Teorema espectral - Spectral theorem

Em matemática , particularmente álgebra linear e análise funcional , um teorema espectral é um resultado sobre quando um operador linear ou matriz pode ser diagonalizado (isto é, representado como uma matriz diagonal em alguma base). Isso é extremamente útil porque os cálculos envolvendo uma matriz diagonalizável podem frequentemente ser reduzidos a cálculos muito mais simples envolvendo a matriz diagonal correspondente. O conceito de diagonalização é relativamente simples para operadores em espaços vetoriais de dimensão finita, mas requer algumas modificações para operadores em espaços de dimensão infinita. Em geral, o teorema espectral identifica uma classe de operadores lineares que podem ser modelados por operadores de multiplicação , que são tão simples quanto se pode esperar encontrar. Em uma linguagem mais abstrata, o teorema espectral é uma afirmação sobre C * -álgebras comutativas . Veja também a teoria espectral para uma perspectiva histórica.

Exemplos de operadores aos quais o teorema espectral se aplica são operadores auto-adjuntos ou, mais geralmente, operadores normais em espaços de Hilbert .

O teorema espectral também fornece uma decomposição canônica , chamada de decomposição espectral , do espaço vetorial subjacente no qual o operador atua.

Augustin-Louis Cauchy provou o teorema espectral para matrizes simétricas , ou seja, que toda matriz real simétrica é diagonalizável. Além disso, Cauchy foi o primeiro a ser sistemático sobre os determinantes. O teorema espectral generalizado por John von Neumann é hoje talvez o resultado mais importante da teoria dos operadores.

Este artigo concentra-se principalmente no tipo mais simples de teorema espectral, aquele para um operador auto-adjunto em um espaço de Hilbert. No entanto, como observado acima, o teorema espectral também é válido para operadores normais em um espaço de Hilbert.

Caso de dimensão finita

Mapas hermitianos e matrizes hermitianas

Começamos considerando uma matriz Hermitiana em (mas a discussão a seguir será adaptável ao caso mais restritivo de matrizes simétricas em ). Consideramos um mapa Hermitiano A em um espaço de produto interno complexo de dimensão finita V dotado de um produto interno sesquilinear definido positivo . A condição Hermitiana em significa que para todos os x , y ∈ V , ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, Ay \ rangle.}$

Uma condição equivalente é que A ^* = A , onde A ^* é o conjugado Hermitiana de Uma . No caso em que A é identificado com uma matriz Hermitiana, a matriz de A ^* pode ser identificada com sua transposta conjugada . (Se A é uma matriz real , isso é equivalente a A ^T = A , ou seja, A é uma matriz simétrica .)

Esta condição implica que todos os autovalores de um mapa Hermitiano são reais: basta aplicá-la ao caso em que x = y é um autovetor. (Lembre-se de que um autovetor de um mapa linear A é um vetor (diferente de zero) x tal que Ax = λx para algum escalar λ . O valor λ é o autovalor correspondente . Além disso, os autovalores são raízes do polinômio característico .)

Teorema . Se A é Hermitiana, existe uma base ortonormal de V que consiste em vectores próprios de Uma . Cada autovalor é real.

Fornecemos um esboço de uma prova para o caso em que o campo subjacente dos escalares são os números complexos .

Pelo teorema fundamental da álgebra , aplicado ao polinômio característico de A , há pelo menos um autovalor λ ₁ e autovetor e ₁ . Então desde

${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ langle e_ {1}, e_ {1} \ rangle = \ langle A (e_ {1}), e_ {1} \ rangle = \ langle e_ {1}, A (e_ {1}) \ rangle = {\ bar {\ lambda}} _ {1} \ langle e_ {1}, e_ {1} \ rangle,}$

descobrimos que λ ₁ é real. Agora considere o espaço K = span { e ₁ } ^⊥ , o complemento ortogonal de e ₁ . Por Hermiticity, K é um subespaço invariante de Uma . Aplicando o mesmo argumento para K mostra que A tem um autovetor e ₂ ∈ K . A indução finita então termina a prova.

O teorema espectral também vale para mapas simétricos em espaços de produto interno real de dimensão finita, mas a existência de um autovetor não decorre imediatamente do teorema fundamental da álgebra . Para provar isso, considere A como uma matriz Hermitiana e use o fato de que todos os autovalores de uma matriz Hermitiana são reais.

A representação matricial de A em uma base de vetores próprios é diagonal e, pela construção, a prova fornece uma base de vetores próprios ortogonais mutuamente; escolhendo-os como vetores unitários, obtém-se uma base ortonormal de vetores próprios. A pode ser escrito como uma combinação linear de projeções ortogonais de pares, chamada de decomposição espectral . Deixar

${\ displaystyle V _ {\ lambda} = \ {v \ in V: Av = \ lambda v \}}$

ser o espaço próprio correspondente a um valor próprio λ . Observe que a definição não depende de nenhuma escolha de autovetores específicos. V é a soma direta ortogonal dos espaços V _λ onde o índice varia sobre os autovalores.

Em outras palavras, se P _λ denota a projeção ortogonal em V _λ , e λ ₁ , ..., λ _m são os autovalores de A , então a decomposição espectral pode ser escrita como

${\ displaystyle A = \ lambda _ {1} P _ {\ lambda _ {1}} + \ cdots + \ lambda _ {m} P _ {\ lambda _ {m}}.}$

Se a decomposição espectral de A é , então e para qualquer escalar Segue-se que para qualquer polinômio f um tem ${\ displaystyle A = \ lambda _ {1} P_ {1} + \ cdots + \ lambda _ {m} P_ {m}}$${\ displaystyle A ^ {2} = (\ lambda _ {1}) ^ {2} P_ {1} + \ cdots + (\ lambda _ {m}) ^ {2} P_ {m}}$${\ displaystyle \ mu A = \ mu \ lambda _ {1} P_ {1} + \ cdots + \ mu \ lambda _ {m} P_ {m}}$${\ displaystyle \ mu.}$

${\ displaystyle f (A) = f (\ lambda _ {1}) P_ {1} + \ cdots + f (\ lambda _ {m}) P_ {m}.}$

A decomposição espectral é um caso especial tanto da decomposição de Schur quanto da decomposição de valor singular .

Matrizes normais

O teorema espectral se estende a uma classe mais geral de matrizes. Seja A um operador em um espaço de produto interno de dimensão finita. A é considerado normal se A ^* A = AA ^* . Pode-se mostrar que A é normal se e somente se for unitariamente diagonalizável. Prova: pela decomposição de Schur , podemos escrever qualquer matriz como A = UTU ^* , onde U é unitário e T é triangular superior. Se A é normal, vê-se que TT ^* = T ^* T . Portanto, T deve ser diagonal, pois uma matriz triangular superior normal é diagonal (consulte a matriz normal ). O oposto é óbvio.

Em outras palavras, A é normal se e somente se existe uma matriz unitária U tal que

${\ displaystyle A = UDU ^ {*},}$

onde D é uma matriz diagonal . Em seguida, as entradas da diagonal de D são os valores próprios de uma . Os vetores coluna de U são os autovetores de A e são ortonormais. Ao contrário do caso hermitiano, as entradas de D não precisam ser reais.

Operadores auto-adjuntos compactos

No cenário mais geral dos espaços de Hilbert, que podem ter uma dimensão infinita, o enunciado do teorema espectral para operadores autoadjuntos compactos é virtualmente o mesmo que no caso de dimensão finita.

Teorema . Suponha Um é um operador de auto-adjunta compacto em um (real ou complexa) espaço de Hilbert V . Em seguida, há uma base ortonormal de V que consiste em vectores próprios de Uma . Cada autovalor é real.

Quanto às matrizes Hermitianas, o ponto chave é provar a existência de pelo menos um autovetor diferente de zero. Não se pode confiar em determinantes para mostrar a existência de autovalores, mas pode-se usar um argumento de maximização análogo à caracterização variacional de autovalores.

Se a suposição de compacidade é removido, é não verdade que cada operador autoadjunto tem eigenvectors.

Operadores autoadjuntos limitados

Possível ausência de autovetores

A próxima generalização nós consideramos é que de limitadas operadores auto-adjuntos em um espaço de Hilbert. Esses operadores podem não ter valores próprios: por exemplo, seja A o operador de multiplicação por t em , ou seja, ${\ displaystyle L ^ {2} ([0,1])}$

${\ displaystyle [A \ varphi] (t) = t \ varphi (t). \;}$

Este operador não possui autovetores em , embora tenha autovetores em um espaço maior. Ou seja, a distribuição , onde é a função delta de Dirac , é um autovetor quando interpretado em um sentido apropriado. A função delta de Dirac, entretanto, não é uma função no sentido clássico e não se encontra no espaço de Hilbert L ² [0, 1] ou em qualquer outro espaço de Banach . Assim, as funções delta são "autovetores generalizados", mas não autovetores no sentido usual. ${\ displaystyle L ^ {2} ([0,1])}$ ${\ displaystyle \ varphi (t) = \ delta (t-t_ {0})}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle A}$

Subespaços espectrais e medidas com valor de projeção

Na ausência de (verdadeiros) vetores próprios, pode-se procurar subespaços que consistem em quase vetores próprios . No exemplo acima, por exemplo, onde podemos considerar o subespaço de funções suportadas em um pequeno intervalo interno . Este espaço é invariável em e para qualquer um neste subespaço, está muito próximo de . Nesta abordagem ao teorema espectral, se for um operador auto-adjunto limitado, procura-se por grandes famílias de tais "subespaços espectrais". Cada subespaço, por sua vez, é codificado pelo operador de projeção associado e a coleção de todos os subespaços é então representada por uma medida com valor de projeção . ${\ displaystyle [A \ varphi] (t) = t \ varphi (t), \;}$${\ displaystyle [a, a + \ varepsilon]}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle A \ varphi}$${\ displaystyle a \ varphi}$${\ displaystyle A}$

Uma formulação do teorema espectral expressa o operador A como uma integral da função de coordenada sobre o espectro do operador com relação a uma medida de valor de projeção. ${\ displaystyle \ sigma (A)}$

${\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} \ lambda \, dE _ {\ lambda}.}$

Quando o operador auto-adjunto em questão é compacto , esta versão do teorema espectral se reduz a algo semelhante ao teorema espectral de dimensão finita acima, exceto que o operador é expresso como uma combinação linear finita ou contavelmente infinita de projeções, ou seja, a medida consiste apenas em átomos.

Versão do operador de multiplicação

Uma formulação alternativa do teorema espectral diz que todo operador auto-adjunto limitado é unitariamente equivalente a um operador de multiplicação. A importância desse resultado é que os operadores de multiplicação são, de muitas maneiras, fáceis de entender.

Teorema . Deixe Um ser um operador de auto-adjunta limitada no espaço de Hilbert H . Então, há um espaço de medida ( X , Σ, μ ) e uma função mensurável essencialmente limitada de valor real f em X e um operador unitário U : H → L ² _μ ( X ) tal que

${\ displaystyle U ^ {*} TU = A,}$

onde T é o operador de multiplicação :

${\ displaystyle [T \ varphi] (x) = f (x) \ varphi (x).}$

e ${\ displaystyle \ | T \ | = \ | f \ | _ {\ infty}}$

O teorema espectral é o início da vasta área de pesquisa da análise funcional chamada teoria do operador ; veja também a medida espectral .

Há também um teorema espectral análogo para operadores normais limitados em espaços de Hilbert. A única diferença na conclusão é que agora f pode ter valor complexo.

Integrais diretos

Há também uma formulação do teorema espectral em termos de integrais diretas . É semelhante à formulação do operador de multiplicação, mas mais canônica.

Let Ser um operador auto-adjunto limitado e deixe ser o espectro de . A formulação direta integral do teorema espectral associa duas quantidades a . Em primeiro lugar, uma medida sobre e, segundo, uma família de espaços de Hilbert Em seguida, formar o espaço direta Hilbert integrante ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ sigma (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma (A)}$${\ displaystyle \ {H _ {\ lambda} \}, \, \, \ lambda \ in \ sigma (A).}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbf {R}} ^ {\ oplus} H _ {\ lambda} \, d \ mu (\ lambda).}$

Os elementos deste espaço são funções (ou "seções") de tal forma que para todos . A versão integral direta do teorema espectral pode ser expressa da seguinte forma: ${\ displaystyle s (\ lambda), \, \, \ lambda \ in \ sigma (A),}$${\ displaystyle s (\ lambda) \ in H _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ lambda}$

Teorema. Se for um operador auto-adjunto limitado, então é unitariamente equivalente ao operador "multiplicação por " em ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbf {R}} ^ {\ oplus} H _ {\ lambda} \, d \ mu (\ lambda)}$

para alguma medida e alguma família de espaços de Hilbert. A medida é determinada exclusivamente por até equivalência teórica de medida; ou seja, quaisquer duas medidas associadas à mesma têm os mesmos conjuntos de medida zero. As dimensões dos espaços de Hilbert são exclusivamente determinadas por até um conjunto de -medida zero. ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ {H _ {\ lambda} \}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle H _ {\ lambda}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mu}$

Os espaços podem ser pensados ​​como algo como "eigenspaces" para . Observe, entretanto, que a menos que o conjunto de um elemento tenha medida positiva, o espaço não é realmente um subespaço da integral direta. Assim, o 's deve ser pensado como "autespaço generalizado" - isto é, os elementos de são "autovetores" que não pertencem realmente ao espaço de Hilbert. ${\ displaystyle H _ {\ lambda}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ lambda}}$${\ displaystyle H _ {\ lambda}}$${\ displaystyle H _ {\ lambda}}$${\ displaystyle H _ {\ lambda}}$

Embora tanto o operador de multiplicação quanto as formulações integrais diretas do teorema espectral expressem um operador auto-adjunto como unitariamente equivalente a um operador de multiplicação, a abordagem integral direta é mais canônica. Primeiro, o conjunto sobre o qual a integral direta ocorre (o espectro do operador) é canônico. Em segundo lugar, a função pela qual estamos multiplicando é canônica na abordagem integral direta: simplesmente a função . ${\ displaystyle \ lambda \ mapsto \ lambda}$

Vetores cíclicos e espectro simples

Um vector é denominado um vector de cíclico para se vectores abrangem um subespaço denso do espaço de Hilbert. Suponha que seja um operador auto-adjunto limitado para o qual exista um vetor cíclico. Nesse caso, não há distinção entre as formulações do integral direto e do operador de multiplicação do teorema espectral. De fato, nesse caso, há uma medida no espectro de tal que é unitariamente equivalente ao operador "multiplicação por " em . Este resultado representa simultaneamente como um operador de multiplicação e como uma integral direta, uma vez que é apenas uma integral direta em que cada espaço de Hilbert é justo . ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ varphi, A \ varphi, A ^ {2} \ varphi, \ ldots}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle L ^ {2} (\ sigma (A), \ mu)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle L ^ {2} (\ sigma (A), \ mu)}$${\ displaystyle H _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Nem todo operador auto-adjunto limitado admite um vetor cíclico; de fato, pela unicidade na decomposição integral direta, isso pode ocorrer apenas quando todos os 's têm dimensão um. Quando isso acontece, dizemos que possui “espectro simples” no sentido da teoria da multiplicidade espectral . Ou seja, um operador auto-adjunto limitado que admite um vetor cíclico deve ser pensado como a generalização infinita-dimensional de uma matriz auto-adjunta com autovalores distintos (ou seja, cada autovalor tem multiplicidade um). ${\ displaystyle H _ {\ lambda}}$${\ displaystyle A}$

Embora nem todos admitam um vetor cíclico, é fácil ver que podemos decompor o espaço de Hilbert como uma soma direta de subespaços invariantes nos quais possui um vetor cíclico. Essa observação é a chave para as provas do operador de multiplicação e das formas integrais diretas do teorema espectral. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Cálculo funcional

Uma aplicação importante do teorema espectral (em qualquer forma) é a ideia de definir um cálculo funcional . Ou seja, dada uma função definida no espectro de , desejamos definir um operador . Se é simplesmente um poder positivo, e depois é apenas o poder de , . Os casos interessantes são onde está uma função não polinomial, como uma raiz quadrada ou exponencial. Qualquer uma das versões do teorema espectral fornece tal cálculo funcional. Na versão integral direta, por exemplo, atua como o operador de "multiplicação por " na integral direta: ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f (A)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (x) = x ^ {n}}$${\ displaystyle f (A)}$${\ displaystyle n \ mathrm {th}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {n}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (A)}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle [f (A) s] (\ lambda) = f (\ lambda) s (\ lambda)}$.

Ou seja, cada espaço na integral direta é um autoespaço (generalizado) para com autovalor . ${\ displaystyle H _ {\ lambda}}$${\ displaystyle f (A)}$${\ displaystyle f (\ lambda)}$

Operadores auto-adjuntos gerais

Muitos operadores lineares importantes que ocorrem na análise , como operadores diferenciais , são ilimitados. Há também um teorema espectral para operadores auto-adjuntos que se aplica a esses casos. Para dar um exemplo, todo operador diferencial de coeficiente constante é unitariamente equivalente a um operador de multiplicação. Na verdade, o operador unitário que implementa essa equivalência é a transformada de Fourier ; o operador de multiplicação é um tipo de multiplicador de Fourier .

Em geral, o teorema espectral para operadores auto-adjuntos pode assumir várias formas equivalentes. Notavelmente, todas as formulações fornecidas na seção anterior para operadores auto-adjuntos limitados - a versão de medida com valor de projeção, a versão do operador de multiplicação e a versão integral direta - continuam a valer para operadores auto-adjuntos ilimitados, com pequenos modificações técnicas para lidar com problemas de domínio.

Veja também

• Teorema de Hahn-Hellinger
• Teoria espectral de operadores compactos
• Teoria espectral de álgebras C * normais
• Cálculo funcional Borel
• Teoria espectral
• Decomposição de matriz
• Forma canônica
• Decomposição de Jordan , da qual a decomposição espectral é um caso especial.
• Decomposição de valores singulares , uma generalização do teorema espectral para matrizes arbitrárias.
• Eigendecomposition of a matrix
• Teorema de Wiener-Khinchin

Notas

Referências

• Sheldon Axler , Linear Algebra Done Right , Springer Verlag, 1997
• Hall, BC (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
• Paul Halmos , "O que o Teorema Espectral Diz?" , American Mathematical Monthly , volume 70, número 3 (1963), páginas 241-247. Outro link
• M. Reed e B. Simon , Methods of Mathematical Physics , vols I – IV, Academic Press 1972.
• G. Teschl , Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators , https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ , American Mathematical Society, 2009.
• Valter Moretti (2018). Teoria Espectral e Mecânica Quântica; Fundamentos matemáticos de teorias quânticas, simetrias e introdução à formulação algébrica 2ª edição . Springer. ISBN 978-3-319-70705-1.