Número complexo dividido - Split-complex number

Em álgebra , um número complexo de divisão (ou número hiperbólica , também número perplexar , número duplo ) tem dois números reais componentes x e y , e é escrita z = x + y j , onde j 2 = 1 . O conjugado de z é z = x - y j . Como j 2 = 1 , o produto de um número z com seu conjugado é zz = x 2 - y 2 , uma forma quadrática isotrópica , N ( z ) = x 2 - y 2 .

A coleção D de todos os números complexos divididos z = x + y j para x , yR forma uma álgebra sobre o campo de números reais . Dois números complexos desdobrados w e z têm um produto wz que satisfaz N ( wz ) = N ( w ) N ( z ) . Esta composição de N sobre o produto álgebra torna ( D , +, ×, *) uma álgebra de composição .

Uma álgebra semelhante baseada em R 2 e operações de adição e multiplicação de componentes, ( R 2 , +, ×, xy ) , onde xy é a forma quadrática em R 2 , também forma um espaço quadrático . O isomorfismo do anel

refere formas quadráticas proporcionais, mas o mapeamento é não um isometría uma vez que a identidade multiplicativa (1, 1) de R 2 está a uma distância 2 a partir de 0, o qual é normalizado em D .

Os números complexos divididos têm muitos outros nomes; veja § Sinônimos abaixo. Consulte o artigo Variável do motor para funções de um número complexo dividido.

Definição

Um número complexo dividido é um par ordenado de números reais, escritos na forma

onde x e y são números reais e a quantidade j satisfaz

A escolha de resultados nos números complexos . É essa mudança de sinal que distingue os números complexos divididos dos complexos comuns. A quantidade j aqui não é um número real, mas uma quantidade independente.

A coleção de todos esses z é chamada de plano do complexo de divisão . A adição e multiplicação de números complexos divididos são definidos por

Essa multiplicação é comutativa , associativa e se distribui na adição.

Conjugado, módulo e forma bilinear

Assim como para os números complexos, pode-se definir a noção de um conjugado complexo dividido . Se

o conjugado de z é definido como

O conjugado satisfaz propriedades semelhantes às do conjugado complexo usual. Nomeadamente,

Essas três propriedades implicam que o conjugado do complexo de divisão é um automorfismo de ordem 2.

O módulo de um número complexo dividido z = x + j y é dado pela forma quadrática isotrópica

Ele tem a propriedade de álgebra de composição :

No entanto, esta forma quadrática não é definida positivamente, mas sim tem assinatura (1, -1) , então o módulo não é uma norma .

A forma bilinear associada é dada por

onde z = x + j y e w = u + j v . Outra expressão para o módulo é então

Como não é definida pelo positivo, essa forma bilinear não é um produto interno ; no entanto, a forma bilinear é freqüentemente referida como um produto interno indefinido . Um abuso de linguagem semelhante se refere ao módulo como norma.

Um número complexo dividido é invertível se e somente se seu módulo for diferente de zero ( ), portanto, x ± j x não tem inverso. O inverso multiplicativo de um elemento invertível é dado por

Os números complexos divididos que não são invertíveis são chamados de vetores nulos . Todos eles têm a forma ( a ± j a ) para algum número real a .

A base diagonal

Existem dois elementos idempotentes não triviais dados por e = (1 - j ) / 2 e e = (1 + j ) / 2 . Lembre-se de que idempotente significa que ee = e e e e = e . Ambos os elementos são nulos:

É muitas vezes conveniente usar de e e e * como uma alternativa base para o plano de separação do complexo. Essa base é chamada de base diagonal ou base nula . O número complexo de divisão z pode ser escrito na base nula como

Se denotam o número Z = AE + ser * para números reais um e b por ( a , b ) , então a multiplicação split-complexo está dado pela

Com base nisso, fica claro que os números complexos divididos são isomórficos em relação à soma direta RR com adição e multiplicação definidas aos pares.

O conjugado do complexo dividido na base diagonal é dado por

e o módulo por

Embora encontrando-se na mesma classe de isomorfismo na categoria de anéis , o plano do complexo dividido e a soma direta de duas linhas reais diferem em seu layout no plano cartesiano . O isomorfismo, como um mapeamento planar, consiste em uma rotação anti-horária de 45 ° e uma dilatação de 2 . A dilatação em particular às vezes causou confusão em relação a áreas de um setor hiperbólico . De fato, o ângulo hiperbólico corresponde à área de um setor no plano RR com seu "círculo unitário" dado por {( a , b ) ∈ RR  : ab = 1} . A hipérbole unitária contraída {cosh a + j sinh a  : aR } do plano do complexo dividido tem apenas metade da área no vão de um setor hiperbólico correspondente. Tal confusão pode ser perpetuada quando a geometria do plano de divisão-complexo não se distingue da de RR .

Geometria

 Hipérbole de unidade com z ‖ = 1 ,
 conjugar a hipérbole com z ‖ = −1 , e
 assíntotas z ‖ = 0 .

Uma verdadeira bidimensional de espaço vectorial com o produto interno Minkowski é chamado (1 + 1) -dimensional espaço Minkowski , frequentemente denotado R 1,1 . Da mesma forma que grande parte da geometria do plano euclidiano R 2 pode ser descrita com números complexos, a geometria do plano de Minkowski R 1,1 pode ser descrita com números complexos divididos.

O conjunto de pontos

é uma hipérbole para cada diferente de zero a em R . A hipérbole consiste em um ramo direito e esquerdo passando por ( a , 0) e (- a , 0) . O caso a = 1 é chamado de hipérbole unitária . A hipérbole conjugada é dada por

com um ramo superior e inferior passando por (0, a ) e (0, - a ) . A hipérbole e a hipérbole conjugada são separadas por duas assíntotas diagonais que formam o conjunto de elementos nulos:

Essas duas linhas (às vezes chamadas de cone nulo ) são perpendiculares em R 2 e têm inclinações de ± 1.

Split-complexo números de z e w são referidos como sendo hiperbólica-ortogonal se z , w ⟩ = 0 . Embora análoga à ortogonalidade comum, particularmente como é conhecida na aritmética de números complexos comuns, essa condição é mais sutil. Ele forma a base para o conceito de hiperplano simultâneo no espaço-tempo.

O análogo da fórmula de Euler para os números complexos de divisão é

Isso pode ser derivado de uma expansão em série de potências usando o fato de que cosh tem apenas potências pares, enquanto que para sinh tem potências ímpares. Para todos os valores reais do ângulo hiperbólico θ, o número do complexo dividido λ = exp ( ) tem a norma 1 e fica no ramo direito da hipérbole unitária. Números como λ foram chamados de versores hiperbólicos .

Como λ tem módulo 1, multiplicar qualquer número complexo dividido z por λ preserva o módulo de z e representa uma rotação hiperbólica (também chamada de aumento de Lorentz ou mapeamento de compressão ). Multiplicar por λ preserva a estrutura geométrica, levando as hipérboles para si e o cone nulo para si.

O conjunto de todas as transformações do plano do complexo dividido que preserva o módulo (ou, de forma equivalente, o produto interno) forma um grupo denominado grupo ortogonal generalizado O (1, 1) . Este grupo consiste nas rotações hiperbólicas, que formam um subgrupo denominado SO + (1, 1) , combinado com quatro reflexões discretas dadas por

e

O mapa exponencial

enviar θ para rotação por exp ( ) é um isomorfismo de grupo, uma vez que a fórmula exponencial usual se aplica:

Se um número complexo dividido z não estiver em uma das diagonais, então z terá uma decomposição polar .

Propriedades algébricas

Em termos de álgebra abstratos , os números do complexo dividido podem ser descritos como o quociente do anel polinomial R [ x ] pelo ideal gerado pelo polinômio x 2 - 1 ,

R [ x ] / ( x 2 - 1).

A imagem de x no quociente é a unidade "imaginária" j . Com esta descrição, fica claro que os números complexos divididos formam uma álgebra comutativa sobre os números reais. A álgebra não é um campo, pois os elementos nulos não são invertíveis. Todos os elementos nulos diferentes de zero são divisores zero .

Os números complexos divididos são isomórficos como uma álgebra para o produto direto de R por si só. É, portanto, um anel artiniano reduzido .

Como a adição e a multiplicação são operações contínuas em relação à topologia usual do plano, os números complexos divididos formam um anel topológico .

A álgebra de números complexos divididos forma uma álgebra de composição, uma vez que

 para quaisquer números z e w .

A partir da definição, é aparente que o anel de números de divisão-complexo é isomorfo para o anel de grupo R [C 2 ] do grupo cíclico C 2 sobre o real números R .

Representações matriciais

Pode-se facilmente representar números complexos divididos por matrizes . O número do complexo de divisão

pode ser representado pela matriz

A adição e multiplicação de números complexos divididos são então dadas pela adição e multiplicação de matrizes. O módulo de z é dado pelo determinante da matriz correspondente. Nesta representação, a conjugação do complexo dividido corresponde à multiplicação em ambos os lados pela matriz

Para qualquer número real a , uma rotação hiperbólica por um ângulo hiperbólico a corresponde à multiplicação pela matriz

Este diagrama comutativo relaciona a ação do versor hiperbólico em D ao mapeamento de compressão σ aplicado a R 2

A base diagonal para o plano do número complexo dividido pode ser invocada usando um par ordenado ( x , y ) para e fazendo o mapeamento

Agora, a forma quadrática é Além disso,

de modo que os dois parametrizadas hipérboles são postos em correspondência com S .

A ação do versor hiperbólico corresponde, então, sob esta transformação linear a um mapeamento de compressão

Há um grande número de representações diferentes de números complexos divididos nas matrizes reais 2 × 2. Na verdade, toda matriz cujo quadrado é a matriz identidade fornece tal representação.

A representação diagonal acima representa a forma canônica de Jordan da representação matricial dos números complexos divididos. Para um número complexo dividido z = ( x , y ) dado pela seguinte representação de matriz:

sua forma canônica Jordan é dada por:

onde e

História

O uso de números complexos divididos remonta a 1848, quando James Cockle revelou suas tessarinas . William Kingdon Clifford usou números complexos divididos para representar somas de giros. Clifford introduziu o uso de números complexos divididos como coeficientes em uma álgebra de quatérnios agora chamada de biquatérnios divididos . Ele chamou seus elementos de "motores", um termo em paralelo com a ação de "rotor" de um número complexo comum retirado do grupo circular . Estendendo a analogia, as funções de uma variável motora contrastam com as funções de uma variável complexa comum .

Desde o final do século XX, a multiplicação do complexo dividido tem sido comumente vista como um aumento de Lorentz de um plano do espaço - tempo . Nesse modelo, o número z = x + y j representa um evento em um plano espaço-temporal, onde x é medido em nanossegundos ey nos pés de Mermin . O futuro corresponde ao quadrante de eventos { z  : | y | < x }, que tem a decomposição polar do complexo dividido . O modelo diz que z pode ser alcançado a partir da origem entrando em um referencial de rapidez a e esperando ρ nanossegundos. A equação do complexo de divisão

expressar produtos na hipérbole unitária ilustra a aditividade de rapidez para velocidades colineares. A simultaneidade de eventos depende da rapidez a ;

é a linha de eventos simultânea com a origem no quadro de referência com rapidez a .

Dois eventos z e w são hiperbólico-ortogonais quando z w + zw = 0 . Os eventos canônicos exp ( aj ) ej exp ( aj ) são ortogonais hiperbólicos e se situam nos eixos de um referencial no qual os eventos simultâneos com a origem são proporcionais a j exp ( aj ) .

Em 1933, Max Zorn estava usando as octonões divididas e notou a propriedade da álgebra de composição . Ele percebeu que a construção Cayley-Dickson , usada para gerar álgebras de divisão, poderia ser modificada (com um fator gama (γ)) para construir outras álgebras de composição, incluindo as octonions de divisão. Sua inovação foi perpetuada por Adrian Albert , Richard D. Schafer e outros. O fator gama, com ℝ como campo base, constrói números complexos divididos como uma álgebra de composição. Revisando Albert for Mathematical Reviews , NH McCoy escreveu que houve uma "introdução de algumas novas álgebras de ordem 2 e sobre F generalizando álgebras de Cayley-Dickson." Tomando F = ℝ e e = 1 corresponde à álgebra deste artigo.

Em 1935, JC Vignaux e A. Durañona y Vedia desenvolveram a álgebra geométrica do complexo de divisão e a teoria da função em quatro artigos em Contribución a las Ciencias Físicas y Matemáticas , Universidade Nacional de La Plata , República Argentina (em espanhol). Esses ensaios expositivos e pedagógicos apresentaram o assunto para ampla apreciação.

Em 1941, EF Allen usou a aritmética geométrica do complexo de divisão para estabelecer a hipérbole de nove pontos de um triângulo inscrito em  zz = 1 .

Em 1956, Mieczyslaw Warmus publicou "Calculus of Approximations" no Bulletin de l'Académie polonaise des sciences (ver link nas Referências). Ele desenvolveu dois sistemas algébricos, cada um dos quais ele chamou de "números aproximados", o segundo dos quais forma uma álgebra real. DH Lehmer revisou o artigo na Mathematical Reviews e observou que esse segundo sistema era isomórfico aos números do "complexo hiperbólico", o assunto deste artigo.

Em 1961 Warmus continuou sua exposição, referindo-se aos componentes de um número aproximado como ponto médio e raio do intervalo denotado.

Sinônimos

Diferentes autores usaram uma grande variedade de nomes para os números complexos divididos. Alguns deles incluem:

  • ( reais ) tessarinas , James Cockle (1848)
  • motores ( algébricos ) , WK Clifford (1882)
  • números complexos hiperbólicos , JC Vignaux (1935)
  • números bireais , U. Bencivenga (1946)
  • números aproximados , Warmus (1956), para uso em análise de intervalo
  • números contracomplexos ou hiperbólicos de hipernúmeros Museanos
  • números duplos , IM Yaglom (1968), Kantor e Solodovnikov (1989), Hazewinkel (1990), Rooney (2014)
  • números complexos anormais , W. Benz (1973)
  • números perplexos , P. Fjelstad (1986) e Poodiack & LeClair (2009)
  • Números de Lorentz , FR Harvey (1990)
  • números hiperbólicos , G. Sobczyk (1995)
  • números paracomplexos , Cruceanu, Fortuny & Gadea (1996)
  • números semi-complexos , F. Antonuccio (1994)
  • binários divididos , K. McCrimmon (2004)
  • números complexos de divisão , B. Rosenfeld (1997)
  • números do espaço-tempo , N. Borota (2000)
  • Números do estudo , P. Lounesto (2001)
  • dois números complexos , S. Olariu (2002)

Números complexos divididos e seus parentes de dimensão superior ( quatérnions / coquaternions e octonions divididos ) eram às vezes chamados de "números museanos", uma vez que são um subconjunto do programa de hipernúmeros desenvolvido por Charles Musès .

Veja também

Referências

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