Numero quadrado - Square number

Em matemática , um número quadrado ou quadrado perfeito é um inteiro que é o quadrado de um inteiro; em outras palavras, é o produto de algum inteiro consigo mesmo. Por exemplo, 9 é um número quadrado, pois é igual a 3 2 e pode ser escrito como 3 × 3 .

A notação usual para o quadrado de um número n não é o produto n  ×  n , mas a exponenciação equivalente n 2 , geralmente pronunciada como " n ao quadrado". O número do quadrado do nome vem do nome da forma. A unidade de área é definida como a área de um quadrado de unidade ( 1 × 1 ). Portanto, um quadrado com comprimento de lado n tem área n 2 . Em outras palavras, se um número quadrado é representado por n pontos, os pontos podem ser organizados em linhas como um quadrado, cada lado dos quais tem o mesmo número de pontos que a raiz quadrada de n ; assim, os números quadrados são um tipo de números figurados (outros exemplos são números de cubo e números triangulares ).

Os números quadrados não são negativos . Outra maneira de dizer que um inteiro (não negativo) é um número quadrado é que sua raiz quadrada é novamente um inteiro. Por exemplo, 9 é um número quadrado.

Um número inteiro positivo sem divisores quadrados perfeitos, exceto 1, é denominado sem quadrados .

Para um número inteiro não negativo n , o n th número quadrado é n 2 , com 0 2 = 0 sendo o zeroth um. O conceito de quadrado pode ser estendido a alguns outros sistemas numéricos. Se números racionais forem incluídos, então um quadrado é a proporção de dois inteiros quadrados e, inversamente, a proporção de dois inteiros quadrados é um quadrado, por exemplo ,.

Começando com 1, existem números quadrados até e incluindo m , onde a expressão representa o piso do número  x .

Exemplos

Os quadrados (sequência A000290 no OEIS ) menores que 60 2  = 3600 são:

0 2 = 0
1 2 = 1
2 2 = 4
3 2 = 9
4 2 = 16
5 2 = 25
6 2 = 36
7 2 = 49
8 2 = 64
9 2 = 81
10 2 = 100
11 2 = 121
12 2 = 144
13 2 = 169
14 2 = 196
15 2 = 225
16 2 = 256
17 2 = 289
18 2 = 324
19 2 = 361
20 2 = 400
21 2 = 441
22 2 = 484
23 2 = 529
24 2 = 576
25 2 = 625
26 2 = 676
27 2 = 729
28 2 = 784
29 2 = 841
30 2 = 900
31 2 = 961
32 2 = 1024
33 2 = 1089
34 2 = 1156
35 2 = 1225
36 2 = 1296
37 2 = 1369
38 2 = 1444
39 2 = 1521
40 2 = 1600
41 2 = 1681
42 2 = 1764
43 2 = 1849
44 2 = 1936
45 2 = 2025
46 2 = 2116
47 2 = 2209
48 2 = 2304
49 2 = 2401
50 2 = 2500
51 2 = 2601
52 2 = 2704
53 2 = 2809
54 2 = 2916
55 2 = 3025
56 2 = 3136
57 2 = 3249
58 2 = 3364
59 2 = 3481

A diferença entre qualquer quadrado perfeito e seu predecessor é dada pela identidade n 2 - ( n - 1) 2 = 2 n - 1 . De forma equivalente, é possível contar os números quadrados somando o último quadrado, a raiz do último quadrado e a raiz atual, ou seja, n 2 = ( n - 1) 2 + ( n - 1) + n .

Propriedades

O número m é um número quadrado se e somente se alguém pode organizar m pontos em um quadrado:

m = 1 2 = 1 Número quadrado 1.png
m = 2 2 = 4 Número quadrado 4.png
m = 3 2 = 9 Número quadrado 9.png
m = 4 2 = 16 Número quadrado 16.png
m = 5 2 = 25 Número quadrado 25.png

A expressão para o n th número quadrado é N 2 . Isso também é igual à soma dos primeiros n números ímpares, como pode ser visto nas imagens acima, onde um quadrado resulta do anterior adicionando um número ímpar de pontos (mostrado em magenta). A fórmula é a seguinte:

Por exemplo, 5 2 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 .

A soma dos primeiros n inteiros ímpares é n 2 . 1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) = n 2 . Visualização 3D animada em um tetraedro.

Existem vários métodos recursivos para calcular números quadrados. Por exemplo, o n th número quadrado pode ser calculado a partir do quadrado anterior por n 2 = ( n - 1) 2 + ( n - 1) + n = ( n - 1) 2 + (2 n - 1) . Alternativamente, o n th número quadrado pode ser calculado a partir das duas anteriores, duplicando a ( n  - 1) th quadrado, subtraindo-se a ( n  - 2) ° Número quadrado, e a adição de 2, porque n 2 = 2 ( n - 1) 2 - ( n - 2) 2 + 2 . Por exemplo,

2 × 5 2 - 4 2 + 2 = 2 × 25 - 16 + 2 = 50 - 16 + 2 = 36 = 6 2 .

Um número menor que um quadrado ( m - 1) é sempre o produto de e (por exemplo, 8 × 6 é igual a 48, enquanto 7 2 é igual a 49). Portanto, 3 é o único número primo um a menos que um quadrado.

Um número quadrado também é a soma de dois números triangulares consecutivos . A soma de dois números quadrados consecutivos é um número quadrado centralizado . Cada quadrado ímpar também é um número octogonal centralizado .

Outra propriedade de um número quadrado é que (exceto 0) ele tem um número ímpar de divisores positivos, enquanto outros números naturais têm um número par de divisores positivos. Uma raiz inteira é o único divisor que forma pares consigo mesmo para produzir o número quadrado, enquanto outros divisores vêm em pares.

O teorema de quatro quadrados de Lagrange afirma que qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como a soma de quatro ou menos quadrados perfeitos. Três quadrados não são suficientes para números da forma 4 k (8 m + 7) . Um inteiro positivo pode ser representado como uma soma de dois quadrados precisamente se sua fatoração de primos não contiver potências ímpares de primos na forma 4 k + 3 . Isso é generalizado pelo problema de Waring .

Na base 10 , um número quadrado pode terminar apenas com dígitos 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, como segue:

  • se o último dígito de um número for 0, seu quadrado termina em 0 (na verdade, os dois últimos dígitos devem ser 00);
  • se o último dígito de um número for 1 ou 9, seu quadrado termina em 1;
  • se o último dígito de um número for 2 ou 8, seu quadrado termina em 4;
  • se o último dígito de um número for 3 ou 7, seu quadrado termina em 9;
  • se o último dígito de um número for 4 ou 6, seu quadrado termina em 6; e
  • se o último dígito de um número for 5, seu quadrado termina em 5 (na verdade, os dois últimos dígitos devem ser 25).

Na base 12 , um número quadrado pode terminar apenas com dígitos quadrados (como na base 12, um número primo pode terminar apenas com dígitos primos ou 1), ou seja, 0, 1, 4 ou 9, da seguinte forma:

  • se um número é divisível por 2 e por 3 (isto é, divisível por 6), seu quadrado termina em 0;
  • se um número não é divisível por 2 nem por 3, seu quadrado termina em 1;
  • se um número é divisível por 2, mas não por 3, seu quadrado termina em 4; e
  • se um número não for divisível por 2, mas por 3, seu quadrado termina em 9.

Regras semelhantes podem ser fornecidas para outras bases ou para dígitos anteriores (as dezenas em vez do dígito das unidades, por exemplo). Todas essas regras podem ser provadas verificando um número fixo de casos e usando aritmética modular .

Em geral, se um primo  p divide um número quadrado  m, então o quadrado de p também deve dividir m ; se p falhar em se dividir m/p, então m definitivamente não é quadrado. Repetindo as divisões da frase anterior, conclui-se que cada primo deve dividir um dado quadrado perfeito um número par de vezes (incluindo possivelmente 0 vezes). Assim, o número m é um número quadrado se e somente se, em sua representação canônica , todos os expoentes forem pares.

O teste de quadratura pode ser usado como forma alternativa na fatoração de grandes números. Em vez de testar a divisibilidade, teste a quadratura: para dados m e algum número  k , se k 2 - m é o quadrado de um inteiro  n, então k - n divide m . (Esta é uma aplicação da fatoração de uma diferença de dois quadrados .) Por exemplo, 100 2 - 9991 é o quadrado de 3, então, conseqüentemente, 100 - 3 divide 9991. Este teste é determinístico para divisores ímpares no intervalo de k - n a k + n onde k cobre algum intervalo de números naturais

Um número quadrado não pode ser um número perfeito .

A soma dos n primeiros números quadrados é

Os primeiros valores dessas somas, os números piramidais quadrados , são: (sequência A000330 no OEIS )

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201 ...

Prova sem palavras para o teorema da soma dos números ímpares

A soma dos primeiros inteiros ímpares, começando com um, é um quadrado perfeito: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, etc. Isso explica a lei de Galileu dos números ímpares : se um corpo cair do repouso cobre uma unidade de distância no primeiro intervalo de tempo arbitrário, cobre 3, 5, 7, etc. unidades de distância em intervalos de tempo subsequentes de mesmo comprimento. De s = ut +1/2a 2 , para u = 0 e constante um (a aceleração devido à gravidade, sem a resistência do ar); então s é proporcional at 2 , e a distância do ponto inicial são quadrados consecutivos para valores inteiros de tempo decorrido.

A soma dos n primeiros cubos é o quadrado da soma dos n primeiros inteiros positivos; este é o teorema de Nicômaco .

Todas as quartas potências, sextas potências, oitavas potências e assim por diante são quadrados perfeitos.

Números quadrados ímpares e pares

Quadrados de números pares são pares (e de fato divisíveis por 4), já que (2 n ) 2 = 4 n 2 .

Quadrados de números ímpares são ímpares, pois (2 n + 1) 2 = 4 ( n 2 + n ) + 1 .

Segue-se que as raízes quadradas de números quadrados pares são pares e as raízes quadradas de números quadrados ímpares são ímpares.

Como todos os números quadrados pares são divisíveis por 4, os números pares da forma 4 n + 2 não são números quadrados.

Como todos os números quadrados ímpares têm a forma 4 n + 1 , os números ímpares da forma 4 n + 3 não são números quadrados.

Os quadrados dos números ímpares têm a forma 8 n + 1 , uma vez que (2 n + 1) 2 = 4 n ( n + 1) + 1 e n ( n + 1) é um número par.

Cada quadrado perfeito ímpar é um número octogonal centrado . A diferença entre quaisquer dois quadrados perfeitos ímpares é um múltiplo de 8. A diferença entre 1 e qualquer quadrado perfeito ímpar mais alto é sempre oito vezes um número triangular, enquanto a diferença entre 9 e qualquer quadrado perfeito ímpar mais alto é oito vezes um número triangular menos oito. Uma vez que todos os números triangulares têm um fator ímpar, mas não há dois valores de 2 n diferem por uma quantidade contendo um fator ímpar, o único quadrado perfeito da forma 2 n - 1 é 1, e o único quadrado perfeito da forma 2 n + 1 é 9.

Casos especiais

  • Se o número estiver na forma m 5, onde m representa os dígitos anteriores, seu quadrado é n 25 onde n = m ( m + 1) e representa dígitos antes de 25. Por exemplo, o quadrado de 65 pode ser calculado por n = 6 × (6 + 1) = 42, o que torna o quadrado igual a 4225.
  • Se o número tiver a forma m 0, onde m representa os dígitos anteriores, seu quadrado será n 00, onde n = m 2 . Por exemplo, o quadrado de 70 é 4900.
  • Se o número tem dois dígitos e é da forma 5 m em que m representa o dígito unidades, seu quadrado é AABB , onde AA = 25 + m e bb = m 2 . Exemplo: Para calcular o quadrado de 57, 25 + 7 = 32 e 7 2  = 49, o que significa 57 2  = 3249.
  • Se o número terminar em 5, seu quadrado terminará em 5; da mesma forma para terminar em 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625, etc. Se o número terminar em 6, seu quadrado terminará em 6, da mesma forma para terminar em 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Por exemplo, o quadrado de 55376 é 3066501376, ambos terminando em 376 . (Os números 5, 6, 25, 76, etc. são chamados de números automórficos . Eles são a sequência A003226 no OEIS .)

Veja também

Notas

Leitura adicional