Espaço-tempo -Spacetime

Na física , o espaço -tempo é um modelo matemático que combina as três dimensões do espaço e uma dimensão do tempo em uma única variedade quadridimensional . Diagramas de espaço-tempo podem ser usados ​​para visualizar efeitos relativísticos , como por que diferentes observadores percebem de maneira diferente onde e quando os eventos ocorrem.

Até o século 20, supunha-se que a geometria tridimensional do universo (sua expressão espacial em termos de coordenadas, distâncias e direções) era independente do tempo unidimensional. O físico Albert Einstein ajudou a desenvolver a idéia de espaço-tempo como parte de sua teoria da relatividade . Antes de seu trabalho pioneiro, os cientistas tinham duas teorias separadas para explicar os fenômenos físicos: as leis da física de Isaac Newton descreviam o movimento de objetos massivos, enquanto os modelos eletromagnéticos de James Clerk Maxwell explicavam as propriedades da luz. No entanto, em 1905, Einstein baseou um trabalho sobre a relatividade especial em dois postulados:

A consequência lógica de reunir esses postulados é a união inseparável das quatro dimensões - até então assumidas como independentes - de espaço e tempo. Surgem muitas consequências contra-intuitivas: além de ser independente do movimento da fonte de luz, a velocidade da luz é constante independente do referencial em que é medida; as distâncias e até mesmo a ordenação temporal dos pares de eventos mudam quando medidos em diferentes referenciais inerciais (esta é a relatividade da simultaneidade ); e a aditividade linear de velocidades não é mais verdadeira.

Einstein formulou sua teoria em termos de cinemática (o estudo dos corpos em movimento). Sua teoria foi um avanço sobre a teoria dos fenômenos eletromagnéticos de Lorentz de 1904 e a teoria eletrodinâmica de Poincaré . Embora essas teorias incluíssem equações idênticas às que Einstein introduziu (ou seja, a transformação de Lorentz ), elas eram essencialmente modelos ad hoc propostos para explicar os resultados de vários experimentos - incluindo o famoso experimento do interferômetro de Michelson-Morley - que eram extremamente difíceis de encaixar . paradigmas existentes.

Em 1908, Hermann Minkowski — uma vez um dos professores de matemática de um jovem Einstein em Zurique — apresentou uma interpretação geométrica da relatividade especial que fundia o tempo e as três dimensões espaciais do espaço em um único continuum quadridimensional agora conhecido como espaço Minkowski . Uma característica chave desta interpretação é a definição formal do intervalo espaço-tempo. Embora as medições de distância e tempo entre eventos sejam diferentes para medições feitas em diferentes referenciais, o intervalo espaço-tempo é independente do referencial inercial no qual elas são registradas.

A interpretação geométrica da relatividade de Minkowski provou ser vital para o desenvolvimento de Einstein de sua teoria geral da relatividade de 1915 , na qual ele mostrou como massa e energia curvam o espaço-tempo plano em uma variedade pseudo-Riemanniana .

Introdução

Definições

A mecânica clássica não relativista trata o tempo como uma quantidade universal de medida que é uniforme em todo o espaço e separada do espaço. A mecânica clássica assume que o tempo tem uma taxa de passagem constante, independente do estado de movimento do observador , ou qualquer coisa externa. Além disso, assume que o espaço é euclidiano ; assume que o espaço segue a geometria do senso comum.

No contexto da relatividade especial , o tempo não pode ser separado das três dimensões do espaço, porque a taxa observada na qual o tempo passa para um objeto depende da velocidade do objeto em relação ao observador. A relatividade geral também fornece uma explicação de como os campos gravitacionais podem retardar a passagem do tempo para um objeto visto por um observador fora do campo.

No espaço comum, uma posição é especificada por três números, conhecidos como dimensões . No sistema de coordenadas cartesianas , elas são chamadas de x, y e z. Uma posição no espaço-tempo é chamada de evento e requer quatro números para serem especificados: a localização tridimensional no espaço, mais a posição no tempo (Fig. 1). Um evento é representado por um conjunto de coordenadas x , y , z e t . O espaço-tempo é, portanto, quadridimensional . Eventos matemáticos têm duração zero e representam um único ponto no espaço-tempo.

O caminho de uma partícula através do espaço-tempo pode ser considerado uma sucessão de eventos. A série de eventos pode ser ligada para formar uma linha que representa o progresso de uma partícula através do espaço-tempo. Essa linha é chamada de linha do mundo da partícula .

Matematicamente, o espaço-tempo é múltiplo , ou seja, aparece localmente "plano" perto de cada ponto da mesma forma que, em escalas suficientemente pequenas, um globo parece plano. Um fator de escala (convencionalmente chamado de velocidade da luz ) relaciona distâncias medidas no espaço com distâncias medidas no tempo. A magnitude desse fator de escala (cerca de 300.000 quilômetros ou 190.000 milhas no espaço equivalendo a um segundo no tempo), juntamente com o fato de que o espaço-tempo é múltiplo, implica que em velocidades comuns, não relativísticas e em escala humana comum distâncias, há pouco que os humanos possam observar que seja visivelmente diferente do que eles observariam se o mundo fosse euclidiano. Foi somente com o advento de medidas científicas sensíveis em meados de 1800, como o experimento de Fizeau e o experimento de Michelson-Morley , que discrepâncias intrigantes começaram a ser observadas entre observação versus previsões baseadas na suposição implícita do espaço euclidiano.

Figura 1-1. Cada localização no espaço-tempo é marcada por quatro números definidos por um quadro de referência : a posição no espaço e o tempo (que pode ser visualizado como a leitura de um relógio localizado em cada posição no espaço). O 'observador' sincroniza os relógios de acordo com seu próprio quadro de referência.

Na relatividade especial, um observador, na maioria dos casos, significa um quadro de referência a partir do qual um conjunto de objetos ou eventos está sendo medido. Esse uso difere significativamente do significado comum em inglês do termo. Os quadros de referência são construções inerentemente não-locais e, de acordo com esse uso do termo, não faz sentido falar de um observador como tendo uma localização. Na Fig. 1-1, imagine que o quadro em questão esteja equipado com uma densa rede de relógios, sincronizados dentro desse quadro de referência, que se estende indefinidamente pelas três dimensões do espaço. Qualquer local específico dentro da rede não é importante. A treliça dos relógios é usada para determinar o tempo e a posição dos eventos que ocorrem dentro de todo o quadro. O termo observador refere-se a todo o conjunto de relógios associados a um referencial inercial. Neste caso idealizado, cada ponto no espaço tem um relógio associado a ele, e assim os relógios registram cada evento instantaneamente, sem atraso de tempo entre um evento e sua gravação. Um observador real, no entanto, verá um atraso entre a emissão de um sinal e sua detecção devido à velocidade da luz. Para sincronizar os relógios, na redução de dados após um experimento, o tempo em que um sinal é recebido será corrigido para refletir seu tempo real, caso tenha sido registrado por uma rede idealizada de relógios.

Em muitos livros sobre relatividade especial, especialmente os mais antigos, a palavra "observador" é usada no sentido mais comum da palavra. Geralmente fica claro pelo contexto qual significado foi adotado.

Os físicos distinguem entre o que se mede ou observa (depois de fatorar os atrasos de propagação do sinal) e o que se vê visualmente sem essas correções. A falha em entender a diferença entre o que se mede/observa versus o que se vê é a fonte de muitos erros entre os estudantes iniciantes de relatividade.

História

Figura 1-2. Michelson e Morley esperavam que o movimento através do éter causaria uma mudança de fase diferencial entre a luz que atravessa os dois braços de seu aparelho. A explicação mais lógica de seu resultado negativo, arrastamento de éter, estava em conflito com a observação de aberração estelar.

Em meados do século XIX, vários experimentos, como a observação do ponto de Arago e medições diferenciais da velocidade da luz no ar versus água , foram considerados como provando a natureza ondulatória da luz em oposição a uma teoria corpuscular . Assumiu-se então que a propagação de ondas requeria a existência de um meio ondulado ; no caso de ondas de luz, este foi considerado um éter luminífero hipotético . No entanto, as várias tentativas de estabelecer as propriedades desse meio hipotético produziram resultados contraditórios. Por exemplo, o experimento de Fizeau de 1851, conduzido pelo físico francês Hippolyte Fizeau , demonstrou que a velocidade da luz na água corrente era menor que a soma da velocidade da luz no ar mais a velocidade da água por uma quantidade dependente da velocidade da água. índice de refração. Entre outras questões, a dependência do arrasto parcial do éter implícito por este experimento no índice de refração (que depende do comprimento de onda) levou à conclusão intragável de que o éter flui simultaneamente em diferentes velocidades para diferentes cores de luz. O famoso experimento de Michelson-Morley de 1887 (Fig. 1-2) não mostrou nenhuma influência diferencial dos movimentos da Terra através do éter hipotético na velocidade da luz, e a explicação mais provável, arrastamento completo do éter, estava em conflito com a observação de estrelas estelares . aberração .

George Francis FitzGerald em 1889, e Hendrik Lorentz em 1892, propuseram independentemente que os corpos materiais que viajam através do éter fixo eram fisicamente afetados por sua passagem, contraindo-se na direção do movimento por uma quantidade que era exatamente o que era necessário para explicar os resultados negativos da o experimento de Michelson-Morley. (Nenhuma mudança de comprimento ocorre em direções transversais à direção do movimento.)

Em 1904, Lorentz havia expandido sua teoria de tal forma que havia chegado a equações formalmente idênticas àquelas que Einstein derivaria mais tarde (ou seja, a transformação de Lorentz ), mas com uma interpretação fundamentalmente diferente. Como uma teoria da dinâmica (o estudo de forças e torques e seus efeitos no movimento), sua teoria assumiu deformações físicas reais dos constituintes físicos da matéria. As equações de Lorentz previam uma quantidade que ele chamou de hora local , com a qual ele poderia explicar a aberração da luz , o experimento de Fizeau e outros fenômenos. No entanto, Lorentz considerava a hora local apenas uma ferramenta matemática auxiliar, um truque, por assim dizer, para simplificar a transformação de um sistema em outro.

Outros físicos e matemáticos na virada do século chegaram perto de chegar ao que hoje é conhecido como espaço-tempo. O próprio Einstein observou que, com tantas pessoas desvendando peças separadas do quebra-cabeça, "a teoria da relatividade especial, se considerarmos seu desenvolvimento em retrospecto, estava pronta para ser descoberta em 1905".

Hendrik Lorentz
Henri Poincaré
Albert Einstein
Hermann Minkowski
Figura 1-3.

Um exemplo importante é Henri Poincaré , que em 1898 argumentou que a simultaneidade de dois eventos é uma questão de convenção. Em 1900, ele reconheceu que a "hora local" de Lorentz é, na verdade, o que é indicado pelos relógios em movimento, aplicando uma definição explicitamente operacional de sincronização do relógio, assumindo a velocidade da luz constante. Em 1900 e 1904, ele sugeriu a indetectabilidade inerente do éter, enfatizando a validade do que ele chamou de princípio da relatividade , e em 1905/1906 ele aperfeiçoou matematicamente a teoria dos elétrons de Lorentz para trazê-la de acordo com o postulado da relatividade. . Ao discutir várias hipóteses sobre a gravitação invariante de Lorentz, ele introduziu o conceito inovador de um espaço-tempo de 4 dimensões definindo vários quatro vetores , ou seja, quatro posições , quatro velocidades e quatro forças . Ele não buscou o formalismo de 4 dimensões em artigos subsequentes, no entanto, afirmando que esta linha de pesquisa parecia "implicar grande dor para lucro limitado", concluindo em última análise "que a linguagem tridimensional parece a mais adequada para a descrição do nosso mundo ". Além disso, mesmo em 1909, Poincaré continuou a acreditar na interpretação dinâmica da transformada de Lorentz. Por essas e outras razões, a maioria dos historiadores da ciência argumenta que Poincaré não inventou o que hoje é chamado de relatividade especial.

Em 1905, Einstein introduziu a relatividade especial (mesmo sem usar as técnicas do formalismo do espaço-tempo) em sua compreensão moderna como uma teoria do espaço e do tempo. Embora seus resultados sejam matematicamente equivalentes aos de Lorentz e Poincaré, Einstein mostrou que as transformações de Lorentz não são o resultado de interações entre matéria e éter, mas dizem respeito à natureza do espaço e do próprio tempo. Ele obteve todos os seus resultados reconhecendo que toda a teoria pode ser construída sobre dois postulados: o princípio da relatividade e o princípio da constância da velocidade da luz.

Einstein realizou sua análise em termos de cinemática (o estudo de corpos em movimento sem referência a forças) em vez de dinâmica. Seu trabalho de introdução ao assunto estava repleto de imagens vívidas envolvendo a troca de sinais de luz entre relógios em movimento, medições cuidadosas dos comprimentos de hastes em movimento e outros exemplos.

Além disso, Einstein em 1905 substituiu tentativas anteriores de uma relação eletromagnética massa -energia, introduzindo a equivalência geral de massa e energia , que foi fundamental para sua formulação subsequente do princípio da equivalência em 1907, que declara a equivalência de massa inercial e gravitacional. Usando a equivalência massa-energia, Einstein mostrou, além disso, que a massa gravitacional de um corpo é proporcional ao seu conteúdo de energia, o que foi um dos primeiros resultados no desenvolvimento da relatividade geral . Embora pareça que a princípio ele não pensou geometricamente sobre o espaço-tempo, no desenvolvimento posterior da relatividade geral, Einstein incorporou totalmente o formalismo do espaço-tempo.

Quando Einstein publicou em 1905, outro de seus concorrentes, seu ex-professor de matemática Hermann Minkowski , também havia chegado à maioria dos elementos básicos da relatividade especial. Max Born relatou um encontro que fizera com Minkowski, buscando ser aluno/colaborador de Minkowski:

Fui a Colônia, conheci Minkowski e ouvi sua célebre palestra 'Espaço e Tempo' proferida em 2 de setembro de 1908. dos diferentes tempos locais dos observadores se movendo em relação uns aos outros; pois ele havia chegado às mesmas conclusões independentemente, mas não as publicou porque desejava primeiro elaborar a estrutura matemática em todo o seu esplendor. Ele nunca fez uma reivindicação de prioridade e sempre deu a Einstein sua participação plena na grande descoberta.

Minkowski estava preocupado com o estado da eletrodinâmica após os experimentos disruptivos de Michelson pelo menos desde o verão de 1905, quando Minkowski e David Hilbert lideraram um seminário avançado com a presença de físicos notáveis ​​da época para estudar os artigos de Lorentz, Poincaré et al. No entanto, não está claro quando Minkowski começou a formular a formulação geométrica da relatividade especial que levaria seu nome, ou até que ponto ele foi influenciado pela interpretação quadridimensional de Poincaré da transformação de Lorentz. Tampouco está claro se ele alguma vez apreciou plenamente a contribuição crítica de Einstein para a compreensão das transformações de Lorentz, pensando no trabalho de Einstein como sendo uma extensão do trabalho de Lorentz.

Figura 1–4. Transparência colorida à mão apresentada por Minkowski em sua palestra Raum und Zeit de 1908

Em 5 de novembro de 1907 (pouco mais de um ano antes de sua morte), Minkowski apresentou sua interpretação geométrica do espaço-tempo em uma palestra para a sociedade matemática de Göttingen com o título, The Relativity Principle ( Das Relativitätsprinzip ). Em 21 de setembro de 1908, Minkowski apresentou sua famosa palestra, Espaço e Tempo ( Raum und Zeit ), à Sociedade Alemã de Cientistas e Médicos. As palavras de abertura de Space and Time incluem a famosa declaração de Minkowski de que "daqui em diante, o espaço para si e o tempo para si se reduzirão completamente a uma mera sombra, e apenas algum tipo de união dos dois preservará a independência". Espaço e Tempo incluiu a primeira apresentação pública de diagramas de espaço-tempo (Fig. 1-4) e incluiu uma notável demonstração de que o conceito de intervalo invariante ( discutido abaixo ), juntamente com a observação empírica de que a velocidade da luz é finita, permite derivação da totalidade da relatividade especial.

O conceito de espaço-tempo e o grupo de Lorentz estão intimamente ligados a certos tipos de geometrias esféricas , hiperbólicas ou conformes e seus grupos de transformação já desenvolvidos no século XIX, nos quais são utilizados intervalos invariantes análogos ao intervalo espaço-tempo .

Einstein, por sua vez, foi inicialmente desdenhoso da interpretação geométrica de Minkowski da relatividade especial, considerando-a como überflüssige Gelehrsamkeit (aprendizagem supérflua). No entanto, para completar sua busca pela relatividade geral iniciada em 1907, a interpretação geométrica da relatividade se mostrou vital e, em 1916, Einstein reconheceu plenamente sua dívida com Minkowski, cuja interpretação facilitou muito a transição para a relatividade geral. Como existem outros tipos de espaço-tempo, como o espaço-tempo curvo da relatividade geral, o espaço-tempo da relatividade especial é hoje conhecido como espaço-tempo de Minkowski.

Espaço-tempo na relatividade especial

Intervalo de espaço-tempo

Em três dimensões, a distância entre dois pontos pode ser definida usando o teorema de Pitágoras :

Embora dois observadores possam medir a posição x , y e z dos dois pontos usando sistemas de coordenadas diferentes, a distância entre os pontos será a mesma para ambos (assumindo que eles estão medindo usando as mesmas unidades). A distância é "invariável".

Na relatividade especial, no entanto, a distância entre dois pontos não é mais a mesma se medida por dois observadores diferentes quando um dos observadores está em movimento, por causa da contração de Lorentz . A situação é ainda mais complicada se os dois pontos estiverem separados no tempo e no espaço. Por exemplo, se um observador vê dois eventos ocorrendo no mesmo lugar, mas em tempos diferentes, uma pessoa que se move em relação ao primeiro observador verá os dois eventos ocorrendo em lugares diferentes, porque (do seu ponto de vista) eles estão estacionários. , e a posição do evento está se afastando ou se aproximando. Assim, uma medida diferente deve ser usada para medir a "distância" efetiva entre dois eventos.

No espaço-tempo quadridimensional, o análogo à distância é o intervalo. Embora o tempo venha como uma quarta dimensão, ele é tratado de forma diferente das dimensões espaciais. O espaço de Minkowski, portanto, difere em aspectos importantes do espaço euclidiano de quatro dimensões . A razão fundamental para fundir espaço e tempo no espaço-tempo é que espaço e tempo não são invariantes separadamente, o que quer dizer que, sob condições adequadas, diferentes observadores discordarão sobre a duração de tempo entre dois eventos (por causa da dilatação do tempo ) ou a distância entre os dois eventos (por causa da contração do comprimento ). Mas a relatividade especial fornece um novo invariante, chamado intervalo espaço -tempo , que combina distâncias no espaço e no tempo. Todos os observadores que medem o tempo e a distância entre dois eventos quaisquer acabarão calculando o mesmo intervalo de espaço-tempo. Suponha que um observador meça dois eventos como separados no tempo por e por uma distância espacial .

ou para três dimensões espaciais,

A constante a velocidade da luz, converte unidades de tempo (como segundos) em unidades de espaço (como metros). O intervalo quadrado é uma medida de separação entre os eventos A e B que são separados no tempo e, além disso, separados no espaço porque existem dois objetos separados passando por eventos ou porque um único objeto no espaço está se movendo inercialmente entre seus eventos. O intervalo de separação é obtido pelo quadrado da distância espacial separando o evento B do evento A e subtraindo-o do quadrado da distância espacial percorrida por um sinal luminoso nesse mesmo intervalo de tempo . Se a separação do evento for devido a um sinal de luz, essa diferença desaparece e .

Quando o evento considerado é infinitesimalmente próximo um do outro, então podemos escrever

Em um referencial inercial diferente, digamos com coordenadas , o intervalo espaço-tempo pode ser escrito da mesma forma que acima. Por causa da constância da velocidade da luz, os eventos de luz em todos os referenciais inerciais pertencem ao intervalo zero, . Para qualquer outro evento infinitesimal onde , pode-se provar o que, por sua vez, na integração leva a . A invariância do intervalo de qualquer evento entre todos os referenciais interciais é um dos resultados fundamentais da teoria da relatividade especial.

Embora, por brevidade, frequentemente vejamos expressões intervalares expressas sem deltas, inclusive na maior parte da discussão a seguir, deve-se entender que, em geral, significa , etc. Estamos sempre preocupados com diferenças de valores de coordenadas espaciais ou temporais pertencentes a dois eventos, e como não há origem preferencial, valores de coordenadas únicas não têm significado essencial.

Figura 2–1. Diagrama de espaço-tempo ilustrando dois fótons, A e B, originados no mesmo evento, e um objeto de velocidade mais lenta que a da luz, C

A equação acima é semelhante ao teorema de Pitágoras, exceto com um sinal de menos entre os e os termos. O intervalo espaço-tempo é a quantidade e não ela mesma. A razão é que, ao contrário das distâncias na geometria euclidiana, os intervalos no espaço-tempo de Minkowski podem ser negativos. Em vez de lidar com raízes quadradas de números negativos, os físicos costumam considerar como um símbolo distinto em si mesmo, em vez do quadrado de algo.

Em geral pode assumir quaisquer valores do número real. Se for positivo, o intervalo espaço-tempo é referido como timelike . Como a distância espacial percorrida por qualquer objeto massivo é sempre menor que a distância percorrida pela luz no mesmo intervalo de tempo, os intervalos reais são sempre semelhantes ao tempo. Se for negativo, diz-se que o intervalo de espaço-tempo é spacelike , onde o intervalo de espaço-tempo é imaginário. Os intervalos de espaço-tempo são iguais a zero quando Em outras palavras, o intervalo de espaço-tempo entre dois eventos na linha do mundo de algo se movendo à velocidade da luz é zero. Tal intervalo é denominado lightlike ou nulo . Um fóton que chega ao nosso olho vindo de uma estrela distante não terá envelhecido, apesar de ter (do nosso ponto de vista) passado anos em sua passagem.

Um diagrama de espaço-tempo é tipicamente desenhado com apenas um único espaço e uma única coordenada de tempo. A Fig. 2-1 apresenta um diagrama de espaço-tempo que ilustra as linhas do mundo (isto é, caminhos no espaço-tempo) de dois fótons, A e B, originados do mesmo evento e indo em direções opostas. Além disso, C ilustra a linha do mundo de um objeto de velocidade mais lenta que a da luz. A coordenada de tempo vertical é dimensionada para que tenha as mesmas unidades (metros) que a coordenada de espaço horizontal. Como os fótons viajam na velocidade da luz, suas linhas de mundo têm uma inclinação de ± 1. Em outras palavras, cada metro que um fóton percorre para a esquerda ou para a direita requer aproximadamente 3,3 nanossegundos de tempo.

Existem duas convenções de sinais em uso na literatura da relatividade:

e

Essas convenções de sinais estão associadas às assinaturas métricas (+−−−) e (−+++). Uma pequena variação é colocar a coordenada de tempo por último em vez de primeiro. Ambas as convenções são amplamente utilizadas dentro do campo de estudo.

Quadros de referência

Figura 2-2. Diagrama galileano de dois quadros de referência na configuração padrão
Figura 2–3. (a) Diagrama de Galileu de dois quadros de referência em configuração padrão, (b) diagrama de espaço-tempo de dois quadros de referência, (c) diagrama de espaço-tempo mostrando o caminho de um pulso de luz refletido

Para obter uma visão de como as coordenadas de espaço-tempo medidas por observadores em diferentes referenciais se comparam, é útil trabalhar com uma configuração simplificada com quadros em uma configuração padrão. Com cuidado, isso permite simplificar a matemática sem perda de generalidade nas conclusões a que se chega. Na Fig. 2-2, dois quadros de referência Galileanos (ou seja, quadros de 3 espaços convencionais) são exibidos em movimento relativo. O quadro S pertence a um primeiro observador O, e o quadro S′ (pronuncia-se "S prime") pertence a um segundo observador O′.

  • Os eixos x , y , z do quadro S são orientados paralelamente aos respectivos eixos iniciados do quadro S'.
  • O referencial S' move-se na direção x do referencial S com uma velocidade constante v medida no referencial S.
  • As origens dos quadros S e S′ são coincidentes quando o tempo t = 0 para o quadro S e t ′ = 0 para o quadro S′.

A Fig. 2-3a redesenha a Fig. 2-2 em uma orientação diferente. A Fig. 2-3b ilustra um diagrama de espaço-tempo do ponto de vista do observador O. Como S e S' estão em configuração padrão, suas origens coincidem nos momentos t  = 0 no quadro S e t ' = 0 no quadro S'. O eixo ct ′ passa pelos eventos no referencial S′ que têm x ′ = 0. Mas os pontos com x ′ = 0 estão se movendo na direção x do referencial S com velocidade v , de modo que não coincidem com o ct eixo em qualquer momento diferente de zero. Portanto, o eixo ct ′ é inclinado em relação ao eixo ct por um ângulo θ dado por

O eixo x ′ também é inclinado em relação ao eixo x . Para determinar o ângulo dessa inclinação, lembramos que a inclinação da linha de mundo de um pulso de luz é sempre ±1. A Fig. 2-3c apresenta um diagrama de espaço-tempo do ponto de vista do observador O'. O evento P representa a emissão de um pulso de luz em x ′ = 0, ct ′ = − a . O pulso é refletido a partir de um espelho situado a uma distância a da fonte de luz (evento Q), e retorna à fonte de luz em x ′ = 0,  ct ′ =  a (evento R).

Os mesmos eventos P, Q, R são plotados na Fig. 2-3b no referencial do observador O. Os caminhos da luz têm inclinações = 1 e −1, de modo que △PQR forma um triângulo retângulo com PQ e QR ambos a 45 graus aos eixos x e ct . Como OP = OQ = OR, o ângulo entre x ′ e x também deve ser θ .

Enquanto o quadro de repouso tem eixos de espaço e tempo que se encontram em ângulos retos, o quadro em movimento é desenhado com eixos que se encontram em ângulo agudo. Os quadros são realmente equivalentes. A assimetria se deve a distorções inevitáveis ​​em como as coordenadas do espaço-tempo podem mapear em um plano cartesiano , e não deve ser considerada mais estranha do que a maneira pela qual, em uma projeção de Mercator da Terra, os tamanhos relativos das massas de terra próximas aos pólos (Gronelândia e Antártica) são altamente exageradas em relação às massas terrestres próximas ao Equador.

Cone de luz

Figura 2–4. O cone de luz centrado em um evento divide o resto do espaço-tempo no futuro, no passado e "em outro lugar"

Na Fig. 2-4, o evento O está na origem de um diagrama de espaço-tempo e as duas linhas diagonais representam todos os eventos que têm intervalo de espaço-tempo zero em relação ao evento de origem. Essas duas linhas formam o que é chamado de cone de luz do evento O, uma vez que a adição de uma segunda dimensão espacial (Fig. 2-5) faz a aparência de dois cones circulares retos encontrando seus ápices em O. Um cone se estende para o futuro (t>0), o outro para o passado (t<0).

Figura 2–5. Cone de luz no espaço 2D mais uma dimensão de tempo

Um cone de luz (duplo) divide o espaço-tempo em regiões separadas em relação ao seu ápice. O interior do futuro cone de luz consiste em todos os eventos que estão separados do ápice por mais tempo (distância temporal) do que o necessário para cruzar sua distância espacial na velocidade da luz; esses eventos compreendem o futuro temporal do evento O. Da mesma forma, o passado temporal compreende os eventos interiores do cone de luz passado. Assim, em intervalos de tempo Δ ct é maior que Δ x , tornando os intervalos de tempo positivos. A região exterior ao cone de luz consiste em eventos que estão separados do evento O por mais espaço do que pode ser atravessado à velocidade da luz no tempo dado . Esses eventos compreendem a chamada região espacial do evento O, denotada "Em outro lugar" na Fig. 2-4. Eventos no próprio cone de luz são ditos semelhantes à luz (ou separados por nulo ) de O. Por causa da invariância do intervalo de espaço-tempo, todos os observadores atribuirão o mesmo cone de luz a qualquer evento dado e, portanto, concordarão com essa divisão do espaço-tempo .

O cone de luz tem um papel essencial dentro do conceito de causalidade . É possível que um sinal não mais rápido que a velocidade da luz viaje da posição e tempo de O para a posição e tempo de D (Fig. 2-4). Portanto, é possível que o evento O tenha uma influência causal no evento D. O futuro cone de luz contém todos os eventos que podem ser causalmente influenciados por O. Da mesma forma, é possível que um sinal de velocidade não mais rápida que a da luz viajar da posição e tempo de A, para a posição e tempo de O. O cone de luz passado contém todos os eventos que podem ter uma influência causal em O. Em contraste, assumindo que os sinais não podem viajar mais rápido que a velocidade da luz, qualquer evento, como, por exemplo, B ou C, na região tipo espaço (em outro lugar), não pode afetar o evento O, nem podem ser afetados pelo evento O empregando tal sinalização. Sob esta suposição, qualquer relação causal entre o evento O e quaisquer eventos na região espacial de um cone de luz é excluída.

Relatividade de simultaneidade

Figura 2–6. Animação que ilustra a relatividade da simultaneidade

Todos os observadores concordarão que, para qualquer evento, um evento dentro do cone de luz futuro do evento ocorre após o evento. Da mesma forma, para qualquer evento, um evento dentro do cone de luz passado do evento ocorre antes do evento. A relação antes-depois observada para eventos separados no tempo permanece inalterada, não importa qual seja o referencial do observador, ou seja, não importa como o observador possa estar se movendo. A situação é bem diferente para eventos separados por espaço. A Fig. 2-4 foi desenhada a partir do referencial de um observador movendo-se em v = 0. A partir desse referencial, o evento C ocorre após o evento O e o evento B ocorre antes do evento O. A partir de uma referência diferente frame, as ordenações desses eventos não-causais podem ser revertidas. Em particular, nota-se que se dois eventos são simultâneos em um determinado referencial, eles são necessariamente separados por um intervalo semelhante ao espaço e, portanto, são relacionados de forma não causal. A observação de que a simultaneidade não é absoluta, mas depende do referencial do observador, é denominada relatividade da simultaneidade .

A Fig. 2-6 ilustra o uso de diagramas de espaço-tempo na análise da relatividade da simultaneidade. Os eventos no espaço-tempo são invariáveis, mas os quadros de coordenadas se transformam conforme discutido acima para a Figura 2-3. Os três eventos (A, B, C) são simultâneos a partir do referencial de um observador se movendo em v = 0. A partir do referencial de um observador se movendo em v = 0,3 c , os eventos parecem ocorrer na ordem C, B , A. A partir do referencial de um observador se movendo em v = −0,5 c , os eventos parecem ocorrer na ordem A, B, C . A linha branca representa um plano de simultaneidade sendo movido do passado do observador para o futuro do observador, destacando os eventos que nele residem. A área cinza é o cone de luz do observador, que permanece invariável.

Um intervalo de espaço-tempo semelhante ao espaço fornece a mesma distância que um observador mediria se os eventos medidos fossem simultâneos ao observador. Um intervalo de espaço-tempo semelhante ao espaço fornece uma medida da distância adequada , ou seja, a distância verdadeira = Da mesma forma, um intervalo de espaço-tempo semelhante ao tempo fornece a mesma medida de tempo que seria apresentada pelo tique-taque cumulativo de um relógio que se move ao longo de uma determinada linha do mundo. Um intervalo de espaço-tempo semelhante ao tempo, portanto, fornece uma medida do tempo adequado =

Hipérbole invariável

Figura 2–7. (a) Famílias de hipérboles invariantes, (b) Hiperbolóides de duas folhas e uma folha

No espaço euclidiano (tendo apenas dimensões espaciais), o conjunto de pontos equidistantes (usando a métrica euclidiana) de algum ponto forma um círculo (em duas dimensões) ou uma esfera (em três dimensões). No espaço-tempo de Minkowski de dimensão (1+1) (tendo uma dimensão temporal e uma espacial), os pontos em algum intervalo de espaço-tempo constante longe da origem (usando a métrica de Minkowski) formam curvas dadas pelas duas equações

com alguma constante real positiva. Essas equações descrevem duas famílias de hipérboles em um diagrama de espaço -tempo xct , que são chamadas de hipérboles invariantes .

Na Fig. 2-7a, cada hipérbole magenta conecta todos os eventos com alguma separação espacial fixa da origem, enquanto as hipérboles verdes conectam eventos de separação temporal igual.

As hipérboles magenta, que cruzam o eixo x , são curvas do tipo tempo, o que quer dizer que essas hipérboles representam caminhos reais que podem ser percorridos por partículas (acelerando constantemente) no espaço-tempo: entre quaisquer dois eventos em uma hipérbole uma relação de causalidade é possível, porque o inverso da inclinação - representando a velocidade necessária - para todas as secantes é menor que . Por outro lado, as hipérboles verdes, que cruzam o eixo ct , são curvas tipo espaço porque todos os intervalos ao longo dessas hipérboles são intervalos tipo espaço: nenhuma causalidade é possível entre quaisquer dois pontos em uma dessas hipérboles, porque todas as secantes representam velocidades maiores que .

A Fig. 2-7b reflete a situação no espaço-tempo de Minkowski (1+2)-dimensional (uma dimensão temporal e duas dimensões espaciais) com os hiperbolóides correspondentes. As hipérboles invariantes deslocadas por intervalos tipo espaço a partir da origem geram hiperbolóides de uma folha, enquanto as hipérboles invariantes deslocadas por intervalos tipo tempo a partir da origem geram hiperbolóides de duas folhas.

O limite (1+2)-dimensional entre hiperbolóides tipo espaço e tempo, estabelecido pelos eventos que formam um intervalo de espaço-tempo zero até a origem, é formado pela degeneração dos hiperbolóides para o cone de luz. Nas dimensões (1+1), as hipérboles degeneram para as duas linhas cinzas de 45° representadas na Fig. 2-7a.

Dilatação do tempo e contração do comprimento

Figura 2–8. A hipérbole invariante compreende os pontos que podem ser alcançados a partir da origem em um tempo próprio fixo por relógios viajando em diferentes velocidades

A Fig. 2-8 ilustra a hipérbole invariante para todos os eventos que podem ser alcançados a partir da origem em um tempo adequado de 5 metros (aproximadamente1,67 × 10 −8  s ). Diferentes linhas do mundo representam relógios se movendo em diferentes velocidades. Um relógio que está parado em relação ao observador tem uma linha de mundo que é vertical, e o tempo decorrido medido pelo observador é o mesmo que o tempo próprio. Para um relógio viajando a 0,3  c , o tempo decorrido medido pelo observador é de 5,24 metros (1,75 × 10 −8  s ), enquanto para um relógio viajando a 0,7  c , o tempo decorrido medido pelo observador é de 7,00 metros (2,34 × 10 −8  s ). Isso ilustra o fenômeno conhecido como dilatação do tempo . Relógios que viajam mais rápido levam mais tempo (no quadro do observador) para marcar a mesma quantidade de tempo adequado e viajam mais ao longo do eixo x dentro desse tempo adequado do que teriam sem dilatação do tempo. A medição da dilatação do tempo por dois observadores em diferentes referenciais inerciais é mútua. Se o observador O mede os relógios do observador O' como lentos em seu quadro, o observador O', por sua vez, medirá os relógios do observador O como lentos.

Figura 2–9. Neste diagrama de espaço-tempo, o comprimento de 1 m da haste móvel, medido no quadro com primer, é a distância encurtada OC quando projetada no quadro sem primer.

A contração do comprimento , como a dilatação do tempo, é uma manifestação da relatividade da simultaneidade. A medição do comprimento requer a medição do intervalo de espaço-tempo entre dois eventos que são simultâneos em um referencial. Mas eventos que são simultâneos em um referencial, em geral, não são simultâneos em outros referenciais.

A Fig. 2-9 ilustra os movimentos de uma haste de 1 m que se desloca a 0,5  c ao longo do eixo x . As bordas da faixa azul representam as linhas do mundo das duas extremidades da haste. A hipérbole invariante ilustra eventos separados da origem por um intervalo espacial de 1 m. Os pontos finais O e B medidos quando t  = 0 são eventos simultâneos no quadro S′. Mas para um observador no referencial S, os eventos O e B não são simultâneos. Para medir o comprimento, o observador no quadro S mede as extremidades da haste conforme projetadas no eixo x ao longo de suas linhas de mundo. A projeção da folha de mundo da haste no eixo x produz o comprimento encurtado OC.

(não ilustrado) Traçar uma linha vertical através de A de modo que ela intercepte o eixo x ′ demonstra que, mesmo que OB seja encurtado do ponto de vista do observador O, OA também é encurtado do ponto de vista do observador O′. Da mesma forma que cada observador mede os relógios do outro como lentos, cada observador mede as réguas do outro como estando contraídas.

Com relação à contração mútua do comprimento, a Fig. 2-9 ilustra que os quadros com e sem primer são girados mutuamente por um ângulo hiperbólico (análogo aos ângulos comuns na geometria euclidiana). Por causa dessa rotação, a projeção de uma régua de medição com primer no eixo x sem primer é reduzida, enquanto a projeção de uma régua de medidor sem primer no eixo x' com primer também é reduzida.

Dilatação do tempo mútuo e o paradoxo dos gêmeos

Dilatação mútua do tempo

A dilatação mútua do tempo e a contração do comprimento tendem a atingir os iniciantes como conceitos inerentemente autocontraditórios. Se um observador no referencial S mede um relógio, em repouso no referencial S', que está correndo mais devagar que o dele', enquanto S' está se movendo com velocidade v em S, então o princípio da relatividade requer que um observador no referencial S' meça da mesma forma um relógio no quadro S, movendo-se com velocidade − v em S', correndo mais devagar que o dela. Como dois relógios podem funcionar mais devagar que o outro, é uma questão importante que "vai ao cerne da compreensão da relatividade especial".

Essa aparente contradição decorre de não levar em consideração corretamente as diferentes configurações das medidas necessárias e relacionadas. Essas configurações permitem uma explicação consistente da única contradição aparente . Não se trata do tique-taque abstrato de dois relógios idênticos, mas de como medir em um quadro a distância temporal de dois tique-taques de um relógio em movimento. Acontece que ao observar mutuamente a duração entre os tiques dos relógios, cada um se movendo no respectivo quadro, diferentes conjuntos de relógios devem estar envolvidos. Para medir no frame S a duração do tique de um relógio em movimento W' (em repouso em S'), usa-se dois relógios adicionais sincronizados W 1 e W 2 em repouso em dois pontos arbitrariamente fixos em S com a distância espacial d .

Dois eventos podem ser definidos pela condição "dois relógios estão simultaneamente em um lugar", ou seja, quando W' passa cada W 1 e W 2 . Para ambos os eventos são registradas as duas leituras dos relógios colocados. A diferença das duas leituras de W 1 e W 2 é a distância temporal dos dois eventos em S, e sua distância espacial é d . A diferença das duas leituras de W' é a distância temporal dos dois eventos em S'. Em S′ esses eventos são separados apenas no tempo, eles acontecem no mesmo lugar em S′. Por causa da invariância do intervalo espaço-tempo entre esses dois eventos, e a separação espacial diferente de zero d em S, a distância temporal em S' deve ser menor que a de S: a menor distância temporal entre os dois eventos, resultante da leituras do relógio em movimento W′, pertence ao relógio mais lento W′.

Por outro lado, para julgar no quadro S' a distância temporal de dois eventos em um relógio em movimento W (em repouso em S), são necessários dois relógios em repouso em S'.

Nesta comparação, o relógio W está se movendo com velocidade − v . Gravar novamente as quatro leituras para os eventos, definidos por "dois relógios simultaneamente em um lugar", resulta nas distâncias temporais análogas dos dois eventos, agora temporal e espacialmente separados em S′, e apenas temporalmente separados, mas colocados em S. mantendo o intervalo espaço-tempo invariante, a distância temporal em S deve ser menor do que em S′, por causa da separação espacial dos eventos em S′: agora observa-se que o relógio W está mais lento.

As gravações necessárias para os dois julgamentos, com "um relógio em movimento" e "dois relógios em repouso" em respectivamente S ou S′, envolvem dois conjuntos diferentes, cada um com três relógios. Uma vez que existem diferentes conjuntos de relógios envolvidos nas medições, não há necessidade inerente de que as medições sejam reciprocamente "consistentes" de tal forma que, se um observador medir o relógio em movimento como lento, o outro observador medirá o relógio como rápido.

Figura 2-10. Dilatação mútua do tempo

A Fig. 2-10 ilustra a discussão anterior da dilatação mútua do tempo com diagramas de Minkowski. A imagem superior reflete as medidas vistas do quadro S "em repouso" com eixos retangulares sem escorva e do quadro S′ "movendo-se com v  > 0", coordenado por eixos oblíquos com escorva, inclinados para a direita; a imagem inferior mostra o quadro S′ "em repouso" com coordenadas retangulares escorvadas e o quadro S "movendo-se com − v  < 0", com eixos oblíquos não escorvados, inclinados para a esquerda.

Cada linha traçada paralelamente a um eixo espacial ( x , x ′) representa uma linha de simultaneidade. Todos os eventos em tal linha têm o mesmo valor de tempo ( ct , ct ′). Da mesma forma, cada linha traçada paralelamente a um eixo temporal ( ct , ct′ ) representa uma linha de valores de coordenadas espaciais iguais ( x , x ′).

Pode-se designar em ambas as figuras a origem O (= O ) como o evento, onde o respectivo "relógio em movimento" é colocado com o "primeiro relógio em repouso" em ambas as comparações. Obviamente, para este evento as leituras em ambos os relógios em ambas as comparações são zero. Como consequência, as linhas de mundo dos relógios em movimento são as inclinadas para o eixo ct ′ direito (imagens superiores, relógio W′) e as inclinadas para o eixo ct esquerdo (imagens inferiores, relógio W). As linhas de mundo de W 1 e W′ 1 são os eixos de tempo verticais correspondentes ( ct nas imagens superiores e ct ′ nas imagens inferiores).
Na figura superior, o lugar para W 2 é considerado A x > 0 e, portanto, a linha de mundo (não mostrada nas fotos) deste relógio cruza a linha de mundo do relógio em movimento (o eixo ct ′) no evento rotulado A , onde "dois relógios estão simultaneamente em um lugar". Na figura inferior o lugar para W' 2 é considerado C x '  < 0, e assim nesta medida o relógio em movimento W passa por W' 2 no evento C .
Na figura superior, a coordenada ct A t do evento A (a leitura de W 2 ) é rotulada como B , dando assim o tempo decorrido entre os dois eventos, medido com W 1 e W 2 , como OB . Para uma comparação, o comprimento do intervalo de tempo OA , medido com W', deve ser transformado na escala do eixo ct . Isso é feito pela hipérbole invariante (veja também a Fig. 2-8) através de A , conectando todos os eventos com o mesmo intervalo de espaço-tempo desde a origem que A . Isso produz o evento C no eixo ct , e obviamente: OC  <  OB , o relógio "em movimento" W' roda mais devagar.

Para mostrar a dilatação de tempo mútua imediatamente na figura superior, o evento D pode ser construído como o evento em x ′ = 0 (a localização do relógio W′ em S′), que é simultâneo a C ( OC tem intervalo de espaço-tempo igual a OA ) em S′. Isso mostra que o intervalo de tempo OD é maior que OA , mostrando que o relógio "em movimento" roda mais devagar.

Na figura inferior, o referencial S está se movendo com velocidade − v no referencial S′ em repouso. A linha de mundo do relógio W é o eixo ct (inclinado para a esquerda), a linha de mundo de W′ 1 é o eixo ct ′ vertical e a linha de mundo de W′ 2 é a vertical através do evento C , com coordenada ctD. _ A hipérbole invariante através do evento C dimensiona o intervalo de tempo OC para OA , que é menor que OD ; também, B é construído (semelhante a D nas figuras superiores) como simultâneo a A em S, em x  = 0. O resultado OB  >  OC corresponde novamente ao anterior.

A palavra "medida" é importante. Na física clássica, um observador não pode afetar um objeto observado, mas o estado de movimento do objeto pode afetar as observações do objeto pelo observador.

Paradoxo dos gêmeos

Muitas introduções à relatividade especial ilustram as diferenças entre a relatividade galileana e a relatividade especial apresentando uma série de "paradoxos". Esses paradoxos são, na verdade, problemas mal colocados, resultantes de nossa falta de familiaridade com velocidades comparáveis ​​à velocidade da luz. O remédio é resolver muitos problemas na relatividade especial e se familiarizar com suas predições contra-intuitivas. A abordagem geométrica para estudar o espaço-tempo é considerada um dos melhores métodos para desenvolver uma intuição moderna.

O paradoxo dos gêmeos é um experimento mental envolvendo gêmeos idênticos, um dos quais faz uma viagem ao espaço em um foguete de alta velocidade, voltando para casa e descobrindo que o gêmeo que permaneceu na Terra envelheceu mais. Esse resultado parece intrigante porque cada gêmeo observa o outro gêmeo se movendo e, portanto, à primeira vista, parece que cada um deve achar que o outro envelheceu menos. O paradoxo dos gêmeos evita a justificativa para a dilatação mútua do tempo apresentada acima, evitando a exigência de um terceiro relógio. No entanto, o paradoxo dos gêmeos não é um verdadeiro paradoxo porque é facilmente compreendido no contexto da relatividade especial.

A impressão de que existe um paradoxo deriva de um mal-entendido sobre o que a relatividade especial afirma. A relatividade especial não declara que todos os referenciais são equivalentes, apenas referenciais inerciais. O referencial do gêmeo viajante não é inercial durante os períodos em que ele está acelerando. Além disso, a diferença entre os gêmeos é detectável por observação: o gêmeo viajante precisa disparar seus foguetes para poder voltar para casa, enquanto o gêmeo que fica em casa não.

Figura 2-11. Explicação do espaço-tempo do paradoxo dos gêmeos

Essas distinções devem resultar em uma diferença nas idades dos gêmeos. O diagrama de espaço-tempo da Fig. 2-11 apresenta o caso simples de um gêmeo indo direto ao longo do eixo x e voltando imediatamente. Do ponto de vista do gêmeo que fica em casa, não há nada de intrigante no paradoxo dos gêmeos. O tempo adequado medido ao longo da linha mundial do gêmeo viajante de O a C, mais o tempo adequado medido de C a B, é menor que o tempo adequado do gêmeo em casa medido de O a A a B. Trajetórias mais complexas exigem integração o tempo adequado entre os respectivos eventos ao longo da curva (ou seja, a integral do caminho ) para calcular a quantidade total de tempo adequado experimentado pelo gêmeo viajante.

As complicações surgem se o paradoxo dos gêmeos for analisado do ponto de vista do gêmeo viajante.

A nomenclatura de Weiss, designando o gêmeo que fica em casa como Terence e o gêmeo viajante como Stella, é usado daqui em diante.

Stella não está em um referencial inercial. Dado este fato, às vezes é afirmado incorretamente que a resolução completa do paradoxo dos gêmeos requer a relatividade geral:

Uma análise SR pura seria a seguinte: Analisada no quadro de repouso de Stella, ela fica imóvel durante toda a viagem. Quando ela dispara seus foguetes para a reviravolta, ela experimenta uma pseudoforça que se assemelha a uma força gravitacional. Figs. 2-6 e 2-11 ilustram o conceito de linhas (planos) de simultaneidade: Linhas paralelas ao eixo x do observador (plano xy ) representam conjuntos de eventos que são simultâneos no quadro do observador. Na Fig. 2-11, as linhas azuis conectam eventos na linha de mundo de Terence que, do ponto de vista de Stella , são simultâneos com eventos em sua linha de mundo. (Terence, por sua vez, observaria um conjunto de linhas horizontais de simultaneidade.) Ao longo dos trechos de ida e volta da jornada de Stella, ela mede os relógios de Terence como se estivessem mais lentos do que os seus. Mas durante a reviravolta (ou seja, entre as linhas azuis em negrito na figura), ocorre uma mudança no ângulo de suas linhas de simultaneidade, correspondendo a um salto rápido dos eventos na linha do mundo de Terence que Stella considera simultâneos com ela própria. Portanto, no final de sua viagem, Stella descobre que Terence envelheceu mais do que ela.

Embora a relatividade geral não seja necessária para analisar o paradoxo dos gêmeos, a aplicação do Princípio de Equivalência da relatividade geral fornece algumas informações adicionais sobre o assunto. Stella não é estacionária em um referencial inercial. Analisada no quadro de repouso de Stella, ela fica imóvel durante toda a viagem. Quando ela está navegando, seu quadro de descanso é inercial, e o relógio de Terence parece estar lento. Mas quando ela dispara seus foguetes para a reviravolta, seu quadro de repouso é um quadro acelerado e ela experimenta uma força que a empurra como se estivesse em um campo gravitacional. Terence parecerá estar no alto desse campo e por causa da dilatação do tempo gravitacional , seu relógio parecerá correr rápido, tanto que o resultado líquido será que Terence envelheceu mais do que Stella quando eles estiverem juntos novamente. Os argumentos teóricos que predizem a dilatação gravitacional do tempo não são exclusivos da relatividade geral. Qualquer teoria da gravidade irá prever a dilatação do tempo gravitacional se respeitar o princípio da equivalência, incluindo a teoria de Newton.

Gravitação

Esta seção introdutória concentrou-se no espaço-tempo da relatividade especial, pois é o mais fácil de descrever. O espaço-tempo de Minkowski é plano, não leva em conta a gravidade, é uniforme e serve como nada mais do que um fundo estático para os eventos que ocorrem nele. A presença da gravidade complica muito a descrição do espaço-tempo. Na relatividade geral, o espaço-tempo não é mais um fundo estático, mas interage ativamente com os sistemas físicos que ele contém. O espaço-tempo se curva na presença de matéria, pode propagar ondas, curvar a luz e exibir uma série de outros fenômenos. Alguns desses fenômenos são descritos nas seções posteriores deste artigo.

Matemática básica do espaço-tempo

Transformações galileanas

Um objetivo básico é poder comparar medições feitas por observadores em movimento relativo. Se houver um observador O no referencial S que mediu as coordenadas de tempo e espaço de um evento, atribuindo a este evento três coordenadas cartesianas e o tempo medido em sua rede de relógios sincronizados ( x , y , z , t ) (ver Fig . . 1-1 ). Um segundo observador O′ em um quadro diferente S′ mede o mesmo evento em seu sistema de coordenadas e sua rede de relógios sincronizados ( x , y , z , t ) . Com referenciais inerciais, nenhum dos observadores está sob aceleração, e um simples conjunto de equações nos permite relacionar as coordenadas ( x , y , z , t ) com ( x , y , z , t ) . Dado que os dois sistemas de coordenadas estão em configuração padrão, o que significa que eles estão alinhados com coordenadas paralelas ( x , y , z ) e que t = 0 quando t = 0 , a transformação de coordenadas é a seguinte:

Figura 3–1. Espaço-tempo galileano e composição de velocidades

A Fig. 3-1 ilustra que, na teoria de Newton, o tempo é universal, não a velocidade da luz. Considere o seguinte experimento mental: A seta vermelha ilustra um trem que se move a 0,4 c em relação à plataforma. Dentro do trem, um passageiro atira uma bala com velocidade de 0,4 c no quadro do trem. A seta azul ilustra que uma pessoa parada nos trilhos do trem mede a bala viajando a 0,8 c. Isso está de acordo com nossas expectativas ingênuas.

Mais geralmente, assumindo que o referencial S' está se movendo com velocidade v em relação ao referencial S, então dentro do referencial S', o observador O' mede um objeto se movendo com velocidade u ' . A velocidade u em relação ao referencial S, uma vez que x = ut , x = xvt , e t = t , pode ser escrita como x = utvt = ( uv ) t = ( uv ) t . Isso leva a u = x / t e, finalmente,

  ou  

que é a lei galileana de senso comum para a adição de velocidades .

Composição relativística de velocidades

Figura 3–2. Composição relativística de velocidades

A composição das velocidades é bem diferente no espaço-tempo relativístico. Para reduzir um pouco a complexidade das equações, introduzimos uma abreviação comum para a razão da velocidade de um objeto em relação à luz,

A Fig. 3-2a ilustra um trem vermelho que está avançando com velocidade dada por v / c = β = s / a . A partir do quadro preparado do trem, um passageiro atira uma bala com velocidade dada por u / c = β = n / m , onde a distância é medida ao longo de uma linha paralela ao eixo x vermelho em vez de paralela ao eixo eixo x preto . Qual é a velocidade composta u da bala em relação à plataforma, representada pela seta azul? Referindo-se à Fig. 3-2b:

  1. Da plataforma, a velocidade composta da bala é dada por u = c ( s + r )/( a + b ) .
  2. Os dois triângulos amarelos são semelhantes porque são triângulos retângulos que compartilham um ângulo α comum . No grande triângulo amarelo, a razão s / a = v / c = β .
  3. As razões dos lados correspondentes dos dois triângulos amarelos são constantes, de modo que r / a = b / s = n / m = β . Então b = u s / ce r = u a / c . _
  4. Substitua as expressões para b e r na expressão para u na etapa 1 para obter a fórmula de Einstein para a adição de velocidades:

A fórmula relativística para adição de velocidades apresentada acima apresenta várias características importantes:

  • Se u e v são ambos muito pequenos comparados com a velocidade da luz, então o produto vu / c 2 torna-se extremamente pequeno, e o resultado global torna-se indistinguível da fórmula de Galileu (fórmula de Newton) para a adição de velocidades: u  =  u  +  v . A fórmula de Galileu é um caso especial da fórmula relativística aplicável a baixas velocidades.
  • Se u for igual a c , então a fórmula produz u  =  c independentemente do valor inicial de v . A velocidade da luz é a mesma para todos os observadores, independentemente de seus movimentos em relação à fonte emissora.

Dilatação do tempo e contração do comprimento revisitadas

Figura 3-3. Diagramas de espaço-tempo que ilustram a dilatação do tempo e a contração do comprimento

É simples obter expressões quantitativas para dilatação do tempo e contração do comprimento. A Fig. 3-3 é uma imagem composta contendo quadros individuais retirados de duas animações anteriores, simplificados e renomeados para os propósitos desta seção.

Para reduzir um pouco a complexidade das equações, há uma variedade de notações abreviadas diferentes para ct :

e são comuns.
Também se vê muito frequentemente o uso da convenção
Figura 3–4. Fator de Lorentz em função da velocidade

Na Fig. 3-3a, os segmentos OA e OK representam intervalos de espaço-tempo iguais. A dilatação do tempo é representada pela relação OB / OK . A hipérbole invariante tem a equação w = x 2 + k 2 onde k  =  OK , e a linha vermelha que representa a linha do mundo de uma partícula em movimento tem a equação w  =  x / β  =  xc / v . Um pouco de manipulação algébrica produz

A expressão envolvendo o símbolo da raiz quadrada aparece com muita frequência na relatividade, e uma sobre a expressão é chamada de fator de Lorentz, denotado pela letra grega gama :

Se v for maior ou igual a c , a expressão para torna-se fisicamente sem sentido, implicando que c é a velocidade máxima possível na natureza. Para qualquer v maior que zero, o fator de Lorentz será maior que um, embora a forma da curva seja tal que para baixas velocidades, o fator de Lorentz seja extremamente próximo de um.

Na Fig. 3-3b, os segmentos OA e OK representam intervalos de espaço-tempo iguais. A contração do comprimento é representada pela relação OB / OK . A hipérbole invariante tem a equação x = w 2 + k 2 , onde k  =  OK , e as bordas da faixa azul representando as linhas do mundo das extremidades de uma barra em movimento têm inclinação 1/ β  =  c / v . O evento A tem coordenadas ( xw ) = ( γkγβk ). Como a reta tangente por A e B tem a equação w  = ( x  −  OB )/ β , temos γβk  = ( γk  −  OB )/ β e

Transformações de Lorentz

As transformações galileanas e sua conseqüente lei do senso comum da adição de velocidades funcionam bem em nosso mundo comum de aviões, carros e bolas de baixa velocidade. A partir de meados de 1800, no entanto, a instrumentação científica sensível começou a encontrar anomalias que não se encaixavam bem com a adição comum de velocidades.

As transformações de Lorentz são usadas para transformar as coordenadas de um evento de um quadro para outro na relatividade especial.

O fator de Lorentz aparece nas transformações de Lorentz:

As transformações inversas de Lorentz são:

Quando v  ≪  c e x é suficientemente pequeno, os termos v 2 / c 2 e vx / c 2 se aproximam de zero, e as transformações de Lorentz se aproximam das transformações de Galileu.

etc., na maioria das vezes realmente significam etc. Embora por brevidade as equações de transformação de Lorentz sejam escritas sem deltas, x significa Δ x , etc. Estamos, em geral, sempre preocupados com as diferenças de espaço e tempo entre eventos.

Chamar um conjunto de transformações de transformações normais de Lorentz e o outro de transformações inversas é enganoso, pois não há diferença intrínseca entre os quadros. Diferentes autores chamam um ou outro conjunto de transformações de conjunto "inverso". As transformações diretas e inversas são trivialmente relacionadas entre si, uma vez que o quadro S só pode estar se movendo para frente ou para trás em relação a S . Portanto, inverter as equações implica simplesmente trocar as variáveis ​​com e sem primos e substituir v por − v .

Exemplo: Terence e Stella estão em uma corrida espacial Terra-Marte. Terence é um oficial na linha de partida, enquanto Stella é uma participante. No instante t = t = 0 , a nave espacial de Stella acelera instantaneamente até uma velocidade de 0,5  c . A distância da Terra a Marte é de 300 segundos-luz (cerca de90,0 × 10 6  km ). Terence observa Stella cruzando o relógio da linha de chegada em t  = 600,00 s . Mas Stella observa o tempo em seu cronômetro de navio quando ela passa pela linha de chegada e calcula a distância entre as linhas de partida e chegada, medida em seu quadro, em 259,81 segundos-luz (cerca de77,9 × 10 6  km ). 1).

Derivando as transformações de Lorentz

Figura 3–5. Derivação da Transformação de Lorentz

Houve muitas dezenas de derivações das transformações de Lorentz desde o trabalho original de Einstein em 1905, cada uma com seu foco particular. Embora a derivação de Einstein tenha sido baseada na invariância da velocidade da luz, existem outros princípios físicos que podem servir como pontos de partida. Em última análise, esses pontos de partida alternativos podem ser considerados diferentes expressões do princípio subjacente da localidade , que afirma que a influência que uma partícula exerce sobre outra não pode ser transmitida instantaneamente.

A derivação dada aqui e ilustrada na Fig. 3-5 é baseada em uma apresentada por Bais e faz uso de resultados anteriores das seções Composição Relativística de Velocidades, Dilatação do Tempo e Contração do Comprimento. O evento P tem coordenadas ( wx ) no "sistema de repouso" preto e coordenadas ( w x ) no quadro vermelho que está se movendo com o parâmetro de velocidade β  =  v / c . Para determinar w e x em termos de w e x (ou vice-versa), é mais fácil derivar a transformação inversa de Lorentz.

  1. Não pode haver expansão/contração do comprimento nas direções transversais. y ' deve ser igual a y e z ' deve ser igual a z , caso contrário, se uma bola de 1 m em movimento rápido poderia passar por um buraco circular de 1 m dependeria do observador. O primeiro postulado da relatividade afirma que todos os referenciais inerciais são equivalentes, e a expansão/contração transversal violaria essa lei.
  2. A partir do desenho, w = a + b e x  =  r  +  s
  3. A partir de resultados anteriores usando triângulos semelhantes, sabemos que s / a  =  b / r = v / c  =  β .
  4. Por causa da dilatação do tempo, a  =  γw
  5. Substituindo a equação (4) em s / a  =  β resulta em s  =  γw β .
  6. Contração de comprimento e triângulos semelhantes nos dão r  =  γx e b  =  βr = βγx
  7. Substituindo as expressões para s , a , r e b nas equações da Etapa 2, obtemos imediatamente

As equações acima são expressões alternativas para as equações tex da transformação inversa de Lorentz, como pode ser visto substituindo ct por w , ct por w e v / c por β . A partir da transformação inversa, as equações da transformação direta podem ser derivadas resolvendo para t e x .

Linearidade das transformações de Lorentz

As transformações de Lorentz possuem uma propriedade matemática chamada de linearidade, uma vez que x e t são obtidos como combinações lineares de x e t , sem maiores potências envolvidas. A linearidade da transformação reflete uma propriedade fundamental do espaço-tempo que foi tacitamente assumida na derivação, a saber, que as propriedades dos referenciais inerciais são independentes da localização e do tempo. Na ausência de gravidade, o espaço-tempo parece o mesmo em todos os lugares. Todos os observadores inerciais concordarão sobre o que constitui movimento acelerado e não acelerado. Qualquer observador pode usar suas próprias medidas de espaço e tempo, mas não há nada absoluto sobre elas. As convenções de outro observador também servirão.

Um resultado da linearidade é que, se duas transformações de Lorentz forem aplicadas sequencialmente, o resultado também será uma transformação de Lorentz.

Exemplo: Terence observa Stella se afastando dele a 0,500  c , e ele pode usar as transformações de Lorentz com β  = 0,500 para relacionar as medidas de Stella às suas. Stella, em seu quadro, observa Ursula se afastando dela a 0,250  c , e ela pode usar as transformações de Lorentz com β  = 0,250 para relacionar as medidas de Ursula com as dela. Por causa da linearidade das transformações e da composição relativística das velocidades, Terence pode usar as transformações de Lorentz com β  = 0,666 para relacionar as medidas de Ursula com as suas.

efeito Doppler

O efeito Doppler é a mudança na frequência ou comprimento de onda de uma onda para um receptor e uma fonte em movimento relativo. Para simplificar, consideramos aqui dois cenários básicos: (1) os movimentos da fonte e/ou receptor são exatamente ao longo da linha que os conecta (efeito Doppler longitudinal), e (2) os movimentos são perpendiculares à referida linha ( efeito Doppler transversal ). Estamos ignorando cenários em que eles se movem em ângulos intermediários.

Efeito Doppler Longitudinal

A análise Doppler clássica lida com ondas que se propagam em um meio, como ondas sonoras ou ondulações da água, e que são transmitidas entre fontes e receptores que estão se aproximando ou se afastando um do outro. A análise de tais ondas depende se a fonte, o receptor ou ambos estão se movendo em relação ao meio. Dado o cenário em que o receptor está estacionário em relação ao meio, e a fonte está se movendo diretamente para longe do receptor a uma velocidade de v s para um parâmetro de velocidade de β s , o comprimento de onda é aumentado e a frequência observada f é dada por

Por outro lado, dado o cenário onde a fonte é estacionária, e o receptor está se afastando diretamente da fonte a uma velocidade v r para um parâmetro de velocidade de β r , o comprimento de onda não é alterado, mas a velocidade de transmissão das ondas em relação ao receptor é diminuída, e a frequência observada f é dada por

Figura 3–6. Diagrama de espaço-tempo do efeito Doppler relativístico

A luz, ao contrário do som ou das ondulações da água, não se propaga através de um meio, e não há distinção entre uma fonte se afastando do receptor ou um receptor se afastando da fonte. A Fig. 3-6 ilustra um diagrama relativístico de espaço-tempo mostrando uma fonte se separando do receptor com um parâmetro de velocidade β , de modo que a separação entre fonte e receptor no tempo w é βw . Por causa da dilatação do tempo, . Como a inclinação do raio de luz verde é -1, . Assim, o efeito Doppler relativístico é dado por

Efeito Doppler Transversal

Figura 3–7. Cenários de efeito Doppler transversal

Suponha que uma fonte e um receptor, ambos se aproximando em movimento inercial uniforme ao longo de linhas que não se cruzam, estejam em sua maior aproximação um do outro. Parece que a análise clássica prevê que o receptor não detecta desvio Doppler. Devido a sutilezas na análise, essa expectativa não é necessariamente verdadeira. No entanto, quando adequadamente definido, o deslocamento transversal Doppler é um efeito relativista que não tem análogo clássico. As sutilezas são estas:

No cenário (a), o ponto de maior aproximação é independente do quadro e representa o momento em que não há mudança na distância versus tempo (ou seja, dr/dt = 0 onde r é a distância entre o receptor e a fonte) e, portanto, não há Doppler longitudinal mudança. A fonte observa o receptor como sendo iluminado por uma luz de freqüência f , mas também observa o receptor como tendo um relógio dilatado no tempo. No quadro S, o receptor é, portanto, iluminado por uma luz de frequência deslocada para o azul

No cenário (b) a ilustração mostra o receptor sendo iluminado pela luz de quando a fonte estava mais próxima do receptor, mesmo que a fonte tenha se movido. Como os relógios da fonte são dilatados no tempo conforme medido no quadro S, e como dr/dt era igual a zero nesse ponto, a luz da fonte, emitida desse ponto mais próximo, é desviada para o vermelho com a frequência

Os cenários (c) e (d) podem ser analisados ​​por argumentos simples de dilatação do tempo. Em (c), o receptor observa a luz da fonte como sendo desviada para o azul por um fator de , e em (d), a luz é desviada para o vermelho. A única complicação aparente é que os objetos em órbita estão em movimento acelerado. No entanto, se um observador inercial olhar para um relógio acelerado, apenas a velocidade instantânea do relógio é importante ao calcular a dilatação do tempo. (A recíproca, entretanto, não é verdadeira.) A maioria dos relatos de desvio Doppler transversal refere-se ao efeito como desvio para o vermelho e analisa o efeito em termos dos cenários (b) ou (d).

Energia e impulso

Estendendo o momento para quatro dimensões

Figura 3–8. Vetor de momento do espaço-tempo relativístico

Na mecânica clássica, o estado de movimento de uma partícula é caracterizado por sua massa e sua velocidade. O momento linear , o produto da massa e da velocidade de uma partícula, é uma quantidade vetorial , possuindo a mesma direção da velocidade: p  =  m v . É uma quantidade conservada , o que significa que se um sistema fechado não é afetado por forças externas, seu momento linear total não pode mudar.

Na mecânica relativista, o vetor momento é estendido para quatro dimensões. Adicionado ao vetor de momento é um componente de tempo que permite que o vetor de momento do espaço-tempo se transforme como o vetor de posição do espaço-tempo . Ao explorar as propriedades do momento do espaço-tempo, começamos, na Figura 3-8a, examinando a aparência de uma partícula em repouso. No referencial de repouso, a componente espacial do momento é zero, ou seja, p  = 0 , mas a componente de tempo é igual a mc .

Podemos obter os componentes transformados desse vetor no referencial móvel usando as transformações de Lorentz, ou podemos lê-lo diretamente da figura porque sabemos que e , já que os eixos vermelhos são reescalados por gama. A Fig. 3-8b ilustra a situação como ela aparece no quadro móvel. É evidente que as componentes de espaço e tempo do momento quatro vão ao infinito à medida que a velocidade do referencial em movimento se aproxima de c .

Usaremos essas informações em breve para obter uma expressão para os quatro momentos .

Momento de luz

Figura 3–9. Energia e momento da luz em diferentes referenciais inerciais

Partículas de luz, ou fótons, viajam na velocidade de c , a constante que é convencionalmente conhecida como velocidade da luz . Esta afirmação não é uma tautologia, uma vez que muitas formulações modernas da relatividade não começam com a velocidade constante da luz como postulado. Os fótons, portanto, se propagam ao longo de uma linha de mundo semelhante à luz e, em unidades apropriadas, têm componentes de espaço e tempo iguais para cada observador.

Uma consequência da teoria do eletromagnetismo de Maxwell é que a luz carrega energia e momento, e que sua razão é uma constante: . Rearranjando, , e como para fótons os componentes de espaço e tempo são iguais, E/c deve, portanto, ser igualado ao componente de tempo do vetor momento do espaço-tempo.

Os fótons viajam na velocidade da luz, mas têm momento e energia finitos. Para que isso aconteça, o termo de massa em γmc deve ser zero, o que significa que os fótons são partículas sem massa . Infinito vezes zero é uma quantidade mal definida, mas E/c é bem definida.

Por esta análise, se a energia de um fóton é igual a E no quadro de repouso, ela é igual em um quadro em movimento. Este resultado pode ser obtido pela inspeção da Fig. 3-9 ou pela aplicação das transformações de Lorentz, e é consistente com a análise do efeito Doppler dada anteriormente.

Relação massa-energia

A consideração das inter-relações entre os vários componentes do vetor momento relativístico levou Einstein a várias conclusões famosas.

  • No limite de velocidade baixa, quando β  =  v/c se aproxima de zero, γ se aproxima de 1, de modo que o componente espacial do momento relativístico se aproxima de mv , o termo clássico para momento. Seguindo essa perspectiva, γm pode ser interpretado como uma generalização relativista de m . Einstein propôs que a massa relativística de um objeto aumenta com a velocidade de acordo com a fórmula .
  • Da mesma forma, comparando o componente de tempo do momento relativístico com o do fóton, , de modo que Einstein chegou à relação . Simplificada para o caso da velocidade zero, esta é a famosa equação de Einstein que relaciona energia e massa.

Outra maneira de ver a relação entre massa e energia é considerar uma expansão em série de γmc 2 em baixa velocidade:

O segundo termo é apenas uma expressão para a energia cinética da partícula. A massa realmente parece ser outra forma de energia.

O conceito de massa relativística que Einstein introduziu em 1905, m rel , embora amplamente validado todos os dias em aceleradores de partículas ao redor do globo (ou mesmo em qualquer instrumentação cujo uso dependa de partículas de alta velocidade, como microscópios eletrônicos, aparelhos de televisão em cores antiquados , etc.), não provou, no entanto, ser um conceito frutífero em física no sentido de que não é um conceito que serviu de base para outros desenvolvimentos teóricos. A massa relativística, por exemplo, não desempenha nenhum papel na relatividade geral.

Por essa razão, bem como por questões pedagógicas, a maioria dos físicos atualmente prefere uma terminologia diferente ao se referir à relação entre massa e energia. "Massa relativística" é um termo obsoleto. O termo "massa" por si só se refere à massa de repouso ou massa invariante , e é igual ao comprimento invariante do vetor momento relativístico. Expressa como uma fórmula,

Esta fórmula se aplica a todas as partículas, tanto sem massa quanto massivas. Para fótons onde m repouso é igual a zero, produz, .

Quatro momentos

Por causa da estreita relação entre massa e energia, o 4-momento (também chamado de 4-momento) também é chamado de 4-vetor de energia-momento. Usando um P maiúsculo para representar o momento quatro e um p minúsculo para denotar o momento espacial, o momento quatro pode ser escrito como

ou alternativamente,
usando a convenção que

Leis de conservação

Na física, as leis de conservação afirmam que certas propriedades mensuráveis ​​particulares de um sistema físico isolado não mudam à medida que o sistema evolui ao longo do tempo. Em 1915, Emmy Noether descobriu que subjacente a cada lei de conservação está uma simetria fundamental da natureza. O fato de que os processos físicos não se importam onde no espaço eles ocorrem ( simetria de translação espacial ) produz conservação de momento , o fato de que tais processos não se importam quando ocorrem ( simetria de translação no tempo ) produz conservação de energia , e assim sobre. Nesta seção, examinamos as visões newtonianas de conservação de massa, momento e energia de uma perspectiva relativista.

Momento total

Figura 3-10. Conservação relativística do momento

Para entender como a visão newtoniana da conservação do momento precisa ser modificada em um contexto relativista, examinamos o problema de dois corpos colidindo limitados a uma única dimensão.

Na mecânica newtoniana, dois casos extremos deste problema podem ser distinguidos produzindo matemática de complexidade mínima:

(1) Os dois corpos ricocheteiam um no outro em uma colisão completamente elástica.
(2) Os dois corpos se unem e continuam se movendo como uma única partícula. Este segundo caso é o caso de colisão completamente inelástica.

Para ambos os casos (1) e (2), quantidade de movimento, massa e energia total são conservadas. No entanto, a energia cinética não é conservada em casos de colisão inelástica. Uma certa fração da energia cinética inicial é convertida em calor.

No caso (2), duas massas com momentos e colidem para produzir uma única partícula de massa conservada viajando no centro de velocidade de massa do sistema original, . A quantidade de movimento total é conservada.

A Fig. 3-10 ilustra a colisão inelástica de duas partículas de uma perspectiva relativista. As componentes de tempo e somam o total E/c do vetor resultante, significando que a energia é conservada. Da mesma forma, as componentes do espaço e somam-se para formar p do vetor resultante. O momento quatro é, como esperado, uma quantidade conservada. No entanto, a massa invariante da partícula fundida, dada pelo ponto onde a hipérbole invariante do momento total intercepta o eixo da energia, não é igual à soma das massas invariantes das partículas individuais que colidiram. De fato, é maior que a soma das massas individuais: .

Observando os eventos deste cenário em sequência inversa, vemos que a não conservação da massa é uma ocorrência comum: quando uma partícula elementar instável decai espontaneamente em duas partículas mais leves, a energia total é conservada, mas a massa não. Parte da massa é convertida em energia cinética.

Escolha de quadros de referência

Figura 3-11.
(acima) Quadro de Laboratório .
(direita) Centro do Quadro de Momentum .

A liberdade de escolher qualquer quadro no qual realizar uma análise nos permite escolher um que possa ser particularmente conveniente. Para análise de problemas de momento e energia, o quadro mais conveniente é geralmente o "quadro do centro de momento " (também chamado de quadro de momento zero ou quadro COM). Este é o referencial no qual o componente espacial do momento total do sistema é zero. A Fig. 3-11 ilustra a quebra de uma partícula de alta velocidade em duas partículas filhas. No quadro de laboratório, as partículas filhas são emitidas preferencialmente em uma direção orientada ao longo da trajetória da partícula original. No quadro COM, no entanto, as duas partículas filhas são emitidas em direções opostas, embora suas massas e a magnitude de suas velocidades geralmente não sejam as mesmas.

Conservação de energia e momento

Em uma análise newtoniana de partículas em interação, a transformação entre quadros é simples porque tudo o que é necessário é aplicar a transformação de Galileu a todas as velocidades. Uma vez que , o momento . Se a quantidade de movimento total de um sistema de partículas em interação for conservada em um quadro, também será observado que se conserva em qualquer outro quadro.

A conservação do momento no quadro COM equivale ao requisito de que p  = 0 antes e depois da colisão. Na análise newtoniana, a conservação da massa determina que . Nos cenários simplificados e unidimensionais que estamos considerando, apenas uma restrição adicional é necessária antes que os momentos de saída das partículas possam ser determinados - uma condição de energia. No caso unidimensional de uma colisão completamente elástica sem perda de energia cinética, as velocidades de saída das partículas que se recuperam no quadro COM serão precisamente iguais e opostas às suas velocidades de entrada. No caso de uma colisão completamente inelástica com perda total de energia cinética, as velocidades de saída das partículas de rebote serão zero.

Os momentos newtonianos, calculados como , não se comportam adequadamente sob a transformação lorentziana. A transformação linear de velocidades é substituída pela altamente não linear , de modo que um cálculo que demonstre a conservação do momento em um referencial será inválido em outros referenciais. Einstein foi confrontado com a necessidade de desistir da conservação do momento ou mudar a definição de momento. Esta segunda opção foi o que ele escolheu.

Figura 3-12a. Diagrama energia-momento para decaimento de um píon carregado.
Figura 3-12b. Análise de calculadora gráfica do decaimento de píon carregado.

A lei de conservação relativística para energia e quantidade de movimento substitui as três leis de conservação clássicas para energia, quantidade de movimento e massa. A massa não é mais conservada independentemente, porque foi incluída na energia relativística total. Isso torna a conservação relativística de energia um conceito mais simples do que na mecânica não relativística, porque a energia total é conservada sem qualquer qualificação. A energia cinética convertida em calor ou energia potencial interna aparece como um aumento de massa.

Exemplo: Por causa da equivalência de massa e energia, as massas das partículas elementares são normalmente expressas em unidades de energia, onde 1 MeV = 10 6 elétron-volts. Um píon carregado é uma partícula de massa 139,57 MeV (aproximadamente 273 vezes a massa do elétron). É instável e decai em um múon de massa 105,66 MeV (aproximadamente 207 vezes a massa do elétron) e um antineutrino, que tem uma massa quase desprezível. A diferença entre a massa do píon e a massa do múon é de 33,91 MeV.

π

μ
+
ν
μ

A Fig. 3-12a ilustra o diagrama energia-momento para essa reação de decaimento no referencial de repouso do píon. Por causa de sua massa desprezível, um neutrino viaja muito próximo da velocidade da luz. A expressão relativística para sua energia, como a do fóton, é que também é o valor da componente espacial de seu momento. Para conservar o momento, o múon tem o mesmo valor da componente espacial do momento do neutrino, mas na direção oposta.

Análises algébricas da energética dessa reação de decaimento estão disponíveis online, então a Fig. 3-12b apresenta uma solução de calculadora gráfica. A energia do neutrino é 29,79 MeV, e a energia do múon é 33,91 MeV − 29,79 MeV = 4,12 MeV . A maior parte da energia é transportada pelo neutrino de massa próxima de zero.

Além do básico

Os tópicos desta seção são de dificuldade técnica significativamente maior do que os das seções anteriores e não são essenciais para a compreensão da Introdução ao espaço-tempo curvo.

Rapidez

Figura 4-1a. Um raio através do círculo unitário x 2 + y 2 = 1 no ponto (cos a , sen a ) , onde a é o dobro da área entre o raio, o círculo e o eixo x .
Figura 4-1b. Um raio através da hipérbole unitária x 2y 2 = 1 no ponto (cosh a , sinh a ) , onde a é o dobro da área entre o raio, a hipérbole e o eixo x .
Figura 4–2. Gráfico das três funções hiperbólicas básicas : seno hiperbólico ( sinh ), cosseno hiperbólico ( cosh ) e tangente hiperbólica ( tanh ). Sinh é vermelho, cosh é azul e tanh é verde.

As transformações de Lorentz relacionam as coordenadas dos eventos em um referencial com as de outro referencial. A composição relativística de velocidades é usada para somar duas velocidades. As fórmulas para realizar os últimos cálculos são não lineares, tornando-as mais complexas do que as fórmulas galileanas correspondentes.

Essa não linearidade é um artefato de nossa escolha de parâmetros. Observamos anteriormente que em um diagrama de espaço-tempo x-ct , os pontos em algum intervalo de espaço-tempo constante da origem formam uma hipérbole invariante. Também notamos que os sistemas de coordenadas de dois referenciais de espaço-tempo em configuração padrão são girados hiperbolicamente um em relação ao outro.

As funções naturais para expressar essas relações são os análogos hiperbólicos das funções trigonométricas . A Fig. 4-1a mostra um círculo unitário com sen( a ) e cos( a ), a única diferença entre este diagrama e o círculo unitário familiar da trigonometria elementar é que a é interpretado, não como o ângulo entre o raio e o x -eixo , mas como duas vezes a área do setor varrida pelo raio do eixo x . (Numericamente, as medidas de ângulo e 2 × área para o círculo unitário são idênticas.) A Fig. 4-1b mostra uma hipérbole unitária com sinh( a ) e cosh( a ), onde a também é interpretado como duas vezes a área colorida. A Fig. 4-2 apresenta gráficos das funções sinh, cosh e tanh.

Para o círculo unitário, a inclinação do raio é dada por

No plano cartesiano, a rotação do ponto ( x , y ) no ponto ( x ' , y ' ) pelo ângulo θ é dada por

Em um diagrama de espaço-tempo, o parâmetro de velocidade é o análogo da inclinação. A rapidez , φ , é definida por

Onde

A rapidez definida acima é muito útil na relatividade especial porque muitas expressões assumem uma forma consideravelmente mais simples quando expressas em termos dela. Por exemplo, a rapidez é simplesmente aditiva na fórmula de adição de velocidade colinear;

ou em outras palavras,

As transformações de Lorentz assumem uma forma simples quando expressas em termos de rapidez. O fator γ pode ser escrito como

As transformações que descrevem o movimento relativo com velocidade uniforme e sem rotação dos eixos das coordenadas espaciais são chamadas de boosts .

Substituindo γ e γβ nas transformações apresentadas anteriormente e reescrevendo em forma de matriz, o impulso de Lorentz na direção x pode ser escrito como

e o impulso inverso de Lorentz na direção x pode ser escrito como

Em outras palavras, os impulsos de Lorentz representam rotações hiperbólicas no espaço-tempo de Minkowski.

As vantagens do uso de funções hiperbólicas são tais que alguns livros didáticos, como os clássicos de Taylor e Wheeler, introduzem seu uso muito cedo.

4-vetores

Quatro vetores foram mencionados acima no contexto do vetor energia-momento 4 , mas sem grande ênfase. De fato, nenhuma das derivações elementares da relatividade especial as exige. Mas uma vez compreendidos, 4-vetores , e mais geralmente tensores , simplificam muito a matemática e a compreensão conceitual da relatividade especial. Trabalhar exclusivamente com tais objetos leva a fórmulas que são manifestamente relativisticamente invariantes, o que é uma vantagem considerável em contextos não triviais. Por exemplo, demonstrar a invariância relativística das equações de Maxwell em sua forma usual não é trivial, enquanto é meramente um cálculo de rotina (realmente não mais do que uma observação) usando a formulação do tensor de força de campo . Por outro lado, a relatividade geral, desde o início, depende muito de 4-vetores , e mais geralmente tensores, representando entidades fisicamente relevantes. Relacioná-los através de equações que não dependem de coordenadas específicas requer tensores, capazes de conectar esses 4-vetores mesmo dentro de um espaço-tempo curvo , e não apenas dentro de um plano como na relatividade especial. O estudo de tensores está fora do escopo deste artigo, que fornece apenas uma discussão básica do espaço-tempo.

Definição de 4-vetores

Uma tupla de 4 é um "vetor de 4" se seu componente A i se transformar entre quadros de acordo com a transformação de Lorentz.

Se estiver usando coordenadas, A é um 4-vetor se ele se transforma (na direção x ) de acordo com

que vem da simples substituição de ct por A 0 e x por A 1 na apresentação anterior da transformação de Lorentz.

Como de costume, quando escrevemos x , t , etc. geralmente queremos dizer Δx , Δt etc.

As últimas três componentes de um vetor 4 devem ser um vetor padrão no espaço tridimensional. Portanto, um vetor 4 deve se transformar como nas transformações de Lorentz, bem como nas rotações.

Propriedades de 4 vetores

  • Fechamento sob combinação linear: Se A e B são 4 vetores , então também é um vetor 4 .
  • Invariância do produto interno: Se A e B são 4-vetores , então seu produto interno (produto escalar) é invariante, ou seja, seu produto interno é independente do referencial no qual é calculado. Observe como o cálculo do produto interno difere do cálculo do produto interno de um 3-vetor . No seguinte, e são 3-vetores :
Além de ser invariante sob a transformação de Lorentz, o produto interno acima também é invariante sob rotação em 3-espaço .
Dois vetores são ditos ortogonais se Ao contrário do caso com 3-vetores, 4-vetores ortogonais não são necessariamente perpendiculares entre si. A regra é que dois 4-vetores são ortogonais se forem deslocados por ângulos iguais e opostos da linha de 45° que é a linha mundial de um raio de luz. Isso implica que um vetor 4 semelhante à luz é ortogonal consigo mesmo .
  • Invariância da magnitude de um vetor: A magnitude de um vetor é o produto interno de um 4-vetor consigo mesmo, e é uma propriedade independente do referencial. Tal como acontece com os intervalos, a magnitude pode ser positiva, negativa ou zero, de modo que os vetores são referidos como tipo tempo, tipo espaço ou nulo (tipo luz). Observe que um vetor nulo não é o mesmo que um vetor zero. Um vetor nulo é aquele para o qual enquanto um vetor zero é aquele cujos componentes são todos zero. Casos especiais que ilustram a invariância da norma incluem o intervalo invariante e o comprimento invariante do vetor momento relativístico

Exemplos de 4-vetores

  • Deslocamento 4-vetor: Também conhecido como separação espaço -tempo , isto é ( Δt, Δx, Δy, Δz ), ou para separações infinitesimais, ( dt, dx, dy, dz ) .
  • Velocidade 4-vetor: Isso resulta quando o deslocamento 4-vetor é dividido por , onde é o tempo adequado entre os dois eventos que produzem dt, dx, dy e dz .
Figura 4-3a. Os quadros de referência em movimento momentâneo de uma partícula em aceleração, conforme observado de um quadro estacionário.
Figura 4-3b. Os referenciais momentaneamente móveis ao longo da trajetória de um observador em aceleração (centro).
A 4-velocidade é tangente à linha de mundo de uma partícula e tem um comprimento igual a uma unidade de tempo no quadro da partícula.
Uma partícula acelerada não possui um referencial inercial no qual está sempre em repouso. No entanto, sempre pode ser encontrado um referencial inercial que está momentaneamente comovendo com a partícula. Esse quadro, o quadro de referência momentaneamente comovente (MCRF), permite a aplicação da relatividade especial à análise de partículas aceleradas.
Como os fótons se movem em linhas nulas, para um fóton e uma velocidade de 4 não podem ser definidas. Não há nenhum quadro em que um fóton esteja em repouso, e nenhum MCRF pode ser estabelecido ao longo do caminho de um fóton.
  • Energia-momento 4-vetor:
Como indicado anteriormente, existem vários tratamentos para o 4-vetor energia-momento, de modo que também se pode vê-lo expresso como ou O primeiro componente é a energia total (incluindo a massa) da partícula (ou sistema de partículas) em um determinado quadro , enquanto os demais componentes são seu momento espacial. O 4-vetor energia-momento é uma quantidade conservada.
  • Aceleração 4-vetor: Isso resulta da derivada da velocidade 4-vetor em relação a
  • Força 4-vetor: Esta é a derivada do momento 4-vetor em relação a

Como esperado, os componentes finais dos 4 vetores acima são todos os 3 vetores padrão correspondentes ao 3-momentum espacial , 3-force etc.

4-vetores e lei física

O primeiro postulado da relatividade especial declara a equivalência de todos os referenciais inerciais. Uma lei física válida em um quadro deve ser aplicada em todos os quadros, pois de outra forma seria possível diferenciar os quadros. Os momentos newtonianos não se comportam adequadamente sob a transformação lorentziana, e Einstein preferiu mudar a definição de momento para uma envolvendo 4 vetores em vez de desistir da conservação do momento.

As leis físicas devem ser baseadas em construções que são independentes de estrutura. Isso significa que as leis físicas podem assumir a forma de equações conectando escalares, que são sempre independentes do referencial. No entanto, equações envolvendo 4-vetores requerem o uso de tensores com rank apropriado, que podem ser considerados como sendo construídos a partir de 4-vetores .

Aceleração

É um equívoco comum que a relatividade especial é aplicável apenas a referenciais inerciais e que é incapaz de lidar com objetos acelerados ou referenciais acelerados. Na verdade, objetos acelerados geralmente podem ser analisados ​​sem a necessidade de lidar com quadros acelerados. É somente quando a gravitação é significativa que a relatividade geral é necessária.

No entanto, o manuseio adequado de quadros de aceleração requer alguns cuidados. A diferença entre a relatividade especial e geral é que (1) Na relatividade especial, todas as velocidades são relativas, mas a aceleração é absoluta. (2) Na relatividade geral, todo movimento é relativo, seja inercial, acelerado ou rotativo. Para acomodar essa diferença, a relatividade geral usa o espaço-tempo curvo.

Nesta seção, analisamos vários cenários envolvendo referenciais acelerados.

Paradoxo da nave espacial Dewan-Beran-Bell

O paradoxo da nave espacial Dewan-Beran-Bell (o paradoxo da nave espacial de Bell ) é um bom exemplo de um problema em que o raciocínio intuitivo não auxiliado pela visão geométrica da abordagem do espaço-tempo pode levar a problemas.

Figura 4-4. Paradoxo da nave espacial Dewan-Beran-Bell

Na Fig. 4-4, duas naves espaciais idênticas flutuam no espaço e estão em repouso uma em relação à outra. Eles são conectados por uma corda que é capaz de apenas uma quantidade limitada de alongamento antes de quebrar. Em um dado instante em nosso referencial, o referencial do observador, ambas as naves aceleram na mesma direção ao longo da linha entre elas com a mesma aceleração própria constante. A corda vai quebrar?

Quando o paradoxo era novo e relativamente desconhecido, mesmo os físicos profissionais tinham dificuldade em encontrar a solução. Duas linhas de raciocínio levam a conclusões opostas. Ambos os argumentos, que são apresentados a seguir, são falhos, embora um deles produza a resposta correta.

  1. Para os observadores no referencial de repouso, as espaçonaves começam a uma distância L e permanecem na mesma distância durante a aceleração. Durante a aceleração, L é uma distância contraída de comprimento da distância L ' = γL no quadro das naves espaciais em aceleração. Após um tempo suficientemente longo, γ aumentará para um fator suficientemente grande para que a corda se rompa.
  2. Sejam A e B as naves traseiras e dianteiras. No quadro das naves espaciais, cada nave espacial vê a outra nave espacial fazendo a mesma coisa que ela está fazendo. A diz que B tem a mesma aceleração que ele, e B vê que A corresponde a cada movimento dela. Assim, as naves ficam à mesma distância, e a corda não se quebra.

O problema com o primeiro argumento é que não existe um "quadro das naves espaciais". Não pode haver, porque as duas naves medem uma distância crescente entre as duas. Como não há um quadro comum das naves espaciais, o comprimento da corda é mal definido. No entanto, a conclusão está correta, e o argumento está correto. O segundo argumento, no entanto, ignora completamente a relatividade da simultaneidade.

Figura 4–5. As linhas curvas representam as linhas do mundo de dois observadores A e B que aceleram na mesma direção com a mesma aceleração de magnitude constante. Em A' e B', os observadores param de acelerar. As linhas tracejadas são linhas de simultaneidade para qualquer observador antes da aceleração começar e após a aceleração parar.

Um diagrama de espaço-tempo (Fig. 4-5) torna a solução correta para esse paradoxo quase imediatamente evidente. Dois observadores no espaço-tempo Minkowski aceleram com aceleração de magnitude constante para o tempo adequado (aceleração e tempo decorrido medidos pelos próprios observadores, não por algum observador inercial). São comoventes e inerciais antes e depois desta fase. Na geometria de Minkowski, o comprimento ao longo da linha de simultaneidade acaba sendo maior que o comprimento ao longo da linha de simultaneidade .

O aumento do comprimento pode ser calculado com a ajuda da transformação de Lorentz. Se, conforme ilustrado na Fig. 4-5, a aceleração terminar, os navios permanecerão em um deslocamento constante em algum quadro Se e são as posições dos navios nas posições do quadro são:

O "paradoxo", por assim dizer, vem da maneira como Bell construiu seu exemplo. Na discussão usual da contração de Lorentz, o comprimento de repouso é fixo e o comprimento de movimento diminui conforme medido no quadro . Conforme mostrado na Fig. 4-5, o exemplo de Bell afirma que os comprimentos móveis e medidos no quadro devem ser fixos, forçando assim o comprimento do restante do quadro no quadro a aumentar.

Observador acelerado com horizonte

Certas configurações de problemas de relatividade especial podem levar a insights sobre fenômenos normalmente associados à relatividade geral, como horizontes de eventos . No texto que acompanha a Fig. 2-7 , as hipérboles magenta representavam caminhos reais que são rastreados por um viajante em constante aceleração no espaço-tempo. Durante os períodos de aceleração positiva, a velocidade do viajante aproxima -se apenas da velocidade da luz, enquanto, medida em nosso referencial, a aceleração do viajante diminui constantemente.

Figura 4–6. Observador relativístico acelerado com horizonte. Outra ilustração bem desenhada do mesmo tópico pode ser vista aqui .

A Fig. 4-6 detalha várias características dos movimentos do viajante com mais especificidade. Em qualquer momento, seu eixo espacial é formado por uma linha que passa pela origem e sua posição atual na hipérbole, enquanto seu eixo do tempo é a tangente à hipérbole em sua posição. O parâmetro de velocidade se aproxima do limite de um à medida que aumenta. Da mesma forma, aproxima-se do infinito.

A forma da hipérbole invariante corresponde a um caminho de aceleração própria constante. Isso é demonstrável da seguinte forma:

  1. Nós lembramos que
  2. Desde que concluímos que
  3. Da lei da força relativística,
  4. Substituindo da etapa 2 e a expressão da etapa 3 produz que é uma expressão constante.

A Fig. 4-6 ilustra um cenário específico calculado. Terence (A) e Stella (B) estão inicialmente juntos a 100 horas-luz da origem. Stella decola no tempo 0, sua espaçonave acelerando a 0,01 c por hora. A cada vinte horas, Terence transmite atualizações por rádio para Stella sobre a situação em casa (linhas verdes sólidas). Stella recebe essas transmissões regulares, mas a distância crescente (compensada em parte pela dilatação do tempo) faz com que ela receba as comunicações de Terence cada vez mais tarde, conforme medido em seu relógio, e ela nunca recebe nenhuma comunicação de Terence após 100 horas em seu relógio (verde tracejado linhas).

Após 100 horas de acordo com o relógio de Terence, Stella entra em uma região escura. Ela viajou para fora do futuro temporal de Terence. Por outro lado, Terence pode continuar recebendo as mensagens de Stella indefinidamente. Ele só tem que esperar o suficiente. O espaço-tempo foi dividido em regiões distintas separadas por um horizonte de eventos aparente . Enquanto Stella continuar acelerando, ela nunca saberá o que acontece por trás desse horizonte.

Introdução ao espaço-tempo curvo

Proposições básicas

As teorias de Newton supunham que o movimento ocorre contra o pano de fundo de um referencial euclidiano rígido que se estende por todo o espaço e todo o tempo. A gravidade é mediada por uma força misteriosa, agindo instantaneamente à distância, cujas ações são independentes do espaço intermediário. Em contraste, Einstein negou que haja qualquer referencial euclidiano de fundo que se estenda por todo o espaço. Tampouco existe uma força gravitacional, apenas a estrutura do próprio espaço-tempo.

Figura 5–1. Efeitos de maré.

Em termos de espaço-tempo, o caminho de um satélite orbitando a Terra não é ditado pelas influências distantes da Terra, Lua e Sol. Em vez disso, o satélite se move pelo espaço apenas em resposta às condições locais. Como o espaço-tempo é localmente plano em todos os lugares quando considerado em uma escala suficientemente pequena, o satélite está sempre seguindo uma linha reta em seu referencial inercial local. Dizemos que o satélite sempre segue o caminho de uma geodésica . Nenhuma evidência de gravitação pode ser descoberta acompanhando os movimentos de uma única partícula.

Em qualquer análise do espaço-tempo, a evidência da gravitação requer que se observe as acelerações relativas de dois corpos ou duas partículas separadas. Na Fig. 5-1, duas partículas separadas, em queda livre no campo gravitacional da Terra, exibem acelerações de maré devido a heterogeneidades locais no campo gravitacional, de modo que cada partícula segue um caminho diferente através do espaço-tempo. As acelerações de maré que essas partículas exibem umas em relação às outras não requerem forças para sua explicação. Em vez disso, Einstein os descreveu em termos da geometria do espaço-tempo, ou seja, a curvatura do espaço-tempo. Essas acelerações de maré são estritamente locais. É o efeito total cumulativo de muitas manifestações locais de curvatura que resultam no aparecimento de uma força gravitacional atuando a uma longa distância da Terra.

Duas proposições centrais fundamentam a relatividade geral.

  • O primeiro conceito crucial é a independência de coordenadas: as leis da física não podem depender de qual sistema de coordenadas se usa. Esta é uma grande extensão do princípio da relatividade da versão usada na relatividade especial, que afirma que as leis da física devem ser as mesmas para cada observador que se move em referenciais não acelerados (inerciais). Na relatividade geral, para usar as palavras do próprio Einstein (traduzidas), "as leis da física devem ser de tal natureza que se apliquem a sistemas de referência em qualquer tipo de movimento". Isso leva a um problema imediato: em quadros acelerados, sente-se forças que aparentemente permitiriam avaliar seu estado de aceleração em um sentido absoluto. Einstein resolveu este problema através do princípio da equivalência.
Figura 5–2. Princípio de equivalência
  • O princípio da equivalência afirma que em qualquer região do espaço suficientemente pequena, os efeitos da gravitação são os mesmos da aceleração.
Na Fig. 5-2, a pessoa A está em uma nave espacial, longe de qualquer objeto massivo, que sofre uma aceleração uniforme de g . A pessoa B está em uma caixa descansando na Terra. Desde que a espaçonave seja suficientemente pequena para que os efeitos das marés não sejam mensuráveis ​​(dada a sensibilidade da instrumentação de medição da gravidade atual, A e B presumivelmente deveriam ser liliputianos ), não há experimentos que A e B possam realizar que lhes permita dizer em qual configuração eles estão.
Uma expressão alternativa do princípio da equivalência é notar que na lei da gravitação universal de Newton, F = GMm g /r 2 = m g g e na segunda lei de Newton, F = m i a , não há razão a priori pela qual a força gravitacional massa m g deve ser igual à massa inercial m i . O princípio da equivalência afirma que essas duas massas são idênticas.

Ir da descrição elementar acima do espaço-tempo curvo para uma descrição completa da gravitação requer cálculo tensorial e geometria diferencial, tópicos que requerem estudo considerável. Sem essas ferramentas matemáticas, é possível escrever sobre relatividade geral, mas não é possível demonstrar quaisquer derivações não triviais.

Curvatura do tempo

Figura 5–3. O argumento de Einstein sugerindo desvio para o vermelho gravitacional

Na discussão da relatividade especial, as forças não desempenhavam mais do que um papel de segundo plano. A relatividade especial assume a capacidade de definir quadros inerciais que preenchem todo o espaço-tempo, cujos relógios funcionam na mesma taxa que o relógio na origem. Isso é realmente possível? Em um campo gravitacional não uniforme, a experiência dita que a resposta é não. Os campos gravitacionais tornam impossível construir um referencial inercial global . Em regiões suficientemente pequenas do espaço-tempo, quadros inerciais locais ainda são possíveis. A relatividade geral envolve a costura sistemática desses quadros locais em uma imagem mais geral do espaço-tempo.

Anos antes da publicação da teoria geral em 1916, Einstein usou o princípio da equivalência para prever a existência do desvio para o vermelho gravitacional no seguinte experimento mental : (i) Suponha que uma torre de altura h (Fig. 5-3) tenha sido construída. (ii) Solte uma partícula de massa em repouso m do topo da torre. Ele cai livremente com aceleração g , atingindo o solo com velocidade v = (2 gh ) 1/2 , de modo que sua energia total E , medida por um observador no solo, é (iii) Um conversor massa-energia transforma a energia total energia da partícula em um único fóton de alta energia, que direciona para cima. (iv) No topo da torre, um conversor energia-massa transforma a energia do fóton E ' de volta em uma partícula de massa de repouso m ' .

Deve ser que m = m ' , pois de outra forma seria possível construir um dispositivo de movimento perpétuo . Portanto, prevemos que E ' = m , de modo que

Um fóton subindo no campo gravitacional da Terra perde energia e é desviado para o vermelho. As primeiras tentativas de medir este desvio para o vermelho através de observações astronômicas foram um tanto inconclusivas, mas observações laboratoriais definitivas foram realizadas por Pound & Rebka (1959) e mais tarde por Pound & Snider (1964).

A luz tem uma frequência associada, e essa frequência pode ser usada para controlar o funcionamento de um relógio. O redshift gravitacional leva a uma importante conclusão sobre o próprio tempo: a gravidade faz o tempo correr mais devagar. Suponha que construímos dois relógios idênticos cujas taxas são controladas por alguma transição atômica estável. Coloque um relógio no topo da torre, enquanto o outro permanece no chão. Um experimentador no topo da torre observa que os sinais do relógio de solo são mais baixos em frequência do que os do relógio ao lado dele na torre. A luz subindo a torre é apenas uma onda, e é impossível que as cristas das ondas desapareçam no caminho. Exatamente tantas oscilações de luz chegam ao topo da torre quanto foram emitidas na parte inferior. O experimentador conclui que o relógio de solo está lento e pode confirmar isso abaixando o relógio da torre para comparar lado a lado com o relógio de solo. Para uma torre de 1 km, a discrepância seria de cerca de 9,4 nanossegundos por dia, facilmente mensurável com instrumentação moderna.

Os relógios em um campo gravitacional não funcionam todos na mesma taxa. Experimentos como o experimento Pound-Rebka estabeleceram firmemente a curvatura do componente tempo do espaço-tempo. O experimento Pound-Rebka não diz nada sobre a curvatura do componente espaço do espaço-tempo. Mas os argumentos teóricos que predizem a dilatação gravitacional do tempo não dependem dos detalhes da relatividade geral. Qualquer teoria da gravidade irá prever a dilatação do tempo gravitacional se respeitar o princípio da equivalência. Isso inclui a gravitação newtoniana. Uma demonstração padrão na relatividade geral é mostrar como, no " limite newtoniano " (ou seja, as partículas estão se movendo lentamente, o campo gravitacional é fraco e o campo é estático), a curvatura do tempo por si só é suficiente para derivar a lei da gravidade de Newton .

A gravitação newtoniana é uma teoria do tempo curvo. A relatividade geral é uma teoria do tempo curvo e do espaço curvo. Dado G como a constante gravitacional, M como a massa de uma estrela newtoniana e corpos em órbita de massa insignificante a uma distância r da estrela, o intervalo de espaço-tempo para a gravitação newtoniana é aquele para o qual apenas o coeficiente de tempo é variável:

Curvatura do espaço

O coeficiente na frente de descreve a curvatura do tempo na gravitação newtoniana, e essa curvatura explica completamente todos os efeitos gravitacionais newtonianos. Como esperado, este fator de correção é diretamente proporcional a e , e por causa do no denominador, o fator de correção aumenta à medida que se aproxima do corpo gravitante, o que significa que o tempo é curvo.

Mas a relatividade geral é uma teoria do espaço curvo e do tempo curvo, portanto, se houver termos modificando os componentes espaciais do intervalo espaço-tempo apresentado acima, seus efeitos não deveriam ser vistos, digamos, em órbitas planetárias e de satélites devido aos fatores de correção de curvatura aplicados aos termos espaciais?

A resposta é que eles são vistos, mas os efeitos são minúsculos. A razão é que as velocidades planetárias são extremamente pequenas em comparação com a velocidade da luz, de modo que, para planetas e satélites do sistema solar, o termo supera os termos espaciais.

Apesar da minúcia dos termos espaciais, as primeiras indicações de que algo estava errado com a gravitação newtoniana foram descobertas há mais de um século e meio. Em 1859, Urbain Le Verrier , em uma análise das observações cronometradas disponíveis de trânsitos de Mercúrio sobre o disco do Sol de 1697 a 1848, relatou que a física conhecida não poderia explicar a órbita de Mercúrio, a menos que possivelmente existisse um planeta ou cinturão de asteróides dentro do órbita de Mercúrio. O periélio da órbita de Mercúrio exibiu uma taxa de precessão excessiva sobre aquela que poderia ser explicada pelos puxões dos outros planetas. A capacidade de detectar e medir com precisão o valor do minuto desta precessão anômala (apenas 43 segundos de arco por século tropical ) é testemunho da sofisticação da astrometria do século XIX .

Figura 5–4. A relatividade geral é uma teoria do tempo curvo e do espaço curvo. Clique aqui para animar.

Como o famoso astrônomo que havia descoberto anteriormente a existência de Netuno "na ponta de sua caneta" analisando oscilações na órbita de Urano, o anúncio de Le Verrier desencadeou um longo período de duas décadas de "Vulcan-mania", como profissional e amador os astrônomos também caçavam o hipotético novo planeta. Esta busca incluiu vários avistamentos falsos de Vulcano. Em última análise, foi estabelecido que tal planeta ou cinturão de asteróides não existia.

Em 1916, Einstein mostraria que essa precessão anômala de Mercúrio é explicada pelos termos espaciais na curvatura do espaço-tempo. A curvatura no termo temporal, sendo simplesmente uma expressão da gravitação newtoniana, não tem nenhum papel na explicação dessa precessão anômala. O sucesso de seu cálculo foi uma indicação poderosa para os colegas de Einstein de que a teoria geral da relatividade poderia estar correta.

A mais espetacular das previsões de Einstein foi seu cálculo de que os termos de curvatura nos componentes espaciais do intervalo espaço-tempo poderiam ser medidos na curvatura da luz em torno de um corpo maciço. A luz tem uma inclinação de ±1 em um diagrama de espaço-tempo. Seu movimento no espaço é igual ao seu movimento no tempo. Para a expressão de campo fraco do intervalo invariante, Einstein calculou uma curvatura de sinal exatamente igual, mas oposta em seus componentes espaciais.

Na gravitação de Newton, o coeficiente na frente de prevê a curvatura da luz em torno de uma estrela. Na relatividade geral, o coeficiente na frente prevê uma duplicação da flexão total.

A história da expedição do eclipse de Eddington em 1919 e a ascensão de Einstein à fama é bem contada em outros lugares.

Fontes de curvatura do espaço-tempo

Figura 5-5. Componentes contravariantes do tensor de tensão-energia

Na teoria da gravitação de Newton , a única fonte de força gravitacional é a massa .

Em contraste, a relatividade geral identifica várias fontes de curvatura do espaço-tempo além da massa. Nas equações de campo de Einstein , as fontes de gravidade são apresentadas no lado direito do tensor tensão-energia .

A Fig. 5-5 classifica as várias fontes de gravidade no tensor tensão-energia:

  • (vermelho): A densidade total de massa-energia, incluindo quaisquer contribuições para a energia potencial das forças entre as partículas, bem como a energia cinética de movimentos térmicos aleatórios.
  • e (laranja): Estes são termos de densidade de momento. Mesmo que não haja movimento em massa, a energia pode ser transmitida por condução de calor, e a energia conduzida carregará momento.
  • são as taxas de fluxo do componente i da quantidade de movimento por unidade de área na direção j . Mesmo que não haja movimento em massa, movimentos térmicos aleatórios das partículas darão origem ao fluxo de momento, de modo que os termos i = j (verde) representam pressão isotrópica e os termos ij (azul) representam tensões de cisalhamento.

Uma conclusão importante a ser derivada das equações é que, coloquialmente falando, a própria gravidade cria gravidade . A energia tem massa. Mesmo na gravidade newtoniana, o campo gravitacional está associado a uma energia, chamada energia potencial gravitacional . Na relatividade geral, a energia do campo gravitacional realimenta a criação do campo gravitacional. Isso torna as equações não lineares e difíceis de resolver em qualquer outra coisa que não seja casos de campo fraco. A relatividade numérica é um ramo da relatividade geral que usa métodos numéricos para resolver e analisar problemas, muitas vezes empregando supercomputadores para estudar buracos negros , ondas gravitacionais , estrelas de nêutrons e outros fenômenos no regime de campo forte.

Momento de energia

Figura 5-6. (esquerda) Massa-energia distorce o espaço-tempo. (direita) Distribuições de massa-energia rotativas com momento angular J geram campos gravitomagnéticos H .

Na relatividade especial, a massa-energia está intimamente ligada ao momento . Assim como o espaço e o tempo são aspectos diferentes de uma entidade mais abrangente chamada espaço-tempo, massa-energia e momento são apenas aspectos diferentes de uma quantidade unificada de quatro dimensões chamada de quatro momentos . Em consequência, se massa-energia é uma fonte de gravidade, o momento também deve ser uma fonte. A inclusão do momento como fonte de gravidade leva à previsão de que massas em movimento ou em rotação podem gerar campos análogos aos campos magnéticos gerados por cargas em movimento, fenômeno conhecido como gravitomagnetismo .

Figura 5–7. Origem do gravitomagnetismo

É bem conhecido que a força do magnetismo pode ser deduzida aplicando-se as regras da relatividade especial a cargas em movimento. (Uma demonstração eloquente disso foi apresentada por Feynman no volume II, capítulo 13-6 de suas Lectures on Physics , disponíveis online.) Lógica análoga pode ser usada para demonstrar a origem do gravitomagnetismo. Na Fig. 5-7a, duas correntes paralelas e infinitamente longas de partículas massivas têm velocidades iguais e opostas − v e + v em relação a uma partícula de teste em repouso e centrada entre as duas. Por causa da simetria da configuração, a força resultante sobre a partícula central é zero. Suponha que as velocidades sejam simplesmente aditivas. A Fig. 5-7b mostra exatamente a mesma configuração, mas no quadro do fluxo superior. A partícula de teste tem uma velocidade de + v , e a corrente de fundo tem uma velocidade de +2 v . Como a situação física não mudou, apenas o quadro em que as coisas são observadas, a partícula de teste não deve ser atraída por nenhum dos fluxos. Mas não está claro que as forças exercidas sobre a partícula de teste sejam iguais. (1) Como o fluxo de fundo está se movendo mais rápido que o de cima, cada partícula no fluxo de fundo tem uma energia de massa maior do que uma partícula no topo. (2) Por causa da contração de Lorentz, há mais partículas por unidade de comprimento no fluxo inferior do que no fluxo superior. (3) Outra contribuição para a massa gravitacional ativa da corrente de fundo vem de um termo de pressão adicional que, neste momento, não temos antecedentes suficientes para discutir. Todos esses efeitos juntos aparentemente exigiriam que a partícula de teste fosse puxada para o fluxo de fundo.

A partícula de teste não é atraída para a corrente de fundo devido a uma força dependente da velocidade que serve para repelir uma partícula que está se movendo na mesma direção da corrente de fundo. Este efeito gravitacional dependente da velocidade é o gravitamagnetismo.

A matéria em movimento através de um campo gravitomagnético está, portanto, sujeita aos chamados efeitos de arraste de quadro análogos à indução eletromagnética . Foi proposto que tais forças gravitomagnéticas estão subjacentes à geração dos jatos relativísticos (Fig. 5-8) ejetados por alguns buracos negros supermassivos em rotação .

Pressão e estresse

As grandezas que estão diretamente relacionadas à energia e ao momento também devem ser fontes de gravidade, ou seja, pressão interna e estresse . Juntos, massa-energia , momento, pressão e estresse servem como fontes de gravidade: coletivamente, eles são o que diz ao espaço-tempo como se curvar.

A relatividade geral prevê que a pressão atua como uma fonte gravitacional com exatamente a mesma força que a densidade de massa-energia. A inclusão da pressão como fonte de gravidade leva a diferenças dramáticas entre as previsões da relatividade geral versus as da gravitação newtoniana. Por exemplo, o termo de pressão define um limite máximo para a massa de uma estrela de nêutrons . Quanto mais massiva uma estrela de nêutrons, mais pressão é necessária para suportar seu peso contra a gravidade. O aumento da pressão, no entanto, aumenta a gravidade que atua na massa da estrela. Acima de uma certa massa determinada pelo limite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff , o processo se torna descontrolado e a estrela de nêutrons colapsa em um buraco negro .

Os termos de estresse tornam-se altamente significativos ao realizar cálculos como simulações hidrodinâmicas de supernovas de colapso de núcleo.

Essas previsões para os papéis da pressão, momento e estresse como fontes de curvatura do espaço-tempo são elegantes e desempenham um papel importante na teoria. Em relação à pressão, o universo primitivo era dominado pela radiação, e é altamente improvável que qualquer um dos dados cosmológicos relevantes (por exemplo , abundâncias de nucleossíntese , etc.) mesma força que uma fonte de gravidade como massa-energia. Da mesma forma, a consistência matemática das equações de campo de Einstein seria quebrada se os termos de tensão não contribuíssem como fonte de gravidade.

Teste experimental das fontes de curvatura do espaço-tempo

Definições: Massa ativa, passiva e inercial

Bondi distingue entre diferentes tipos possíveis de massa: (1) massa ativa ( ) é a massa que atua como fonte de um campo gravitacional; (2) massa passiva ( ) é a massa que reage a um campo gravitacional; (3) massa inercial ( ) é a massa que reage à aceleração.

Na teoria newtoniana,

  • A terceira lei de ação e reação dita isso e deve ser a mesma.
  • Por outro lado, se e são iguais é um resultado empírico.

Na relatividade geral,

  • A igualdade de e é ditada pelo princípio da equivalência.
  • Não existe um princípio de "ação e reação" ditando qualquer relação necessária entre e .

Pressão como fonte gravitacional

Figura 5–9. (A) Experiência Cavendish, (B) Experiência Kreuzer

O experimento clássico para medir a força de uma fonte gravitacional (isto é, sua massa ativa) foi realizado pela primeira vez em 1797 por Henry Cavendish (Fig. 5-9a). Duas bolas pequenas, mas densas, estão suspensas em um fio fino, fazendo um equilíbrio de torção . Aproximar duas grandes massas de teste das esferas introduz um torque detectável. Dadas as dimensões do aparelho e a constante de mola mensurável do fio de torção, a constante gravitacional G pode ser determinada.

Estudar os efeitos da pressão comprimindo as massas de teste é inútil, porque as pressões de laboratório atingíveis são insignificantes em comparação com a massa-energia de uma bola de metal.

No entanto, as pressões eletromagnéticas repulsivas resultantes de prótons sendo fortemente espremidos dentro de núcleos atômicos são tipicamente da ordem de 10 28  atm ≈ 10 33  Pa ≈ 10 33  kg·s −2 m −1 . Isso equivale a cerca de 1% da densidade de massa nuclear de aproximadamente 10 18 kg/m 3 (após fatorar em c 2 ≈ 9×10 16 m 2 s −2 ).

Figura 5-10. Experiência de alcance do laser lunar. (esquerda) Este retrorrefletor foi deixado na Lua por astronautas na missão Apollo 11 . (à direita) Astrônomos de todo o mundo refletiram a luz do laser nos retrorrefletores deixados pelos astronautas da Apollo e rovers lunares russos para medir com precisão a distância Terra-Lua.

Se a pressão não atua como fonte gravitacional, então a razão deve ser menor para núcleos com maior número atômico Z , nos quais as pressões eletrostáticas são maiores. LB Kreuzer (1968) fez um experimento de Cavendish usando uma massa de Teflon suspensa em uma mistura dos líquidos tricloroetileno e dibromoetano com a mesma densidade de flutuação do Teflon (Fig. 5-9b). O flúor tem número atômico Z = 9 , enquanto o bromo tem Z = 35 . Kreuzer descobriu que o reposicionamento da massa de Teflon não causava deflexão diferencial da barra de torção, portanto, estabelecendo que a massa ativa e a massa passiva eram equivalentes a uma precisão de 5× 10-5 .

Embora Kreuzer originalmente considerasse esse experimento meramente como um teste da razão entre massa ativa e massa passiva, Clifford Will (1976) reinterpretou o experimento como um teste fundamental do acoplamento de fontes a campos gravitacionais.

Em 1986, Bartlett e Van Buren notaram que o laser lunar detectou um deslocamento de 2 km entre o centro da figura da lua e seu centro de massa. Isso indica uma assimetria na distribuição de Fe (abundante no núcleo da Lua) e Al (abundante em sua crosta e manto). Se a pressão não contribuísse igualmente para a curvatura do espaço-tempo como a massa-energia, a lua não estaria na órbita prevista pela mecânica clássica. Eles usaram suas medidas para apertar os limites de quaisquer discrepâncias entre massa ativa e passiva para cerca de 10-12 .

Gravitomagnetismo

Figura 5-11. Gravity Probe B confirmou a existência de gravitomagnetismo

A existência de gravitomagnetismo foi comprovada pela Gravity Probe B (GP-B) , uma missão baseada em satélite lançada em 20 de abril de 2004. A fase de voo espacial durou até. O objetivo da missão era medir a curvatura do espaço-tempo perto da Terra, com ênfase particular no gravitamagnetismo .

Os resultados iniciais confirmaram o efeito geodésico relativamente grande (que é devido à simples curvatura do espaço-tempo e também é conhecido como precessão de Sitter) com uma precisão de cerca de 1%. O efeito de arrasto de quadro muito menor (que é devido ao gravitomagnetismo e também é conhecido como precessão de Lense-Thirring ) era difícil de medir por causa de efeitos de carga inesperados, causando desvio variável nos giroscópios. Mesmo assim, por, o efeito de arrasto do quadro foi confirmado para dentro de 15% do resultado esperado, enquanto o efeito geodésico foi confirmado para melhor que 0,5%.

As medições subsequentes de arraste de quadros por observações de alcance a laser dos satélites LARES , LAGEOS -1 e LAGEOS-2 melhoraram a medição GP-B , com resultados (a partir de 2016) demonstrando o efeito dentro de 5% de seu valor teórico, embora tenha havido algum desacordo sobre a precisão deste resultado.

Outro esforço, o experimento Gyroscopes in General Relativity (GINGER), busca usar três lasers de anel de 6 m montados em ângulos retos entre si 1400 m abaixo da superfície da Terra para medir esse efeito.

Tópicos técnicos

O espaço-tempo é realmente curvo?

Na visão convencionalista de Poincaré , os critérios essenciais segundo os quais se deve selecionar uma geometria euclidiana versus não euclidiana seriam a economia e a simplicidade. Um realista diria que Einstein descobriu que o espaço-tempo não é euclidiano. Um convencionalista diria que Einstein simplesmente achou mais conveniente usar a geometria não-euclidiana. O convencionalista sustentaria que a análise de Einstein não dizia nada sobre o que realmente é a geometria do espaço-tempo.

Dito isso,

1. É possível representar a relatividade geral em termos de espaço-tempo plano?
2. Existem situações em que uma interpretação do espaço-tempo plano da relatividade geral pode ser mais conveniente do que a interpretação usual do espaço-tempo curvo?

Em resposta à primeira pergunta, vários autores, incluindo Deser, Grishchuk, Rosen, Weinberg, etc., forneceram várias formulações da gravitação como um campo em uma variedade plana. Essas teorias são chamadas de " gravidade bimétrica ", a "abordagem teórica de campo para a relatividade geral", e assim por diante. Kip Thorne forneceu uma revisão popular dessas teorias.

O paradigma do espaço-tempo plano postula que a matéria cria um campo gravitacional que faz com que as réguas encolham quando passam da orientação circunferencial para a radial, e isso faz com que as taxas de tique-taque dos relógios se dilatem. O paradigma do espaço-tempo plano é totalmente equivalente ao paradigma do espaço-tempo curvo, pois ambos representam os mesmos fenômenos físicos. No entanto, suas formulações matemáticas são totalmente diferentes. Os físicos que trabalham rotineiramente alternam entre o uso de técnicas de espaço-tempo curvo e plano, dependendo dos requisitos do problema. O paradigma do espaço-tempo plano acaba sendo especialmente conveniente ao realizar cálculos aproximados em campos fracos. Assim, técnicas de espaço-tempo plano serão usadas na resolução de problemas de ondas gravitacionais, enquanto técnicas de espaço-tempo curvo serão usadas na análise de buracos negros.

Simetrias assintóticas

O grupo de simetria do espaço-tempo para a Relatividade Especial é o grupo de Poincaré , que é um grupo de dez dimensões de três impulsos de Lorentz, três rotações e quatro translações do espaço-tempo. É lógico perguntar que simetrias se podem aplicar na Relatividade Geral . Um caso tratável pode ser considerar as simetrias do espaço-tempo vistas por observadores localizados longe de todas as fontes do campo gravitacional. A expectativa ingênua para simetrias de espaço-tempo assintoticamente planas pode ser simplesmente estender e reproduzir as simetrias de espaço-tempo plano da relatividade especial, viz. , o grupo Poincaré.

Em 1962 Hermann Bondi , MG van der Burg, AW Metzner e Rainer K. Sachs abordaram este problema de simetria assintótica para investigar o fluxo de energia no infinito devido à propagação de ondas gravitacionais . Seu primeiro passo foi decidir sobre algumas condições de contorno fisicamente sensíveis para colocar no campo gravitacional no infinito semelhante à luz para caracterizar o que significa dizer que uma métrica é assintoticamente plana, sem fazer suposições a priori sobre a natureza do grupo de simetria assintótica – nem mesmo a suposição de que tal grupo existe. Então, depois de projetar o que eles consideraram as condições de contorno mais sensatas, eles investigaram a natureza das transformações de simetria assintótica resultantes que deixam invariante a forma das condições de contorno apropriadas para campos gravitacionais assintóticos. O que eles descobriram foi que as transformações de simetria assintótica realmente formam um grupo e a estrutura desse grupo não depende do campo gravitacional específico que está presente. Isso significa que, como esperado, pode-se separar a cinemática do espaço-tempo da dinâmica do campo gravitacional pelo menos no infinito espacial. A surpresa intrigante em 1962 foi a descoberta de um grupo rico de dimensão infinita (o chamado grupo BMS) como o grupo de simetria assintótica, em vez do grupo de Poincaré de dimensão finita, que é um subgrupo do grupo BMS. Não só as transformações de Lorentz são transformações assintóticas de simetria, mas também transformações adicionais que não são transformações de Lorentz, mas são transformações assintóticas de simetria. Na verdade, eles encontraram uma infinidade adicional de geradores de transformação conhecidos como supertraduções . Isso implica a conclusão de que a Relatividade Geral (GR) não se reduz à relatividade especial no caso de campos fracos a longas distâncias.

Geometria Riemanniana

A geometria riemanniana é o ramo da geometria diferencial que estuda as variedades riemannianas , variedades suaves com uma métrica riemanniana , ou seja, com um produto interno no espaço tangente em cada ponto que varia suavemente de ponto a ponto. Isso dá, em particular, noções locais de ângulo , comprimento de curvas , área de superfície e volume . A partir delas, algumas outras quantidades globais podem ser derivadas integrando contribuições locais.

A geometria riemanniana originou-se com a visão de Bernhard Riemann expressa em sua palestra inaugural " Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen " ("Sobre as hipóteses em que se baseia a geometria") É uma generalização muito ampla e abstrata do diferencial geometria de superfícies em R 3 . O desenvolvimento da geometria riemanniana resultou na síntese de diversos resultados relativos à geometria de superfícies e ao comportamento das geodésicas sobre elas, com técnicas que podem ser aplicadas ao estudo de variedades diferenciáveis ​​de dimensões superiores. Permitiu a formulação da teoria geral da relatividade de Einstein , causou profundo impacto na teoria dos grupos e na teoria da representação , bem como na análise , e estimulou o desenvolvimento da topologia algébrica e diferencial .

Coletores curvos

Por razões físicas, um contínuo espaço-tempo é definido matematicamente como uma variedade Lorentziana quadridimensional, suave e conectada . Isso significa que a métrica suave de Lorentz tem assinatura . A métrica determina a geometria do espaço -tempo , bem como determinar ageodésicade partículas e feixes de luz. Sobre cada ponto (evento) neste manifold,gráficos de coordenadassão usados ​​para representar observadores em referenciais. Normalmente, as coordenadas cartesianassão usadas. Além disso, para simplificar, as unidades de medida são geralmente escolhidas de modo que a velocidade da luzseja igual a 1.

Um quadro de referência (observador) pode ser identificado com um desses gráficos de coordenadas; qualquer observador pode descrever qualquer evento . Outro quadro de referência pode ser identificado por um segundo gráfico de coordenadas em torno de . Dois observadores (um em cada referencial) podem descrever o mesmo evento, mas obter descrições diferentes.

Normalmente, muitos gráficos de coordenadas sobrepostos são necessários para cobrir um manifold. Dados dois gráficos de coordenadas, um contendo (representando um observador) e outro contendo (representando outro observador), a interseção dos gráficos representa a região do espaço-tempo em que ambos os observadores podem medir quantidades físicas e, portanto, comparar resultados. A relação entre os dois conjuntos de medidas é dada por uma transformação de coordenadas não singulares nesta interseção. A ideia de gráficos de coordenadas como observadores locais que podem realizar medições em sua vizinhança também faz sentido físico, pois é assim que se coleta dados físicos – localmente.

Por exemplo, dois observadores, um dos quais está na Terra, mas o outro que está em um foguete rápido para Júpiter, podem observar um cometa colidindo com Júpiter (este é o evento ). Em geral, eles discordarão sobre a localização exata e o momento desse impacto, ou seja, eles terão 4 tuplas diferentes (já que estão usando sistemas de coordenadas diferentes). Embora suas descrições cinemáticas sejam diferentes, as leis dinâmicas (físicas), como a conservação do momento e a primeira lei da termodinâmica, ainda serão válidas. De fato, a teoria da relatividade exige mais do que isso no sentido de que estipula que essas (e todas as outras leis físicas) devem assumir a mesma forma em todos os sistemas de coordenadas. Isso introduz tensores na relatividade, pelos quais todas as quantidades físicas são representadas.

As geodésicas são ditas do tipo tempo, nulas ou do tipo espaço se o vetor tangente a um ponto da geodésica for dessa natureza. Caminhos de partículas e feixes de luz no espaço-tempo são representados por geodésicas tipo tempo e nulas (tipo luz), respectivamente.

Personagem privilegiado do espaço-tempo 3+1

Propriedades de espaços-tempos n + m dimensionais

Existem dois tipos de dimensões: espacial (bidirecional) e temporal (unidirecional). Seja o número de dimensões espaciais N e o número de dimensões temporais T. Que N = 3 e T = 1, deixando de lado as dimensões compactadas invocadas pela teoria das cordas e indetectáveis ​​até hoje, pode ser explicado apelando para as consequências físicas de deixar N diferir de 3 e T diferir de 1. O argumento é muitas vezes de um caráter antrópico e possivelmente o primeiro de seu tipo, embora antes do conceito completo entrar em voga.

A noção implícita de que a dimensionalidade do universo é especial é atribuída pela primeira vez a Gottfried Wilhelm Leibniz , que no Discurso da Metafísica sugeriu que o mundo é " aquele que é ao mesmo tempo o mais simples em hipóteses e o mais rico em fenômenos ". Immanuel Kant argumentou que o espaço tridimensional era uma consequência da lei do inverso do quadrado da gravitação universal . Embora o argumento de Kant seja historicamente importante, John D. Barrow disse que ele "entende a questão de trás para a frente: é a tridimensionalidade do espaço que explica por que vemos as leis da força do quadrado inverso na Natureza, e não vice-versa". (Barrow 2002: 204).

Em 1920, Paul Ehrenfest mostrou que, se houver apenas uma dimensão de tempo e mais de três dimensões espaciais, a órbita de um planeta em torno de seu Sol não pode permanecer estável. O mesmo vale para a órbita de uma estrela em torno do centro de sua galáxia . Ehrenfest também mostrou que, se houver um número par de dimensões espaciais, as diferentes partes de um impulso de onda viajarão em velocidades diferentes. Se houver dimensões espaciais, onde k é um número inteiro positivo, então os impulsos de onda tornam-se distorcidos. Em 1922, Hermann Weyl mostrou que a teoria do eletromagnetismo de Maxwell funciona apenas com três dimensões do espaço e uma do tempo. Finalmente, Tangherlini mostrou em 1963 que quando há mais de três dimensões espaciais, os orbitais de elétrons ao redor dos núcleos não podem ser estáveis; elétrons cairiam no núcleo ou se dispersariam.

Max Tegmark expande o argumento anterior da seguinte maneira antrópica. Se T difere de 1, o comportamento dos sistemas físicos não pode ser previsto de forma confiável a partir do conhecimento das equações diferenciais parciais relevantes . Em tal universo, a vida inteligente capaz de manipular a tecnologia não poderia surgir. Além disso, se T > 1, Tegmark sustenta que prótons e elétrons seriam instáveis ​​e poderiam decair em partículas com massa maior do que eles. (Isso não é um problema se as partículas tiverem uma temperatura suficientemente baixa.)

Por fim, se N < 3, a gravitação de qualquer tipo se torna problemática e o universo provavelmente é simples demais para conter observadores. Por exemplo, quando N < 3, os nervos não podem cruzar sem se cruzar.

Portanto, argumentos antrópicos e outros excluem todos os casos, exceto N = 3 e T = 1, que descrevem o mundo ao nosso redor.

Em 2019, James Scargill argumentou que a vida complexa pode ser possível com duas dimensões espaciais. De acordo com Scargill, uma teoria puramente escalar da gravidade pode permitir uma força gravitacional local, e as redes 2D podem ser suficientes para redes neurais complexas.

Veja também

Notas

Detalhes adicionais

Referências

Leitura adicional

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