Raiz quadrada de 2 - Square root of 2

Raiz quadrada de 2
	A raiz quadrada de 2 é igual ao comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles com pernas de comprimento 1.
Representações
Decimal	1.41421 35623 73095 0488 ...
Fração contínua
Binário	1.0110 1010 0000 1001 1110 ...
Hexadecimal	1.6A09 E667 F3BC C908 B2F ...

A raiz quadrada de 2 (aproximadamente 1,4142) é um número real positivo que, quando multiplicado por ele mesmo, é igual ao número 2 . Pode ser escrito em matemática como ou , e é um número algébrico . Tecnicamente, deve ser chamado de raiz quadrada principal de 2, para diferenciá-lo do número negativo com a mesma propriedade. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {1/2}}$

Geometricamente, a raiz quadrada de 2 é o comprimento de uma diagonal em um quadrado com lados de uma unidade de comprimento ; isso segue do teorema de Pitágoras . Provavelmente foi o primeiro número irracional . A fração99/70(≈ 1,4142 857) às vezes é usado como uma boa aproximação racional com um denominador razoavelmente pequeno.

A sequência A002193 na Enciclopédia On-Line de Sequências Inteiras consiste nos dígitos da expansão decimal da raiz quadrada de 2, aqui truncada para 65 casas decimais :

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799

História

Tabuleta de argila babilônica YBC 7289 com anotações. Além de mostrar a raiz quadrada de 2 em sexagesimal ( 1 24 51 10 ), a tabuinha também dá um exemplo em que um lado do quadrado é 30 e a diagonal é 42 25 35 . O dígito sexagesimal 30 também pode representar 0 30 =12, em cujo caso 0 42 25 35 é aproximadamente 0,7071065.

A tabuinha de argila babilônica YBC 7289 (c. 1800-1600 aC) dá uma aproximação de $\sqrt 2$ em quatro números sexagesimais , 1 24 51 10 , que é preciso em cerca de seis dígitos decimais , e é a representação sexagesimal de três casas mais próxima possível de $\sqrt 2$ :

{\ displaystyle 1 + {\ frac {24} {60}} + {\ frac {51} {60 ^ {2}}} + {\ frac {10} {60 ^ {3}}} = {\ frac { 305470} {216000}} = 1,41421 {\ overline {296}}.}

Outra aproximação inicial é dada em antigos textos matemáticos indianos , os Sulbasutras (c. 800-200 aC), como segue: Aumente o comprimento [do lado] em seu terceiro e este terceiro em seu próprio quarto menos a trigésima quarta parte de aquele quarto. Isso é,

{\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3 \ times 4}} - {\ frac {1} {3 \ times 4 \ times 34}} = {\ frac {577} {408}} = 1,41421 {\ overline {56862745098039}}.}

Esta aproximação é a sétima em uma sequência de aproximações cada vez mais precisas com base na sequência de números de Pell , que podem ser derivados da expansão de fração contínua de $\sqrt 2$ . Apesar de ter um denominador menor, é apenas um pouco menos preciso do que a aproximação babilônica.

Os pitagóricos descobriram que a diagonal de um quadrado é incomensurável com seu lado ou, na linguagem moderna, que a raiz quadrada de dois é irracional . Pouco se sabe com certeza sobre a época ou as circunstâncias dessa descoberta, mas o nome de Hipaso de Metaponto é freqüentemente mencionado. Por um tempo, os pitagóricos trataram como segredo oficial a descoberta de que a raiz quadrada de dois é irracional e, segundo a lenda, Hipaso foi assassinado por divulgá-la. A raiz quadrada de dois é ocasionalmente chamada de número de Pitágoras ou constante de Pitágoras , por exemplo, por Conway & Guy (1996) .

Arquitetura romana antiga

Na arquitetura romana antiga , Vitruvius descreve o uso da raiz quadrada de progressão 2 ou técnica ad quadratum . Consiste basicamente em um método geométrico, ao invés de aritmético, para dobrar um quadrado, no qual a diagonal do quadrado original é igual ao lado do quadrado resultante. Vitruvius atribui a ideia a Platão . O sistema foi empregado para construir pavimentos criando um quadrado tangente aos cantos do quadrado original a 45 graus dele. A proporção também foi usada para projetar átrios , dando-lhes um comprimento igual a uma diagonal retirada de um quadrado, cujos lados são equivalentes à largura pretendida do átrio.

Valor decimal

Algoritmos de computação

Existem vários algoritmos para aproximar $\sqrt 2$ como uma proporção de inteiros ou como um decimal. O algoritmo mais comum para isso, que é usado como base em muitos computadores e calculadoras, é o método babilônico para calcular raízes quadradas, que é um dos muitos métodos de cálculo de raízes quadradas . É o seguinte:

Primeiro, escolha um palpite, $um 0 > 0$ ; o valor da estimativa afeta apenas quantas iterações são necessárias para alcançar uma aproximação de uma certa precisão. Em seguida, usando essa estimativa, itere por meio do seguinte cálculo recursivo :

{\ displaystyle a_ {n + 1} = {\ frac {a_ {n} + {\ frac {2} {a_ {n}}}} {2}} = {\ frac {a_ {n}} {2} } + {\ frac {1} {a_ {n}}}.}

Quanto mais iterações por meio do algoritmo (ou seja, quanto mais cálculos realizados e maior " $n$ "), melhor será a aproximação. Cada iteração praticamente dobra o número de dígitos corretos. Começando com $um 0 = 1$ , os resultados do algoritmo são os seguintes:

1 ( $a 0$ )
3/2= 1, 5 ( $a 1$ )
17/12= 1,41 6 ... ( $a 2$ )
577/408= 1,41421 5 ... ( $a 3$ )
665857/470832= 1,41421356237 46 ... ( $a 4$ )

Aproximações racionais

Uma aproximação racional simples 99/70(≈ 1.4142 857) às vezes é usado. Apesar de ter um denominador de apenas 70, difere do valor correto por menos de1/10.000 (Aproximadamente. +0,72 × 10 ⁻⁴ ). Uma vez que é um convergente da representação contínua da fração da raiz quadrada de dois, qualquer melhor aproximação racional tem um denominador não inferior a 169, uma vez que239/169 (≈ 1.4142012) é o próximo convergente com um erro de aprox. −0,12 × 10 ⁻⁴ .

A aproximação racional da raiz quadrada de dois derivados de quatro iterações do método babilônico depois de começar com $um 0 = 1$ (665.857/470.832) é muito grande em cerca de 1,6 × 10 ⁻¹² ; seu quadrado é ≈2.000 000 000 0045 .

Registros em computação

Em 1997, o valor de $\sqrt 2$ foi calculado em 137.438.953.444 casas decimais pela equipe de Yasumasa Kanada . Em fevereiro de 2006, o recorde para o cálculo de $\sqrt 2$ foi eclipsado com o uso de um computador doméstico. Shigeru Kondo calculou 1 trilhão de casas decimais em 2010. Entre as constantes matemáticas com expansões decimais desafiadoras do ponto de vista computacional, apenas $π$ foi calculado com mais precisão. Esses cálculos visam verificar empiricamente se esses números são normais .

Esta é uma tabela de registros recentes no cálculo dos dígitos de $\sqrt 2$ .

Encontro	Nome	Número de dígitos
28 de junho de 2016	Ron Watkins	10 trilhões
3 de abril de 2016	Ron Watkins	5 trilhões
9 de fevereiro de 2012	Alexander Yee	2 trilhões
22 de março de 2010	Shigeru Kondo	1 trilhão

Provas de irracionalidade

Uma pequena prova da irracionalidade de $\sqrt 2$ pode ser obtida a partir do teorema da raiz racional , isto é, se $p (x)$ é um polinômio mônico com coeficientes inteiros, então qualquer raiz racional de $p$ $($ $x$ $)$ é necessariamente um inteiro. Aplicando isso ao polinômio $p$ $($ $x$ $) =$ $x$ $2$ $- 2$ , segue que $\sqrt$ $2$ é um inteiro ou irracional. Como $\sqrt$ $2$ não é um número inteiro (2 não é um quadrado perfeito), $\sqrt$ $2$ deve, portanto, ser irracional. Essa prova pode ser generalizada para mostrar que qualquer raiz quadrada de qualquer número natural que não seja o quadrado de um número natural é irracional.

Para uma prova de que a raiz quadrada de qualquer número natural não quadrado é irracional, consulte irracional quadrático ou descida infinita .

Prova de descida infinita

Uma prova da irracionalidade do número é a seguinte prova por descendência infinita . É também uma prova por contradição , também conhecida como prova indireta, em que a proposição é provada assumindo que o oposto da proposição é verdadeiro e mostrando que essa suposição é falsa, o que implica que a proposição deve ser verdadeira.

Suponha que $\sqrt 2$ seja um número racional, o que significa que existe um par de inteiros cuja razão é exatamente $\sqrt 2$ .
Se os dois inteiros tiverem um fator comum, ele pode ser eliminado usando o algoritmo euclidiano .
Então $\sqrt 2$ pode ser escrito como uma fração irredutível $uma / b$ de modo que $a$ e $b$ são inteiros coprime (sem fator comum), o que adicionalmente significa que pelo menos um de $a$ ou $b$ deve ser ímpar.
Segue que $a 2 / b 2 = 2$ e $a 2 = 2 b 2$ . ( $(uma / b) n = um n / b n$ ) ( $a 2 e b 2$ são inteiros)
Portanto, $a 2$ é par porque é igual a $2 b 2$ . ( $2 b 2$ é necessariamente igual porque é 2 vezes outro número inteiro e os múltiplos de 2 são pares).
Segue-se que $a$ deve ser par (como quadrados de inteiros ímpares nunca são pares).
Como $a$ é par, existe um inteiro $k$ que cumpre: $a = 2 k$ .
Substituindo $2 k$ da etapa 7 por $a$ na segunda equação da etapa 4: $2 b 2 = (2 k) 2$ é equivalente a $2 b 2 = 4 k 2$ , que é equivalente a $b 2 = 2 k 2$ .
Como $2 k 2$ é divisível por dois e, portanto, par, e porque $2 k 2 = b 2$ , segue-se que $b 2$ também é par, o que significa que $b$ é par.
Por etapas 5 e 8 $um$ e $b$ são ambas mesmo, o que contraria aquele $uma / b$ é irredutível conforme indicado na etapa 3.

QED

Por haver uma contradição, a suposição (1) de que $\sqrt 2$ é um número racional deve ser falsa. Isso significa que $\sqrt 2$ não é um número racional. Ou seja, $\sqrt 2$ é irracional.

Esta prova foi sugerida por Aristóteles , em sua Analytica Priora , §I.23. Ele apareceu pela primeira vez como uma prova completa em Euclides 's Elements , como proposição 117 do Livro X. No entanto, desde o início do século 19, os historiadores concordam que esta prova é uma interpolação e não atribuível a Euclides.

Prova por fatoração única

Como acontece com a prova por descida infinita, nós obtemos . Sendo a mesma quantidade, cada lado possui a mesma fatoração primo pelo teorema fundamental da aritmética e, em particular, teria que fazer com que o fator 2 ocorresse o mesmo número de vezes. No entanto, o fator 2 aparece um número ímpar de vezes à direita, mas um número par de vezes à esquerda - uma contradição. ${\ displaystyle a ^ {2} = 2b ^ {2}}$

Prova geométrica

Figura 1. Prova geométrica de Stanley Tennenbaum da irracionalidade de √ 2

Uma prova simples é atribuída por John Horton Conway a Stanley Tennenbaum quando este era estudante no início dos anos 1950 e cuja aparição mais recente está em um artigo de Noson Yanofsky na edição de maio-junho de 2016 da American Scientist . Dado dois quadrados com lados inteiros respectivamente uma e B , uma das quais tem duas vezes a área dos outros, lugar duas cópias do quadrado menor no maior, como mostrado na Figura 1. A zona de sobreposição quadrado no meio ( $(2 b - a) 2$ ) deve ser igual à soma dos dois quadrados descobertos ( $2 (a - b) 2$ ). No entanto, esses quadrados na diagonal têm lados inteiros positivos que são menores do que os quadrados originais. Repetindo esse processo, existem quadrados arbitrariamente pequenos, um com o dobro da área do outro, embora ambos tenham lados inteiros positivos, o que é impossível, pois os inteiros positivos não podem ser menores que 1.

Figura 2. Prova geométrica de Tom Apostol da irracionalidade de √ 2

Outro argumento geométrico reductio ad absurdum mostrando que $\sqrt 2$ é irracional apareceu em 2000 no American Mathematical Monthly . É também um exemplo de prova por descendência infinita . Faz uso da construção clássica de compasso e régua , provando o teorema por um método semelhante ao empregado pelos antigos geômetras gregos. É essencialmente a mesma prova algébrica do parágrafo anterior, vista geometricamente de outra maneira.

Deixe $△ ABC$ ser um triângulo isósceles direita com hipotenusa comprimento $m$ e pernas $n$ , como mostrado na Figura 2. Pelo teorema de Pitágoras , $m / n = \sqrt 2$ . Suponha que $m$ e $n$ sejam inteiros . Seja $m : n$ uma razão dada em seus termos mais baixos .

Desenhar os arcos $BD$ e $CE$ com o centro $A$ . Junte-se ao $DE$ . Conclui-se que $AB = AD$ , $AC = AE$ e $∠ BAC$ e $∠ DAE$ coincidem. Portanto, os triângulos $ABC$ e $ADE$ são congruentes por SAS .

Como $∠ EBF$ é um ângulo reto e $∠ BEF$ é a metade de um ângulo reto, $△ BEF$ também é um triângulo isósceles reto. Logo, $BE = m - n$ implica $BF = m - n$ . Por simetria, $DF = m - n$ , e $△ FDC$ também é um triângulo isósceles direito. Também segue que $FC = n - (m - n) = 2 n - m$ .

Por isso, existe uma menor ainda isósceles certas triângulo, com comprimento hipotenusa $2 n - m$ e pernas $m - n$ . Estes valores são números inteiros ainda menores do que $m$ e $n$ e na mesma proporção, que contrariam a hipótese de que $m : n$ é menor em termos. Portanto, $m$ e $n$ não podem ser ambos inteiros, portanto, $\sqrt 2$ é irracional.

Prova construtiva

Em uma abordagem construtiva, distingue-se entre, por um lado, não ser racional e, por outro lado, ser irracional (isto é, ser quantificávelmente separado de todo racional), sendo o último uma propriedade mais forte. Dada inteiros positivos $um$ e $b$ , porque a valorização (isto é, mais alto poder de 2 dividindo um número) de $2 b 2$ é ímpar, enquanto a avaliação de $um 2$ é ainda, eles têm de ser inteiros distintos; assim $| 2 b 2 - a 2 | \geq 1$ . Então

{\ displaystyle \ left | {\ sqrt {2}} - {\ frac {a} {b}} \ right | = {\ frac {| 2b ^ {2} -a ^ {2} |} {b ^ { 2} \ left ({\ sqrt {2}} + {\ frac {a} {b}} \ right)}} \ geq {\ frac {1} {b ^ {2} \ left ({\ sqrt {2 }} + {\ frac {a} {b}} \ right)}} \ geq {\ frac {1} {3b ^ {2}}},}

a última desigualdade sendo verdadeira porque se presume que $uma / b \leq 3 - \sqrt 2$ (caso contrário, a separação quantitativa pode ser trivialmente estabelecida). Isso dá um limite inferior de $1 / 3 b 2$ pela diferença $| \sqrt 2 - uma / b |$ , produzindo uma prova direta de irracionalidade não se baseando na lei do terceiro excluído ; ver Errett Bishop (1985, p. 18). Esta prova exibe construtivamente uma discrepância entre $\sqrt 2$ e qualquer racional.

Prova por equações diofantinas

Lema : Para a equação Diofantina em sua forma primitiva (mais simples), soluções inteiras existem se e somente se ou é ímpar, mas nunca quando e são ímpares. ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$

Prova : para a equação fornecida, existem apenas seis combinações possíveis de ímpares e pares para valores de número inteiro de e que produzem um valor de número inteiro para . Uma simples enumeração de todas as seis possibilidades mostra por que quatro dessas seis são impossíveis. Das duas possibilidades restantes, pode-se provar que uma não contém soluções usando aritmética modular, deixando a única possibilidade restante como a única a conter soluções, se houver. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle z}$

x, y	z
Ambos pares	Até	Impossível. A equação Diofantina fornecida é primitiva e, portanto, não contém fatores comuns.
Ambos estranhos	Ímpar	Impossível. A soma de dois números ímpares não produz um número ímpar.
Ambos pares	Ímpar	Impossível. A soma de dois números pares não produz um número ímpar.
Um par, outro estranho	Até	Impossível. A soma de um número par e um número ímpar não produz um número par.
Ambos estranhos	Até	Possível
Um par, outro estranho	Ímpar	Possível

A quinta possibilidade (ambos e estranho e mesmo) pode ser demonstrado que não contêm as soluções como se segue. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle z}$

Uma vez que é par, deve ser divisível por , portanto ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle z ^ {2}}$ ${\ displaystyle 4}$

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} \ equiv 0 \ mod 4}

O quadrado de qualquer número ímpar é sempre . O quadrado de qualquer número par é sempre . Uma vez que ambos e são ímpares e são pares: ${\ displaystyle \ equiv 1 {\ bmod {4}}}$ ${\ displaystyle \ equiv 0 {\ bmod {4}}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle z}$

{\ displaystyle 1 + 1 \ equiv 0 \ mod 4}

{\ displaystyle 2 \ equiv 0 \ mod 4}

o que é impossível. Portanto, a quinta possibilidade também está descartada, deixando a sexta como a única combinação possível para conter soluções, se houver.

Uma extensão desse lema é o resultado de que dois quadrados de número inteiro idênticos nunca podem ser somados para produzir outro quadrado de número inteiro, mesmo quando a equação não está em sua forma mais simples.

Teorema: é irracional. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Prova : suponha que seja racional. Portanto, ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {a \ over b}}

Onde

{\ displaystyle a, b \ in \ mathrm {Z}}

Quadrado de ambos os lados,

{\ displaystyle 2 = {a ^ {2} \ over b ^ {2}}}

{\ displaystyle 2b ^ {2} = a ^ {2}}

{\ displaystyle b ^ {2} + b ^ {2} = a ^ {2}}

Mas o lema prova que a soma de dois quadrados de número inteiro idênticos não pode produzir outro quadrado de número inteiro.

Portanto, a suposição de que é racional é contradita. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ é irracional. QED

Multiplicativo inverso

O inverso multiplicativo (recíproco) da raiz quadrada de dois (ou seja, a raiz quadrada de1/2) é uma constante amplamente usada .

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} = \ sin 45 ^ {\ circ} = \ cos 45 ^ {\ circ} =}

0,707 106 781 186 547 524 400 844 362 104 849 039 284 835 937 688 47 ... (sequência A010503 no OEIS )

Metade de $\sqrt 2$ , também o recíproco de $\sqrt 2$ , é uma quantidade comum em geometria e trigonometria porque o vetor unitário que faz um ângulo de 45 ° com os eixos em um plano tem as coordenadas

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ sqrt {2}} {2}}, {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ right).}

Este número satisfaz

{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {\ tfrac {1} {2}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = \ cos 45 ^ {\ circ} = \ sin 45 ^ {\ circ}.}

Propriedades

O tamanho do ângulo e a área do setor são iguais quando o raio cônico é √ 2 . Este diagrama ilustra as funções circulares e hiperbólicas com base nas áreas

u do

setor .

Uma propriedade interessante de $\sqrt 2$ é

{\ displaystyle \! \ {1 \ over {{\ sqrt {2}} - 1}} = {\ sqrt {2}} + 1}

Desde a

{\ displaystyle \ left ({\ sqrt {2}} + 1 \ right) \ left ({\ sqrt {2}} - 1 \ right) = 2-1 = 1.}

Isso está relacionado à propriedade das proporções de prata .

$\sqrt 2$ também pode ser expresso em termos de cópias da unidade imaginária $i$ usando apenas a raiz quadrada e as operações aritméticas , se o símbolo da raiz quadrada for interpretado adequadamente para os números complexos $i$ e $- i$ :

{\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {i}} + i {\ sqrt {i}}} {i}} {\ text {and}} {\ frac {{\ sqrt {-i}} - i { \ sqrt {-i}}} {- i}}}

$\sqrt 2$ também é o único número real diferente de 1 cujo tetrato infinito(isto é, torre exponencial infinita) é igual ao seu quadrado. Em outras palavras: se para $c> 1$ , $x 1 = c$ e $x n +1 = c x n$ para $n > 1$ , o limite de $x n$ será chamado de $n \to \infty$ (se este limite existir) $f (c)$ . Então $\sqrt 2$ é o único número $c > 1$ para o qual $f (c) = c 2$ . Ou simbolicamente:

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {~ \ cdot ^ {~ \ cdot ^ {~ \ cdot}}}}} = 2 .}

$\sqrt 2$ aparece na fórmula de Viète para $π$ :

{\ displaystyle 2 ^ {m} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2+ \ cdots + {\ sqrt {2}}}}}}}} \ to \ pi {\ text { as}} m \ to \ infty}

para $m$ raízes quadradas e apenas um sinal de menos.

Semelhante na aparência, mas com um número finito de termos, $\sqrt 2$ aparece em várias constantes trigonométricas:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sin {\ frac {\ pi} {32}} & = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt { 2 + {\ sqrt {2}}}}}}}} & \ quad \ sin {\ frac {3 \ pi} {16}} & = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2- {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}}}} & \ quad \ sin {\ frac {11 \ pi} {32}} & = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt { 2 + {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}}}}}} \\ [6pt] \ sin {\ frac {\ pi} {16}} & = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} & \ quad \ sin {\ frac {7 \ pi} {32}} & = { \ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}}}} & \ quad \ sin {\ frac {3 \ pi} {8}} & = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} \\ [6pt] \ sin {\ frac {3 \ pi} { 32}} & = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}}}}}} & \ quad \ sin {\ frac {\ pi} {4}} & = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2}} & \ quad \ sin {\ frac {13 \ pi} {32}} & = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}}}}}} \\ [6pt] \ sin {\ frac {\ pi} {8}} & = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} & \ quad \ sin {\ frac {9 \ pi} { 32}} & = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}}}} & \ quad \ sin {\ frac {7 \ pi} {16}} & = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} \\ [6pt] \ sin {\ frac {5 \ pi} {32}} & = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}}}}}} & \ quad \ sin {\ frac {5 \ pi} {16}} & = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}}}} & \ quad \ sin {\ frac { 15 \ pi} {32}} & = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}}} } \ end {alinhado}}}

Não se sabe se $\sqrt 2$ é um número normal , uma propriedade mais forte do que a irracionalidade, mas as análises estatísticas de sua expansão binária são consistentes com a hipótese de que é normal basear dois .

Representações

Série e produto

A identidade $porque π / 4 = pecado π / 4 = 1 / \sqrt 2$ , junto com as infinitas representações de produto para o seno e cosseno, leva a produtos como

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {(4k + 2) ^ { 2}}} \ right) = \ left (1 - {\ frac {1} {4}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {36}} \ right) \ left (1- { \ frac {1} {100}} \ right) \ cdots}

e

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(4k + 2) ^ {2}} {(4k + 1) (4k + 3)} } = \ left ({\ frac {2 \ cdot 2} {1 \ cdot 3}} \ right) \ left ({\ frac {6 \ cdot 6} {5 \ cdot 7}} \ right) \ left ({ \ frac {10 \ cdot 10} {9 \ cdot 11}} \ right) \ left ({\ frac {14 \ cdot 14} {13 \ cdot 15}} \ right) \ cdots}

ou equivalente,

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {1} {4k + 1}} \ right) \ left (1- { \ frac {1} {4k + 3}} \ right) = \ left (1 + {\ frac {1} {1}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {3}} \ right ) \ left (1 + {\ frac {1} {5}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {7}} \ right) \ cdots.}

O número também pode ser expresso tomando a série de Taylor de uma função trigonométrica. Por exemplo, a série para $cos π / 4$ dá

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} \ left ({\ frac { \ pi} {4}} \ right) ^ {2k}} {(2k)!}}.}

A série de Taylor de $\sqrt 1 + x$ com $x = 1$ e usando o fatorial duplo $n!!$ dá

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} {\ frac {(2k-3) !!} {(2k) !!}} = 1 + {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2 \ cdot 4}} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4 \ cdot 6} } - {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdot 8}} + \ cdots = 1 + {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {16}} - {\ frac {5} {128}} + {\ frac {7} {256}} + \ cdots.}

A convergência desta série pode ser acelerada com uma transformada de Euler , produzindo

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2k + 1)!} {2 ^ {3k + 1} (k!) ^ {2 }}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {3} {8}} + {\ frac {15} {64}} + {\ frac {35} {256}} + {\ frac {315} {4096}} + {\ frac {693} {16384}} + \ cdots.}

Não se sabe se $\sqrt 2$ pode ser representado com uma fórmula do tipo BBP . $No$ entanto, as fórmulas do tipo BBP são conhecidas para $π \sqrt 2$ e $\sqrt 2 ln (1+ \sqrt 2)$ .

O número pode ser representada por uma série infinita de fracções egípcios , com denominadores definidos por 2 ⁿ th termos de um Fibonacci -como recorrência relação uma (n) = 34a (n-1) -a (N-2), um (0 ) = 0, a (1) = 6.

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ frac {3} {2}} - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1 } {a (2 ^ {n})}} = {\ frac {3} {2}} - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {204}} + {\ frac {1} {235416}} + \ dots \ right)}

Fração contínua

A raiz quadrada de 2 e aproximações por convergentes de frações contínuas

A raiz quadrada de dois tem a seguinte representação de fração contínua :

{\ displaystyle \! \ {\ sqrt {2}} = 1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} { 2+ \ ddots}}}}}}}}.}

Os convergentes formados pelo truncamento desta representação formam uma sequência de frações que se aproximam da raiz quadrada de dois para aumentar a precisão, e que são descritos pelos números de Pell (conhecidos como números de lado e diâmetro para os gregos antigos devido ao seu uso na aproximação da proporção entre os lados e a diagonal de um quadrado). Os primeiros convergentes são: $1 / 1, 3 / 2, 7 / 5, 17 / 12, 41 / 29, 99 / 70, 239 / 169, 577 / 408$ . O convergente $p / q$ difere de $\sqrt 2$ quase exatamente $1 / 2 q 2 \sqrt 2$ e então o próximo convergente é $p + 2 q / p + q$ .

Quadrado aninhado

As seguintes expressões quadradas aninhadas convergem para √ 2 :

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ sqrt {2}} & = {\ tfrac {3} {2}} - 2 \ left ({\ tfrac {1} {4}} - \ left ({\ tfrac {1} {4}} - \ left ({\ tfrac {1} {4}} - \ left ({\ tfrac {1} {4}} - \ cdots \ right) ^ {2} \ right) ^ { 2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \\ & = {\ tfrac {3} {2}} - 4 \ left ({\ tfrac {1} {8}} + \ left ({ \ tfrac {1} {8}} + \ left ({\ tfrac {1} {8}} + \ left ({\ tfrac {1} {8}} + \ cdots \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2}. \ End {alinhado}}}

Formulários

Tamanho do papel

Em 1786, o professor de física alemão Georg Christoph Lichtenberg descobriu que qualquer folha de papel cuja borda longa seja √ 2 vezes maior do que a borda curta poderia ser dobrada ao meio e alinhada com seu lado mais curto para produzir uma folha com exatamente as mesmas proporções do original . Essa proporção de comprimentos do lado mais longo sobre o lado mais curto garante que o corte de uma folha ao meio ao longo de uma linha resulta em folhas menores com a mesma proporção (aproximada) da folha original. Quando a Alemanha padronizou os tamanhos de papel no início do século 20, eles usaram a proporção de Lichtenberg para criar a série "A" de tamanhos de papel. Hoje, a proporção (aproximada) dos tamanhos de papel em ISO 216 (A4, A0, etc.) é 1: $\sqrt 2$ .

Prova:
Deixe comprimento menor e comprimento maior das faces de uma folha de papel, com ${\ displaystyle S =}$ ${\ displaystyle L =}$

{\ displaystyle R = {\ frac {L} {S}} = {\ sqrt {2}}}

conforme exigido pela ISO 216.

Seja a proporção analógica da folha dividida pela metade, então ${\ displaystyle R '= {\ frac {L'} {S '}}}$

{\ displaystyle R '= {\ frac {S} {L / 2}} = {\ frac {2S} {L}} = {\ frac {2} {(L / S)}} = {\ frac {2 } {\ sqrt {2}}} = {\ sqrt {2}} = R}

.

Ciências físicas

Existem algumas propriedades interessantes envolvendo a raiz quadrada de 2 nas ciências físicas :

A raiz quadrada de dois é a razão de freqüência de um intervalo de trítono em uma música de temperamento igual de doze tons .
A raiz quadrada de dois forma a relação de f-stops em lentes fotográficas, o que, por sua vez, significa que a proporção das áreas entre duas aberturas sucessivas é 2.
A latitude celestial (declinação) do Sol durante os pontos astronômicos de um quarto de dia cruzado é igual à inclinação do eixo do planeta dividido por $\sqrt 2$ .

Veja também

Lista de constantes matemáticas
Raiz quadrada de 3 , $\sqrt 3$
Raiz quadrada de 5 , $\sqrt 5$
Constante de Gelfond-Schneider , $2 \sqrt 2$
Proporção de prata , $1 + \sqrt 2$

Notas

Referências

Apostol, Tom M. (2000), "Irracionalidade da raiz quadrada de dois - Uma prova geométrica", American Mathematical Monthly , 107 (9): 841-842, doi : 10.2307 / 2695741 , JSTOR 2695741.
Aristotle (2007), Analytica priora , eBooks @ Adelaide
Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in Contemporary mathematics. Errett Bishop: reflexões sobre ele e sua pesquisa (San Diego, Califórnia, 1983), 1-32, Contemp. Matemática. 39, Amer. Matemática. Soc., Providence, RI.
Flannery, David (2005), The Square Root of Two , Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X.
Fowler, David ; Robson, Eleanor (1998), "Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context", Historia Mathematica , 25 (4): 366-378, doi : 10.1006 / hmat.1998.2209.
Ótimo, IJ ; Gover, TN (1967), "The generalized serial test and the binary expansion of $\sqrt 2$ ", Journal of the Royal Statistical Society, Series A , 130 (1): 102–107, doi : 10.2307 / 2344040 , JSTOR 2344040.
Henderson, David W. (2000), "Square roots in the Śulba Sūtras", em Gorini, Catherine A. (ed.), Geometry At Work: Papers in Applied Geometry , Cambridge University Press, pp. 39-45, ISBN 978-0-88385-164-7.

links externos

Gourdon, X .; Sebah, P. (2001), "Pythagoras 'Constant: $\sqrt 2$ ", Numbers, Constants and Computation.
A raiz quadrada de dois a 5 milhões de dígitos, de Jerry Bonnell e Robert J. Nemiroff . Maio de 1994.
A raiz quadrada de 2 é irracional , uma coleção de provas
Grime, James; Bowley, Roger. "A raiz quadrada $\sqrt 2$ de dois" . Numberphile . Brady Haran .
√ 2 Search Engine 2 bilhões de dígitos pesquisáveis de √ 2 , $π$ e $e$

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