Interação spin-órbita - Spin–orbit interaction

Em física quântica , a interacção spin-órbita (também chamado efeito spin-órbita ou acoplamento spin-órbita ) é um relativista interacção de uma partícula de spin com o seu movimento no interior de um potencial . Um exemplo chave deste fenómeno é a interacção spin-órbita levando a deslocamentos em um electrão de níveis de energia atómica , devido a interacção electromagnética entre o electrão de dipolo magnético , o seu movimento orbital, e o campo electrostático do carregada positivamente núcleo . Esse fenômeno é detectável como uma divisão de linhas espectrais , que pode ser pensada como um produto do efeito Zeeman de dois efeitos relativísticos: o campo magnético aparente visto da perspectiva do elétron e o momento magnético do elétron associado ao seu spin intrínseco. Um efeito semelhante, devido à relação entre o momento angular e a força nuclear forte , ocorre para prótons e nêutrons que se movem dentro do núcleo, levando a uma mudança em seus níveis de energia no modelo da camada do núcleo . No campo da spintrônica , os efeitos spin-órbita para elétrons em semicondutores e outros materiais são explorados para aplicações tecnológicas. A interação spin-órbita é uma das causas da anisotropia magnetocristalina e do efeito Hall do spin .

Para os átomos, a divisão do nível de energia produzida pela interação spin-órbita é geralmente da mesma ordem em tamanho que as correções relativísticas para a energia cinética e o efeito zitterbewegung . A adição dessas três correções é conhecida como estrutura fina . A interação entre o campo magnético criado pelo elétron e o momento magnético do núcleo é uma correção mais leve para os níveis de energia conhecida como estrutura hiperfina .

Em níveis de energia atômica

Estrutura fina e hiperfina em hidrogênio (fora da escala).

Esta seção apresenta uma descrição relativamente simples e quantitativa da interação spin-órbita para um elétron ligado a um átomo semelhante ao hidrogênio , até a primeira ordem na teoria de perturbação , usando alguma eletrodinâmica semiclássica e mecânica quântica não relativística. Isso dá resultados que concordam razoavelmente bem com as observações.

Um cálculo rigoroso do mesmo resultado usaria a mecânica quântica relativística , usando a equação de Dirac , e incluiria interações de muitos corpos . Alcançar um resultado ainda mais preciso envolveria calcular pequenas correções da eletrodinâmica quântica .

Energia de um momento magnético

A energia de um momento magnético em um campo magnético é dada por

{\ displaystyle \ Delta H = - {\ boldsymbol {\ mu}} \ cdot \ mathbf {B},}

onde μ é o momento magnético da partícula e B é o campo magnético que ela experimenta.

Campo magnético

Trataremos primeiro do campo magnético . Embora no quadro resto do núcleo, não existe um campo magnético que actua sobre a electrões, não é um no quadro resto do electrão (ver electromagnetismo clássica e relatividade especial ). Ignorando por enquanto que este referencial não é inercial , em unidades SI acabamos com a equação

{\ displaystyle \ mathbf {B} = - {\ frac {\ mathbf {v} \ times \ mathbf {E}} {c ^ {2}}},}

onde v é a velocidade do elétron e E é o campo elétrico através do qual ele se desloca. Aqui, no limite não relativístico, assumimos que o fator de Lorentz . Agora sabemos que E é radial, então podemos reescrever . Também sabemos que o momento do elétron . Substituir isso e alterar a ordem do produto vetorial dá ${\ displaystyle \ gamma \ backsimeq 1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} = | E / r | \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = m _ {\ text {e}} \ mathbf {v}}$

{\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}} {m _ {\ text {e}} c ^ {2}}} \ left | {\ frac {E } {r}} \ right |.}

A seguir, expressamos o campo elétrico como o gradiente do potencial elétrico . Aqui fazemos a aproximação do campo central , ou seja, que o potencial eletrostático é esfericamente simétrico, portanto, é apenas uma função do raio. Esta aproximação é exata para hidrogênio e sistemas semelhantes ao hidrogênio. Agora podemos dizer que ${\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla V}$

{\ displaystyle | E | = \ left | {\ frac {\ partial V} {\ partial r}} \ right | = {\ frac {1} {e}} {\ frac {\ partial U (r)} { \ parcial r}},}

onde é a energia potencial do elétron no campo central e e é a carga elementar . Agora, lembramos da mecânica clássica que o momento angular de uma partícula . Juntando tudo, obtemos ${\ displaystyle U = eV}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}$

{\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ frac {1} {m _ {\ text {e}} ec ^ {2}}} {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ parcial U (r )} {\ partial r}} \ mathbf {L}.}

É importante notar neste ponto que B é um número positivo multiplicado por L , o que significa que o campo magnético é paralelo ao momento angular orbital da partícula, que é perpendicular à velocidade da partícula.

Momento magnético de spin do elétron

O momento magnético de spin do elétron é

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} _ {S} = - g _ {\ text {s}} \ mu _ {\ text {B}} {\ frac {\ mathbf {S}} {\ hbar}} ,}

onde é o vetor de momento angular de spin, é o magneto de Bohr e é o fator g de spin do elétron . Aqui está uma constante negativa multiplicada pelo spin , então o momento magnético do spin é antiparalelo ao momento angular do spin. ${\ displaystyle \ mathbf {S}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {\ text {B}}}$ ${\ displaystyle g _ {\ text {s}} \ aprox 2}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}}}$

O potencial spin-órbita consiste em duas partes. A parte de Larmor está conectada à interação do momento magnético de spin do elétron com o campo magnético do núcleo no quadro co-móvel do elétron. A segunda contribuição está relacionada à precessão de Thomas .

Energia de interação de Larmor

A energia de interação de Larmor é

{\ displaystyle \ Delta H _ {\ text {L}} = - {\ boldsymbol {\ mu}} \ cdot \ mathbf {B}.}

Substituindo nesta equação expressões para o momento magnético de spin e o campo magnético, obtém-se

{\ displaystyle \ Delta H _ {\ text {L}} = {\ frac {2 \ mu _ {\ text {B}}} {\ hbar m _ {\ text {e}} ec ^ {2}}} {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial U (r)} {\ partial r}} \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S}.}

Agora temos que levar em consideração a correção de precessão de Thomas para a trajetória curva do elétron.

Energia de interação de Thomas

Em 1926, Llewellyn Thomas recalculou relativisticamente a separação do dupleto na estrutura fina do átomo. A taxa de precessão de Thomas está relacionada à frequência angular do movimento orbital de uma partícula giratória da seguinte forma: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} _ {\ text {T}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} _ {\ text {T}} = - {\ boldsymbol {\ omega}} (\ gamma -1),}

onde está o fator de Lorentz da partícula em movimento. O hamiltoniano que produz a precessão do spin é dado por ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} _ {\ text {T}}}$

{\ displaystyle \ Delta H _ {\ text {T}} = {\ boldsymbol {\ Omega}} _ {\ text {T}} \ cdot \ mathbf {S}.}

Ao primeiro pedido em , obtemos ${\ displaystyle (v / c) ^ {2}}$

{\ displaystyle \ Delta H _ {\ text {T}} = - {\ frac {\ mu _ {\ text {B}}} {\ hbar m _ {\ text {e}} ec ^ {2}}} {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial U (r)} {\ partial r}} \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S}.}

Energia total de interação

O potencial spin-órbita total em um potencial eletrostático externo assume a forma

{\ displaystyle \ Delta H \ equiv \ Delta H _ {\ text {L}} + \ Delta H _ {\ text {T}} = {\ frac {\ mu _ {\ text {B}}} {\ hbar m_ { \ text {e}} ec ^ {2}}} {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial U (r)} {\ partial r}} \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf { S}.}

O efeito líquido da precessão de Thomas é a redução da energia de interação de Larmor pelo fator 1/2, que veio a ser conhecido como a metade de Thomas .

Avaliando a mudança de energia

Graças a todas as aproximações acima, podemos agora avaliar a mudança de energia detalhada neste modelo. Observe que L _z e S _z não são mais quantidades conservadas. Em particular, queremos encontrar uma nova base que diagonaliza ambos H ₀ (o não-perturbado Hamiltoniano) e Δ H . Para descobrir em que base isso é, primeiro definimos o operador de momento angular total

{\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S}.}

Pegando o produto escalar disso consigo, obtemos

{\ displaystyle \ mathbf {J} ^ {2} = \ mathbf {L} ^ {2} + \ mathbf {S} ^ {2} +2 \, \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S}}

(uma vez que L e S comutam) e, portanto,

{\ displaystyle \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S} = {\ frac {1} {2}} (\ mathbf {J} ^ {2} - \ mathbf {L} ^ {2} - \ mathbf { S} ^ {2})}

Pode ser mostrado que as cinco operadores H ₀ , J ² , L ² , S ² , e J _z todos comutar uns com os outros e com Δ H . Portanto, a base que estávamos procurando é a autobase simultânea desses cinco operadores (ou seja, a base em que todos os cinco são diagonais). Os elementos desta base têm os cinco números quânticos : (o "número quântico principal"), (o "número quântico do momento angular total"), (o "número quântico do momento angular orbital"), (o "número quântico de spin"), e (o " componente z do momento angular total"). ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle \ ell}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle j_ {z}}$

Para avaliar as energias, notamos que

{\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {1} {r ^ {3}}} \ right \ rangle = {\ frac {2} {a ^ {3} n ^ {3} \; \ ell (\ ell +1) (2 \ ell +1)}}}

para funções de onda hidrogenicas (aqui é o raio de Bohr dividido pela carga nuclear Z ); e ${\ displaystyle a = \ hbar / (Z \ alpha m _ {\ text {e}} c)}$

{\ displaystyle \ left \ langle \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S} \ right \ rangle = {\ frac {1} {2}} {\ big (} \ langle \ mathbf {J} ^ {2} \ rangle - \ langle \ mathbf {L} ^ {2} \ rangle - \ langle \ mathbf {S} ^ {2} \ rangle {\ big)} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2} } {\ big (} j (j + 1) - \ ell (\ ell +1) -s (s + 1) {\ big)}.}

Mudança de energia final

Agora podemos dizer que

{\ displaystyle \ Delta E = {\ frac {\ beta} {2}} {\ big (} j (j + 1) - \ ell (\ ell +1) -s (s + 1) {\ big)} ,}

Onde

{\ displaystyle \ beta = \ beta (n, l) = Z ^ {4} {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} g _ {\ text {s}} \ mu _ {\ text {B}} ^ {2} {\ frac {1} {n ^ {3} a_ {0} ^ {3} \; \ ell (\ ell +1/2) (\ ell +1)}}.}

Para obter o resultado relativístico exato, consulte as soluções da equação de Dirac para um átomo semelhante ao hidrogênio .

Em sólidos

Um sólido cristalino (semicondutor, metal etc.) é caracterizado por sua estrutura de banda . Embora na escala geral (incluindo os níveis centrais) a interação spin-órbita ainda seja uma pequena perturbação, ela pode desempenhar um papel relativamente mais importante se ampliarmos as bandas próximas ao nível de Fermi ( ). A interação atômica (spin-órbita), por exemplo, divide bandas que seriam degeneradas, e a forma particular dessa divisão spin-órbita (tipicamente da ordem de algumas centenas de milieletronvolts) depende do sistema particular. As bandas de interesse podem ser descritas por vários modelos eficazes, geralmente com base em alguma abordagem perturbativa. Um exemplo de como a interação spin-órbita atômica influencia a estrutura de bandas de um cristal é explicado no artigo sobre as interações de Rashba e Dresselhaus . ${\ displaystyle E _ {\ text {F}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S}}$

Em sólidos cristalinos contendo íons paramagnéticos, por exemplo, íons com subcamadas atômicas d ou f não fechadas, existem estados eletrônicos localizados. Neste caso, a estrutura dos níveis eletrônicos semelhantes aos atômicos é formada por interações spin-órbita magnética intrínseca e interações com campos elétricos cristalinos . Essa estrutura é denominada estrutura eletrônica fina . Para íons de terras raras , as interações spin-órbita são muito mais fortes do que as interações de campo elétrico de cristal (CEF). O forte acoplamento spin-órbita torna J um número quântico relativamente bom, porque o primeiro multipleto excitado está pelo menos ~ 130 meV (1500 K) acima do multipleto primário. O resultado é que enchê-lo à temperatura ambiente (300 K) é desprezivelmente pequeno. Nesse caso, um multipleto primário degenerado (2 J + 1) vezes dividido por um CEF externo pode ser tratado como a contribuição básica para a análise das propriedades de tais sistemas. No caso de cálculos aproximados por base , para determinar qual é o multipleto primário, os princípios de Hund , conhecidos da física atômica, são aplicados: ${\ displaystyle | J, J_ {z} \ rangle}$

O estado fundamental da estrutura dos termos tem o valor máximo S permitido pelo princípio de exclusão de Pauli .
O estado fundamental tem um valor L máximo permitido , com S máximo .
O multipleto primário tem um J = | L - S | quando a casca está menos da metade cheia e J = L + S , onde o preenchimento é maior.

O S , L e J do multipleto solo são determinados pelas regras de Hund . O multipleto terrestre é degenerado 2 J + 1 - sua degeneração é removida por interações CEF e interações magnéticas. As interações CEF e magnéticas se assemelham, de alguma forma, ao efeito Stark e Zeeman conhecido da física atômica . As energias e autofunções da estrutura eletrônica fina discreta são obtidas pela diagonalização da matriz (2 J + 1) -dimensional. A estrutura eletrônica fina pode ser detectada diretamente por muitos métodos espectroscópicos diferentes, incluindo os experimentos de espalhamento inelástico de nêutrons (INS). O caso de fortes interações CEF cúbicas (para íons de metal de transição 3 d ) formam um grupo de níveis (por exemplo, T _{2 g} , A _{2 g} ), que são parcialmente divididos por interações spin-órbita e (se ocorrerem) interações CEF de simetria inferior . As energias e autofunções da estrutura eletrônica fina discreta (para o termo mais baixo) são obtidas por diagonalização da matriz ( 2L + 1) (2S + 1) -dimensional. Na temperatura zero ( T = 0 K), apenas o estado mais baixo é ocupado. O momento magnético em T = 0 K é igual ao momento do estado fundamental. Permite a avaliação dos momentos total, spin e orbital. Os estados próprios e funções próprias correspondentes podem ser encontrados a partir da diagonalização direta da matriz hamiltoniana contendo campo cristalino e interações spin-órbita. Levando em consideração a população térmica de estados, a evolução térmica das propriedades de íon único do composto é estabelecida. Esta técnica é baseada na teoria do operador equivalente definida como o CEF ampliado por cálculos termodinâmicos e analíticos definidos como o suplemento da teoria CEF, incluindo cálculos termodinâmicos e analíticos. ${\ displaystyle | \ Gamma _ {n} \ rangle}$

Exemplos de hamiltonianos eficazes

Faixas de orifícios de um semicondutor de zinco-blenda em massa (3D) serão divididas em orifícios pesados e leves (que formam um quádruplo no ponto-da zona de Brillouin) e uma faixa de divisão ( dupleto). Incluindo duas bandas de condução ( dupleto no ponto-), o sistema é descrito pelo modelo efetivo de oito bandas de Kohn e Luttinger . Se apenas o topo da banda de valência for de interesse (por exemplo , quando , o nível de Fermi medido a partir do topo da banda de valência), o modelo efetivo de quatro bandas adequado é ${\ displaystyle \ Delta _ {0}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {8}}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {7}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {6}}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle E _ {\ text {F}} \ ll \ Delta _ {0}}$

{\ displaystyle H _ {\ text {KL}} (k _ {\ text {x}}, k _ {\ text {y}}, k _ {\ text {z}}) = - {\ frac {\ hbar ^ {2 }} {2m}} \ left [(\ gamma _ {1} + {\ textstyle {\ frac {5} {2}} \ gamma _ {2}}) k ^ {2} -2 \ gamma _ {2 } (J _ {\ text {x}} ^ {2} k _ {\ text {x}} ^ {2} + J _ {\ text {y}} ^ {2} k _ {\ text {y}} ^ {2 } + J _ {\ text {z}} ^ {2} k _ {\ text {z}} ^ {2}) - 2 \ gamma _ {3} \ sum _ {m \ neq n} J_ {m} J_ { n} k_ {m} k_ {n} \ direita]}

onde estão os parâmetros de Luttinger (análogos à massa efetiva única de um modelo de uma banda de elétrons) e são matrizes de momento angular 3/2 ( é a massa do elétron livre). Em combinação com a magnetização, este tipo de interação spin-órbita distorce as bandas eletrônicas dependendo da direção da magnetização, causando assim a anisotropia magnetocristalina (um tipo especial de anisotropia magnética ). Além disso, se o semicondutor não tiver simetria de inversão, as bandas de orifício exibirão divisão cúbica de Dresselhaus. Dentro das quatro bandas (buracos leves e pesados), o termo dominante é ${\ displaystyle \ gamma _ {1,2,3}}$ ${\ displaystyle J _ {{\ text {x}}, {\ text {y}}, {\ text {z}}}}$ ${\ displaystyle m}$

{\ displaystyle H _ {{\ text {D}} 3} = b_ {41} ^ {8 {\ text {v}} 8 {\ text {v}}} [(k _ {\ text {x}} k_ { \ text {y}} ^ {2} -k _ {\ text {x}} k _ {\ text {z}} ^ {2}) J _ {\ text {x}} + (k _ {\ text {y}} k _ {\ text {z}} ^ {2} -k _ {\ text {y}} k _ {\ text {x}} ^ {2}) J _ {\ text {y}} + (k _ {\ text {z }} k _ {\ text {x}} ^ {2} -k _ {\ text {z}} k _ {\ text {y}} ^ {2}) J _ {\ text {z}}]}

onde o parâmetro material para GaAs (ver pp. 72 no livro de Winkler, de acordo com dados mais recentes, a constante de Dresselhaus em GaAs é 9 eVÅ ³ ; o hamiltoniano total será ). O gás de elétron bidimensional em um poço quântico assimétrico (ou heteroestrutura) sentirá a interação de Rashba. O hamiltoniano efetivo de duas bandas apropriado é ${\ displaystyle b_ {41} ^ {8 {\ text {v}} 8 {\ text {v}}} = - 81,93 \, {\ text {meV}} \ cdot {\ text {nm}} ^ {3 }}$ ${\ displaystyle H _ {\ text {KL}} + H _ {{\ text {D}} 3}}$

{\ displaystyle H_ {0} + H _ {\ text {R}} = {\ frac {\ hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m ^ {*}}} \ sigma _ {0} + \ alpha (k _ {\ text {y}} \ sigma _ {\ text {x}} - k _ {\ text {x}} \ sigma _ {\ text {y}})}

onde está a matriz identidade 2 × 2, as matrizes de Pauli e a massa efetiva do elétron. A parte spin-órbita do hamiltoniano é parametrizada por , às vezes chamado de parâmetro Rashba (sua definição varia um pouco), que está relacionado à assimetria da estrutura. ${\ displaystyle \ sigma _ {0}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {{\ text {x}}, {\ text {y}}}}$ ${\ displaystyle m ^ {*}}$ ${\ displaystyle H _ {\ text {R}}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$

As expressões acima para matrizes de spin de pares de interação spin-órbita e para o quase-momento , e para o potencial vetorial de um campo elétrico AC através da substituição de Peierls . Eles são termos de ordem inferior da teoria de perturbação k · p de Luttinger-Kohn em potências de . Os próximos termos dessa expansão também produzem termos que acoplam os operadores de spin da coordenada do elétron . Na verdade, um produto vetorial é invariante em relação à inversão de tempo. Em cristais cúbicos, tem uma simetria de um vetor e adquire um significado de uma contribuição de spin-órbita para o operador de coordenada. Para elétrons em semicondutores com uma lacuna estreita entre as bandas de condução e de buraco pesado, Yafet derivou a equação ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {k}} = - i \ nabla - ({\ frac {e} {\ hbar c}}) {\ mathbf {A}}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ times {\ mathbf {k}})}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {\ text {SO}}}$ ${\ displaystyle E _ {\ rm {G}}}$

{\ displaystyle {\ mathbf {r}} _ {\ text {SO}} = {\ frac {\ hbar ^ {2} g} {4m_ {0}}} \ left ({\ frac {1} {E_ { \ rm {G}}}} + {\ frac {1} {E _ {\ rm {G}} + \ Delta _ {0}}} \ right) ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ times {\ mathbf {k}})}

onde é uma massa de elétron livre, e é um fator renormalizado para a interação spin-órbita. Este operador acopla o spin do elétron diretamente ao campo elétrico por meio da energia de interação . ${\ displaystyle m_ {0}}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {S}} = {\ tfrac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ ${\ displaystyle -e ({\ mathbf {r}} _ {\ text {SO}} \ cdot {\ mathbf {E}})}$

Campo eletromagnético oscilante

Ressonância de spin dipolo elétrico (EDSR) é o acoplamento do spin do elétron com um campo elétrico oscilante. Semelhante à ressonância de spin do elétron (ESR) em que os elétrons podem ser excitados com uma onda eletromagnética com a energia dada pelo efeito Zeeman , no EDSR a ressonância pode ser alcançada se a frequência estiver relacionada à divisão da banda de energia dada pelo spin– acoplamento de órbita em sólidos. Enquanto no ESR o acoplamento é obtido através da parte magnética da onda EM com o momento magnético do elétron, o ESDR é o acoplamento da parte elétrica com o spin e o movimento dos elétrons. Este mecanismo foi proposto para controlar o spin dos elétrons em pontos quânticos e outros sistemas mesoscópicos .

Veja também

Referências

Livros didáticos

Condon, Edward U. & Shortley, GH (1935). The Theory of Atomic Spectra . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09209-8 .
Griffiths, David J. (2004). Introdução à Mecânica Quântica (2ª ed.). Prentice Hall.
Landau, Lev ; Lifshitz, Evgeny . " 72. Estrutura fina dos níveis atômicos" ${\ displaystyle \ S}$ . Mecânica Quântica: Teoria Não Relativística, Volume 3 .
Yu, Peter Y .; Cardona, Manuel (1995). Fundamentos de Semicondutores . Springer.
Winkler, Roland (2003). Efeitos do acoplamento spin-órbita em sistemas bidimensionais de elétrons e buracos . Springer.

Leitura adicional

Manchon, Aurelien; Koo, Hyun Cheol; Nitta, Junsaku; Frolov, SM; Duine, RA (2015). "Novas perspectivas para o acoplamento rotação-órbita Rashba". Nature . 14 (9): 871–82. arXiv : 1507.02408 . Bibcode : 2015NatMa..14..871M . doi : 10.1038 / nmat4360 . PMID 26288976 . S2CID 24116488 .
Rashba, Emmanuel I. (2016). "O acoplamento spin-órbita torna-se global" . Journal of Physics: Condensed Matter . 28 (42): 421004. bibcode : 2016JPCM ... 28P1004R . doi : 10.1088 / 0953-8984 / 28/42/421004 . PMID 27556280 .

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