Matriz quadrada - Square matrix

Uma matriz quadrada de ordem 4. As entradas formam a diagonal principal de uma matriz quadrada. Por exemplo, a diagonal principal da matriz 4 × 4 acima contém os elementos a ₁₁ = 9 , a ₂₂ = 11 , a ₃₃ = 4 , a ₄₄ = 10 .${\ displaystyle a_ {ii}}$

Em matemática , uma matriz quadrada é uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas. Um n -by- n matriz é conhecida como uma matriz quadrada de ordem . Quaisquer duas matrizes quadradas da mesma ordem podem ser adicionadas e multiplicadas. ${\ displaystyle n}$

Matrizes quadradas são freqüentemente usadas para representar transformações lineares simples , como cisalhamento ou rotação . Por exemplo, se for uma matriz quadrada que representa uma rotação ( matriz de rotação ) e é um vetor coluna que descreve a posição de um ponto no espaço, o produto produz outro vetor coluna que descreve a posição desse ponto após essa rotação. Se for um vetor linha , a mesma transformação pode ser obtida usando , onde é a transposta de .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle R \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {v} R ^ {\ mathsf {T}}}$${\ displaystyle R ^ {\ mathsf {T}}}$${\ displaystyle R}$

Diagonal principal

As entradas ( i = 1,…, n ) formam a diagonal principal de uma matriz quadrada. Eles se encontram na linha imaginária que vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito da matriz. Por exemplo, a diagonal principal da matriz 4 × 4 acima contém os elementos a ₁₁ = 9 , a ₂₂ = 11 , a ₃₃ = 4 , a ₄₄ = 10 . ${\ displaystyle a_ {ii}}$

A diagonal de uma matriz quadrada do canto superior direito ao canto esquerdo inferior é chamada de antidiagonal ou contra- diagonal .

Tipos especiais

Nome	Exemplo com n = 3
Matriz diagonal	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {11} & 0 & 0 \\ 0 & a_ {22} & 0 \\ 0 & 0 & a_ {33} \ end {bmatrix}}}$
Matriz triangular inferior	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {11} & 0 & 0 \\ a_ {21} & a_ {22} & 0 \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \ end {bmatrix}}}$
Matriz triangular superior	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ 0 & a_ {22} & a_ {23} \\ 0 & 0 & a_ {33} \ end {bmatrix}}}$

Matriz diagonal ou triangular

Se todas as entradas fora da diagonal principal forem zero, é chamada de matriz diagonal . Se apenas todas as entradas acima (ou abaixo) da diagonal principal forem zero, é chamada de matriz triangular superior (ou inferior) . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Matriz de identidade

A matriz de identidade de tamanho é a matriz em que todos os elementos na diagonal principal são iguais a 1 e todos os outros elementos são iguais a 0, por exemplo ${\ displaystyle I_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n \ times n}$

${\ displaystyle I_ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 \ end {bmatrix}}, \ I_ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 e 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}, \ \ ldots, \ I_ {n} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 \ end {bmatrix}}.}$

É uma matriz quadrada de ordem , e também um tipo especial de matriz diagonal . É chamada de matriz de identidade porque a multiplicação com ela deixa uma matriz inalterada: ${\ displaystyle n}$

AI _n = I _m A = A para qualquermatriz m- by- n .${\ displaystyle A}$

Matriz invertível e seu inverso

Uma matriz quadrada é chamada de invertível ou não singular se existe uma matriz tal que ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle AB = BA = I_ {n}.}$

Se existe, é único e é chamado de matriz inversa de , denotado .${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {- 1}}$

Matriz simétrica ou assimétrica

Uma matriz quadrada igual à sua transposta, ou seja , é uma matriz simétrica . Se, ao invés , em seguida, é chamado de matriz anti-simétrica . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {\ mathsf {T}} = A}$${\ displaystyle A ^ {\ mathsf {T}} = - A}$${\ displaystyle A}$

Para uma matriz quadrada complexa , muitas vezes o análogo apropriado da transposta é a transposta conjugada , definida como a transposta do conjugado complexo de . Uma matriz quadrada complexa que satisfaz é chamada de matriz Hermitiana . Se, ao invés , em seguida, é chamado de matriz de inclinação-Hermitian . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {*} = A}$${\ displaystyle A ^ {*} = - A}$${\ displaystyle A}$

Pelo teorema espectral , simétrico real (ou Hermitiana complexo) matrizes têm uma ortogonal (ou unitária) eigenbasis ; ou seja, todo vetor pode ser expresso como uma combinação linear de autovetores. Em ambos os casos, todos os autovalores são reais.

Matriz definida

Positivo definitivo	Indeterminado
${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1/4 e 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}}}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1/4 e 0 \\ 0 & -1 / 4 \ end {bmatrix}}}$
Q ( x , y ) = 1/4 x 2 + y 2	Q ( x , y ) = 1/4 x 2 - 1/4 y 2
Pontos tais que Q ( x , y ) = 1 ( Elipse ).	Pontos tais que Q ( x , y ) = 1 ( Hipérbole ).

Uma matriz simétrica n × n é chamada definida positiva (respectivamente definida negativa; indefinida), se para todos os vetores diferentes de zero a forma quadrática associada dada por ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

Q ( x ) = x ^T A x

aceita apenas valores positivos (respectivamente apenas valores negativos; alguns valores negativos e alguns positivos). Se a forma quadrática assumir apenas valores não negativos (respectivamente apenas não positivos), a matriz simétrica é chamada semidefinida positiva (respectivamente semidefinida negativa); portanto, a matriz é indefinida precisamente quando não é semidefinida positiva nem semidefinida negativa.

Uma matriz simétrica é definida positivamente se e somente se todos os seus autovalores forem positivos. A tabela à direita mostra duas possibilidades para matrizes 2 × 2.

Permitir como entrada dois vetores diferentes, em vez disso, resulta na forma bilinear associada a A :

B _A ( x , y ) = x ^T A y .

Matriz ortogonal

Uma matriz ortogonal é uma matriz quadrada com entradas reais cujas colunas e linhas são vetores unitários ortogonais (isto é, vetores ortonormais ). De forma equivalente, uma matriz A é ortogonal se sua transposta for igual a sua inversa :

${\ displaystyle A ^ {\ textf {T}} = A ^ {- 1},}$

que envolve

${\ displaystyle A ^ {\ textf {T}} A = AA ^ {\ textf {T}} = I,}$

onde I é a matriz de identidade .

Uma matriz ortogonal Uma é necessariamente invertível (com inversa Uma ^-1 = A ^T ), unitária ( A ^-1 = A * ) e normais ( A * A = AA * ). O determinante de qualquer matriz ortogonal é +1 ou -1. O grupo ortogonal especial consiste no N × n matrizes ortogonais com determinante 1. ${\ displaystyle \ operatorname {SO} (n)}$

O análogo complexo de uma matriz ortogonal é uma matriz unitária .

Matriz normal

Uma matriz quadrada real ou complexa é chamada de normal se . Se uma matriz quadrada real for simétrica, simétrica inclinada ou ortogonal, então ela é normal. Se uma matriz quadrada complexa for hermitiana, skew-hermitiana ou unitária, então ela é normal. As matrizes normais são de interesse principalmente porque incluem os tipos de matrizes que acabamos de listar e formam a classe mais ampla de matrizes para a qual o teorema espectral é válido. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {*} A = AA ^ {*}}$

Operações

Vestígio

O traço , tr ( A ) de uma matriz quadrada A é a soma de suas entradas diagonais. Embora a multiplicação da matriz não seja comutativa, o traço do produto de duas matrizes é independente da ordem dos fatores:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (AB) = \ operatorname {tr} (BA).}$

Isso é imediato a partir da definição de multiplicação de matrizes:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (AB) = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {n} A_ {ij} B_ {ji} = \ operatorname {tr} (BA).}$

Além disso, o traço de uma matriz é igual ao de sua transposta, ou seja,

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (A) = \ operatorname {tr} (A ^ {\ mathrm {T}}).}$

Determinante

Uma transformação linear dada pela matriz indicada. O determinante dessa matriz é −1, pois a área do paralelogramo verde à direita é 1, mas o mapa inverte a orientação , pois gira a orientação anti-horária dos vetores para a direita.${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

O determinante ou de uma matriz quadrada é um número que codifica certas propriedades da matriz. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Seu valor absoluto é igual à área (in ) ou volume (in ) da imagem do quadrado (ou cubo) unitário, enquanto seu sinal corresponde à orientação do mapa linear correspondente: o determinante é positivo se e somente se a orientação for preservado. ${\ displaystyle \ det (A)}$${\ displaystyle | A |}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

O determinante das matrizes 2 × 2 é dado por

${\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = ad-bc.}$

O determinante de matrizes 3 × 3 envolve 6 termos ( regra de Sarrus ). A fórmula de Leibniz mais longa generaliza essas duas fórmulas para todas as dimensões.

O determinante de um produto de matrizes quadradas é igual ao produto de seus determinantes:

${\ displaystyle \ det (AB) = \ det (A) \ cdot \ det (B)}$

Adicionar um múltiplo de qualquer linha a outra linha, ou um múltiplo de qualquer coluna a outra coluna, não altera o determinante. A troca de duas linhas ou duas colunas afeta o determinante, multiplicando-o por -1. Usando essas operações, qualquer matriz pode ser transformada em uma matriz triangular inferior (ou superior) e, para tais matrizes, o determinante é igual ao produto das entradas na diagonal principal; isso fornece um método para calcular o determinante de qualquer matriz. Finalmente, a expansão de Laplace expressa o determinante em termos de menores , ou seja, determinantes de matrizes menores. Esta expansão pode ser usada para uma definição recursiva de determinantes (tomando como caso inicial o determinante de uma matriz 1 × 1, que é sua entrada única, ou mesmo o determinante de uma matriz 0 × 0, que é 1), que pode ser visto como equivalente à fórmula de Leibniz. Os determinantes podem ser usados ​​para resolver sistemas lineares usando a regra de Cramer , onde a divisão dos determinantes de duas matrizes quadradas relacionadas é igual ao valor de cada uma das variáveis ​​do sistema.

Autovalores e autovetores

Um número λ e um vetor diferente de zero satisfazendo ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle A \ mathbf {v} = \ lambda \ mathbf {v}}$

são chamados de autovalor e autovetor de , respectivamente. O número λ é um autovalor de uma n × n -matriz A se e somente se A - λ I _n não for invertível, o que é equivalente a ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ det (A- \ lambda I) = 0.}$

O polinómio p _Um num indeterminado X determinado por avaliação do determinante det ( XI _N - A ) é chamado o polinómio característico de um . É um polinômio mônico de grau n . Portanto, a equação polinomial p _A (λ) = 0 tem no máximo n soluções diferentes, ou seja, autovalores da matriz. Eles podem ser complexos, mesmo se as entradas de A forem reais. De acordo com o teorema de Cayley-Hamilton , p _A ( A ) = 0 , ou seja, o resultado da substituição da própria matriz em seu próprio polinômio característico resulta na matriz zero .

Veja também

• Matriz cartan

Notas

Referências

• Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces , New York, NY: Marcel Dekker , ISBN 978-0-8247-8419-5
• Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
• Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7

links externos

• Mídia relacionada a matrizes quadradas no Wikimedia Commons