrado |
D 1 | (*) | [] | 2 | Entre | cm (* ×) |
|||
D 2 | (* 22) | [2] | 4 | Entre | cmm (2 * 22) |
pgg (22 ×) |
|||
Quadrado |
C 4 | (44) | [4] + | 4 | Nenhum | p4 (442) |
|||
D 4 | (* 44) | [4] | 8 | Ambos | p4m (* 442) |
p4g (4 * 2) |
|||
Hexagonal |
C 3 | (33) | [3] + | 3 | Nenhum | p3 (333) |
|||
D 3 | (* 33) | [3] | 6 | Entre | p3m1 (* 333) |
p31m (3 * 3) |
|||
C 6 | (66) | [6] + | 6 | Nenhum | p6 (632) |
||||
D 6 | (* 66) | [6] | 12 | Ambos | p6m (* 632) |
Para cada classe geométrica, as classes aritméticas possíveis são
- Nenhum: sem linhas de reflexão
- Ao longo: linhas de reflexão ao longo das direções da rede
- Entre: linhas de reflexão a meio caminho entre as direções da rede
- Ambos: linhas de reflexão ao longo e entre as direções da rede
Tabela de grupos espaciais em 3 dimensões
# |
Sistema cristalino , (contagem), rede de Bravais |
Grupo de pontos | Grupos espaciais (símbolo internacional curto) | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Internacional | Schön. | Orbifold | Cox. | Ord. | |||
1 |
Triclínico (2) |
1 | C 1 | 11 | [] + | 1 | P1 |
2 | 1 | C i | 1 × | [2 + , 2 + ] | 2 | P 1 | |
3-5 |
Monoclínico (13) |
2 | C 2 | 22 | [2] + | 2 | P2, P2 1 C2 |
6-9 | m | C s | * 11 | [] | 2 | Pm, Pc Cm, Cc |
|
10-15 | 2 / m | C 2h | 2 * | [2,2 + ] | 4 | P2 / m, P2 1 / m C2 / m, P2 / c, P2 1 / c C2 / c |
|
16–24 |
Ortorrômbico (59) |
222 | D 2 | 222 | [2,2] + | 4 | P222, P222 1 , P2 1 2 1 2, P2 1 2 1 2 1 , C222 1 , C222, F222, I222, I2 1 2 1 2 1 |
25–46 | mm2 | C 2v | * 22 | [2] | 4 | Pmm2, Pmc2 1 , Pcc2, Pma2, Pca2 1 , Pnc2, Pmn2 1 , Pba2, Pna2 1 , Pnn2 Cmm2, Cmc2 1 , Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2 Fmm2, Fdd2 Imm2, Iba2, Ima2 |
|
47-74 | mmm | D 2h | * 222 | [2,2] | 8 | Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnmacm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce Fmmm, IbcM , Ibmd , Imma |
|
75-80 |
Tetragonal (68) |
4 | C 4 | 44 | [4] + | 4 | P4, P4 1 , P4 2 , P4 3 , I4, I4 1 |
81-82 | 4 | S 4 | 2 × | [2 + , 4 + ] | 4 | P 4 , I 4 | |
83-88 | 4 / m | C 4h | 4 * | [2,4 + ] | 8 | P4 / m, P4 2 / m, P4 / n, P4 2 / n I4 / m, I4 1 / a |
|
89-98 | 422 | D 4 | 224 | [2,4] + | 8 | P422, P42 1 2, P4 1 22, P4 1 2 1 2, P4 2 22, P4 2 2 1 2, P4 3 22, P4 3 2 1 2 I422, I4 1 22 |
|
99-110 | 4mm | C 4v | * 44 | [4] | 8 | P4mm, P4bm, P4 2 cm, P4 2 nm, P4cc, P4nc, P4 2 mc, P4 2 bc I4mm, I4cm, I4 1 md, I4 1 cd |
|
111-122 | 4 2m | D 2d | 2 * 2 | [2 + , 4] | 8 | P 4 2m, P 4 2c, P 4 2 1 m, P 4 2 1 c, P 4 m2, P 4 c2, P 4 b2, P 4 n2 I 4 m2, I 4 c2, I 4 2m, I 4 2d |
|
123-142 | 4 / mmm | D 4h | * 224 | [2,4] | 16 | P4 / mmm, P4 / mcc, P4 / nbm, P4 / nnc, P4 / mbm, P4 / mnc, P4 / nmm, P4 / ncc, P4 2 / mmc, P4 2 / mcm, P4 2 / nbc, P4 2 / nnm, P4 2 / mbc, P4 2 / mnm, P4 2 / nmc, P4 2 / ncm I4 / mmm, I4 / mcm, I4 1 / amd, I4 1 / acd |
|
143-146 |
Trigonal (25) |
3 | C 3 | 33 | [3] + | 3 | P3, P3 1 , P3 2 R3 |
147-148 | 3 | S 6 | 3 × | [2 + , 6 + ] | 6 | P 3 , R 3 | |
149-155 | 32 | D 3 | 223 | [2,3] + | 6 | P312, P321, P3 1 12, P3 1 21, P3 2 12, P3 2 21 R32 |
|
156-161 | 3m | C 3v | * 33 | [3] | 6 | P3m1, P31m, P3c1, P31c R3m, R3c |
|
162-167 | 3 m | D 3d | 2 * 3 | [2 + , 6] | 12 | P 3 1m, P 3 1c, P 3 m1, P 3 c1 R 3 m, R 3 c |
|
168-173 |
Hexagonal (27) |
6 | C 6 | 66 | [6] + | 6 | P6, P6 1 , P6 5 , P6 2 , P6 4 , P6 3 |
174 | 6 | C 3h | 3 * | [2,3 + ] | 6 | P 6 | |
175-176 | 6 / m | C 6h | 6 * | [2,6 + ] | 12 | P6 / m, P6 3 / m | |
177-182 | 622 | D 6 | 226 | [2,6] + | 12 | P622, P6 1 22, P6 5 22, P6 2 22, P6 4 22, P6 3 22 | |
183-186 | 6mm | C 6v | * 66 | [6] | 12 | P6mm, P6cc, P6 3 cm, P6 3 mc | |
187-190 | 6 m2 | D 3h | * 223 | [2,3] | 12 | P 6 m2, P 6 c2, P 6 2m, P 6 2c | |
191-194 | 6 / mmm | D 6h | * 226 | [2,6] | 24 | P6 / mmm, P6 / mcc, P6 3 / mcm, P6 3 / mmc | |
195-199 |
Cúbico (36) |
23 | T | 332 | [3,3] + | 12 | P23, F23, I23 P2 1 3, I2 1 3 |
200–206 | m 3 | T h | 3 * 2 | [3 + , 4] | 24 | Pm 3 , Pn 3 , Fm 3 , Fd 3 , Im 3 , Pa 3 , Ia 3 | |
207-214 | 432 | O | 432 | [3,4] + | 24 | P432, P4 2 32 F432, F4 1 32 I432 P4 3 32, P4 1 32, I4 1 32 |
|
215-220 | 4 3m | T d | * 332 | [3,3] | 24 | P 4 3m, F 4 3m, I 4 3m P 4 3n, F 4 3c, I 4 3d |
|
221-230 | m 3 m | O h | * 432 | [3,4] | 48 | Pm 3 m, Pn 3 n, Pm 3 n, Pn 3 m Fm 3 m, Fm 3 c, Fd 3 m, Fd 3 c Im 3 m, Ia 3 d |
Nota: um plano e é um plano de deslizamento duplo, um que desliza em duas direções diferentes. Eles são encontrados em sete grupos espaciais ortorrômbicos, cinco tetragonais e cinco cúbicos, todos com estrutura centrada. O uso do símbolo e tornou-se oficial com Hahn (2002) .
O sistema de rede pode ser encontrado da seguinte forma. Se o sistema de cristal não for trigonal, o sistema de rede será do mesmo tipo. Se o sistema cristalino for trigonal, então o sistema de rede é hexagonal, a menos que o grupo espacial seja um dos sete no sistema de rede romboédrica consistindo nos 7 grupos de espaço trigonal na tabela acima, cujo nome começa com R. (O termo sistema romboédrico é também às vezes usado como um nome alternativo para todo o sistema trigonal.) O sistema de rede hexagonal é maior do que o sistema de cristal hexagonal e consiste no sistema de cristal hexagonal junto com os 18 grupos do sistema de cristal trigonal diferente dos sete cujos nomes começam com R.
A rede Bravais do grupo espacial é determinada pelo sistema de rede junto com a letra inicial de seu nome, que para os grupos não romboédricos é P, I, F, A ou C, representando o principal, corpo centrado, face centrada , Reticulados centrados na face A ou centrados na face C. Existem sete grupos espaciais romboédricos, com a letra inicial R.
Derivação da classe de cristal do grupo espacial
- Deixar de lado o tipo Bravais
- Converta todos os elementos de simetria com componentes translacionais em seus respectivos elementos de simetria sem simetria de translação (planos de deslizamento são convertidos em planos de espelho simples; eixos de parafuso são convertidos em eixos de rotação simples)
- Os eixos de rotação, eixos de rotoinversão e planos espelhados permanecem inalterados.
Referências
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links externos
- União Internacional de Cristalografia
- Grupos de pontos e treliças Bravais
- [1] Servidor Cristalográfico de Bilbao
- Informações do grupo de espaço (antigo)
- Informações do Grupo do Espaço (novo)
- Estruturas de rede de cristal: índice por grupo de espaço
- Lista completa de 230 grupos espaciais cristalográficos
- Visualização 3D interativa de todos os 230 grupos espaciais cristalográficos
- Huson, Daniel H. (1999), The Fibrifold Notation and Classification for 3D Space Groups (PDF)
- O Centro de Geometria: 2.1 Fórmulas para simetrias em coordenadas cartesianas (duas dimensões)
- O Centro de Geometria: 10.1 Fórmulas para simetrias em coordenadas cartesianas (três dimensões)