Centro Spieker - Spieker center
Em geometria , o centro Spieker é um ponto especial associado com um avião triângulo . É definido como o centro de massa do perímetro do triângulo. O centro Spieker de um triângulo ABC é o centro de gravidade de uma armação de arame homogénea na forma de triângulo ABC. O ponto é nomeado em honra do século 19 alemão geômetra Theodor Spieker . O centro Spieker é um centro de triângulo e ela está listada como o ponto X (10) em Clark Kimberling 's Encyclopedia of Centros Triângulo .
Localização
O resultado seguinte pode ser usado para localizar o centro Spieker de qualquer triângulo.
- O centro Spieker do triângulo ABC é o incentro do triângulo medial do triângulo ABC.
Ou seja, o centro Spieker do triângulo ABC é o centro do círculo inscrito no triângulo medial do triângulo ABC . Este círculo é conhecido como o círculo Spieker .
O centro Spieker também está localizado na intersecção dos três cutelos de triângulo ABC. Um talhador de um triângulo é um segmento de recta que corta o perímetro do triângulo e tem um ponto de extremidade no ponto médio de um dos três lados. Cada cutelo contém o centro de massa do limite do triângulo ABC, de modo que os três cutelos atender no centro de Spieker.
Para verificar que o incentro do triângulo medial coincide com o ponto de intersecção dos cutelos, considerar uma estrutura de arame homogénea na forma de triângulo ABC consistindo de três fios, na forma de segmentos de linha que têm comprimentos de um , b , c . A armação de arame tem o mesmo centro de massa como um sistema de três partículas de massas a , b , c colocados nos pontos médios D , E , F dos lados BC , CA , AB . O centro de massa das partículas a E e F é o ponto P , que divide o segmento EF na proporção C : b . A linha de DP é a bissectriz interna de ∠ D . O centro de massa do sistema de três das partículas situa-se, assim, na bissectriz interna de ∠ D . Argumentos semelhantes mostram que o centro de massa do sistema de três das partículas situa-se nas bissectrizes internos de ∠ E e ∠ F também. Segue-se que o centro de massa da armação de arame é o ponto de convergência das bissectrizes internas dos ângulos do triângulo DEF , que é o incentro do medial triângulo DEF .
propriedades
Deixe- S ser o centro Spieker do triângulo ABC .
- As coordenadas trilineares de S são
- bc ( b + c ): CA ( c + a ): ab ( a + b ).
- As coordenadas baricêntricas de S são
- b + c : c + um : um + b .
- S é o centro radical das três excircles .
- S é o centro cleavance do triângulo ABC
- S é colinear com o incentro ( I ), o centrde ( L ), e o ponto Nagel ( M ) do triângulo ABC . Além disso,
- Assim, em uma linha de número adequadamente dimensionada e posicionada, I = 0, L = 2, S = 3, e M = 6.
- S encontra-se na hipérbole Kiepert . S é o ponto de convergência de linhas a AX , POR e CZ onde XBC , YCA e ZAB são similares, e os triângulos isósceles similarmente situados construídos sobre os lados do triângulo ABC como bases, tendo o ângulo de base comum tan -1 [castanho-amarelado ( A / 2) tan ( B / 2) tan ( C / 2)].