Mapeamento de compressão - Squeeze mapping

r = 3/2 mapeamento de compressão

Na álgebra linear , um mapeamento de compressão é um tipo de mapa linear que preserva a área euclidiana de regiões no plano cartesiano , mas não é um mapeamento de rotação ou cisalhamento .

Para um número real positivo fixo $a$ , o mapeamento

{\ displaystyle (x, y) \ mapsto (ax, y / a)}

é o mapeamento de compressão com o parâmetro $a$ . Desde a

{\ displaystyle \ {(u, v) \,: \, uv = \ mathrm {constant} \}}

é uma hipérbole , se $L = machado$ e $v = y / a$ , em seguida, $uv = xy$ e os pontos da imagem do mapeamento de aperto estão na mesma hipérbole como $(x, y)$ é. Por esse motivo, é natural pensar no mapeamento de compressão como uma rotação hiperbólica , como fez Émile Borel em 1914, por analogia com as rotações circulares , que preservam os círculos.

Logaritmo e ângulo hiperbólico

O mapeamento de compressão prepara o terreno para o desenvolvimento do conceito de logaritmos. O problema de encontrar a área delimitada por uma hipérbole (como $xy = 1)$ é de quadratura . A solução, encontrada por Grégoire de Saint-Vincent e Alphonse Antonio de Sarasa em 1647, exigia a função do logaritmo natural , um novo conceito. Alguns insights sobre logaritmos vêm por meio de setores hiperbólicos que são permutados por mapeamentos de compressão enquanto preservam sua área. A área de um setor hiperbólico é considerada uma medida de um ângulo hiperbólico associado ao setor. O conceito de ângulo hiperbólico é bastante independente do ângulo circular comum , mas compartilha uma propriedade de invariância com ele: enquanto o ângulo circular é invariante sob rotação, o ângulo hiperbólico é invariante sob mapeamento de compressão. Tanto o ângulo circular quanto o hiperbólico geram medidas invariantes, mas com respeito a diferentes grupos de transformação. As funções hiperbólicas , que tomam o ângulo hiperbólico como argumento, desempenham o papel que as funções circulares desempenham com o argumento do ângulo circular.

Teoria do grupo

Um mapeamento de compressão move um setor hiperbólico roxo para outro com a mesma área.
Ele também comprime retângulos azuis e verdes .

Em 1688, muito antes da teoria de grupo abstrata , o mapeamento de compressão foi descrito por Euclid Speidell nos termos do dia: "De um quadrado e uma companhia infinita de oblongos em superfícies, cada um igual a esse quadrado, como uma curva é gerada que deve ter as mesmas propriedades ou afeições de qualquer hipérbole inscrita dentro de um cone em ângulo reto. "

Se $r$ e $s$ são números reais positivos, a composição de seus mapeamentos de compressão é o mapeamento de compressão de seu produto. Portanto, a coleção de mapeamentos de compressão forma um grupo de um parâmetro isomórfico ao grupo multiplicativo de números reais positivos . Uma visão aditiva desse grupo surge da consideração dos setores hiperbólicos e seus ângulos hiperbólicos.

Do ponto de vista dos grupos clássicos , o grupo de mapeamentos de compressão é $SO + (1,1)$ , o componente de identidade do grupo ortogonal indefinido de matrizes reais 2 × 2 preservando a forma quadrática $u 2 - v 2$ . Isso é equivalente a preservar a forma $xy$ por meio da mudança de base

{\ displaystyle x = u + v, \ quad y = uv \ ,,}

e corresponde geometricamente à preservação de hipérboles. A perspectiva do grupo de mapeamentos de compressão como rotação hiperbólica é análoga à interpretação do grupo $SO (2)$ (o componente conectado do grupo ortogonal definido ) preservando a forma quadrática $x 2 + y 2$ como sendo rotações circulares .

Observe que a notação " $SO +$ " corresponde ao fato de que os reflexos

{\ displaystyle u \ mapsto -u, \ quad v \ mapsto -v}

Não são permitidos, embora eles preservar a forma (em termos de $x$ e $y$ são $x \mapsto y, y \mapsto x$ e $x \mapsto - x, y \mapsto - y)$ ; o " $+$ " adicional no caso hiperbólico (em comparação com o caso circular) é necessário para especificar o componente de identidade porque o grupo $O (1,1)$ tem $4$ componentes conectados , enquanto o grupo $O (2)$ tem $2$ componentes: $SO (1,1)$ tem $2$ componentes, enquanto $SO (2)$ tem apenas 1. O fato de que a compressão transforma preservar área e orientação corresponde à inclusão dos subgrupos $SO \subset SL$ - neste caso $SO (1,1) \subset SL ( 2)$ - do subgrupo de rotações hiperbólicas no grupo linear especial de transformações que preservam área e orientação (uma forma de volume ). Na linguagem das transformações de Möbius , as transformações squeeze são os elementos hiperbólicos na classificação dos elementos .

Formulários

Aqui, algumas aplicações são resumidas com referências históricas.

Espaço-tempo relativístico

A geometria do espaço-tempo é convencionalmente desenvolvida da seguinte forma: Selecione (0,0) para um "aqui e agora" em um espaço-tempo. A luz radiante à esquerda e à direita através deste evento central rastreia duas linhas no espaço-tempo, linhas que podem ser usadas para fornecer coordenadas para eventos distantes de (0,0). Trajetórias de menor velocidade seguem mais perto da linha do tempo original (0, t ). Qualquer uma dessas velocidades pode ser vista como uma velocidade zero sob um mapeamento de compressão chamado aumento de Lorentz . Esse insight segue de um estudo de multiplicações de números complexos divididos e da base diagonal que corresponde ao par de linhas claras. Formalmente, uma compressão preserva a métrica hiperbólica expressa na forma xy ; em um sistema de coordenadas diferente. Essa aplicação na teoria da relatividade foi observada em 1912 por Wilson e Lewis, por Werner Greub e por Louis Kauffman . Além disso, a forma de mapeamento de compressão das transformações de Lorentz foi usada por Gustav Herglotz (1909/10) ao discutir a rigidez de Born e foi popularizada por Wolfgang Rindler em seu livro sobre relatividade, que a usou em sua demonstração de sua propriedade característica.

O termo transformação de compressão foi usado neste contexto em um artigo conectando o grupo Lorentz com o cálculo de Jones em óptica.

Fluxo de canto

Na dinâmica dos fluidos, um dos movimentos fundamentais de um fluxo incompressível envolve a bifurcação de um fluxo que corre contra uma parede imóvel. Representando a parede pelo eixo y = 0 e tomando o parâmetro r = exp ( t ) onde t é o tempo, então o mapeamento de compressão com o parâmetro r aplicado a um estado de fluido inicial produz um fluxo com bifurcação esquerda e direita do eixo x = 0. O mesmo modelo fornece convergência fluida quando o tempo corre para trás. Na verdade, a área de qualquer setor hiperbólico é invariante sob compressão.

Para outra abordagem para um fluxo com linhas de corrente hiperbólicas , consulte Fluxo potencial § Leis de potência com n = 2 .

Em 1989, Ottino descreveu o "fluxo bidimensional isocórico linear" como

{\ displaystyle v_ {1} = Gx_ {2} \ quad v_ {2} = KGx_ {1}}

onde K está no intervalo [-1, 1]. As linhas aerodinâmicas seguem as curvas

{\ displaystyle x_ {2} ^ {2} -Kx_ {1} ^ {2} = \ mathrm {constante}}

então K negativo corresponde a uma elipse e K positivo a uma hipérbole, com o caso retangular do mapeamento de compressão correspondendo a K = 1.

Stocker e Hosoi descreveram sua abordagem para o fluxo de canto da seguinte forma:

sugerimos uma formulação alternativa para dar conta da geometria em forma de canto, baseada no uso de coordenadas hiperbólicas, que permite um progresso analítico substancial para a determinação do fluxo em uma borda de Platô e fios de líquido fixos. Consideramos uma região de escoamento formando um ângulo π / 2 e delimitada à esquerda e inferior por planos de simetria.

Stocker e Hosoi então relembram a consideração de Moffatt de "fluxo em um canto entre fronteiras rígidas, induzido por uma perturbação arbitrária a uma grande distância". De acordo com Stocker e Hosoi,

Para um fluido livre em um canto quadrado, a função de fluxo de Moffatt (antissimétrica) ... [indica] que as coordenadas hiperbólicas são de fato a escolha natural para descrever esses fluxos.

Ponte para transcendentais

A propriedade de preservação de área do mapeamento de compressão tem uma aplicação na definição da fundação do logaritmo natural das funções transcendentais e seu inverso da função exponencial :

Definição: Setor ( a, b ) é o setor hiperbólico obtido com os raios centrais para ( a , 1 / a ) e ( b , 1 / b ).

Lema: Se bc = ad , então há um mapeamento de compressão que move o setor ( a, b ) para o setor ( c, d ).

Prova: tome o parâmetro r = c / a de modo que ( u, v ) = ( rx , y / r ) leve ( a , 1 / a ) a ( c , 1 / c ) e ( b , 1 / b ) a ( d , 1 / d ).

Teorema ( Gregoire de Saint-Vincent 1647) Se bc = anúncio , então a quadratura da hipérbole XY = 1 contra a assíntota tem áreas iguais entre um e b comparação com entre c e d .

Prova: Um argumento adicionando e subtraindo triângulos de área 1 ⁄ 2 , sendo um triângulo {(0,0), (0,1), (1,1)}, mostra que a área do setor hiperbólico é igual à área ao longo da assíntota . O teorema então segue do lema.

Teorema ( Alphonse Antonio de Sarasa 1649) À medida que a área medida contra a assíntota aumenta na progressão aritmética, as projeções sobre a assíntota aumentam na sequência geométrica. Assim, as áreas formam logaritmos do índice de assíntota.

Por exemplo, para um ângulo de posição padrão que vai de (1, 1) a ( x , 1 / x ), pode-se perguntar "Quando o ângulo hiperbólico é igual a um?" A resposta é o número transcendental x = e .

Um aperto com r = e move o ângulo da unidade para um entre ( e , 1 / e ) e ( ee , 1 / ee ) que subtende um setor também da área um. A progressão geométrica

e , e ² , e ³ , ..., e ⁿ , ...

corresponde ao índice assintótico alcançado com cada somatório de áreas

1,2,3, ..., n , ...

que é uma progressão aritmética prototípica A + nd onde A = 0 e d = 1.

Transformada de mentira

Seguindo as investigações de Pierre Ossian Bonnet (1867) sobre superfícies de curvaturas constantes, Sophus Lie (1879) encontrou uma maneira de derivar novas superfícies pseudoesféricas de uma superfície conhecida. Essas superfícies satisfazem a equação de Sine-Gordon :

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ Theta} {ds \ d \ sigma}} = K \ sin \ Theta}

onde estão as coordenadas assintóticas de duas curvas tangentes principais e seus respectivos ângulos. Lie mostrou que se é uma solução para a equação de Sine-Gordon, então o seguinte mapeamento de compressão (agora conhecido como transformada de Lie) indica outras soluções dessa equação: ${\ displaystyle (s, \ sigma)}$ ${\ displaystyle \ Theta}$ ${\ displaystyle \ Theta = f (s, \ sigma)}$

{\ displaystyle \ Theta = f \ left (ms, \ {\ frac {\ sigma} {m}} \ right)}

Lie (1883) notou sua relação com duas outras transformações de superfícies pseudoesféricas: A transformada de Bäcklund (introduzida por Albert Victor Bäcklund em 1883) pode ser vista como a combinação de uma transformada de Lie com uma transformada de Bianchi (introduzida por Luigi Bianchi em 1879.) Essas transformações de superfícies pseudoesféricas foram discutidas em detalhes nas palestras sobre geometria diferencial de Gaston Darboux (1894), Luigi Bianchi (1894) ou Luther Pfahler Eisenhart (1909).

Sabe-se que as transformadas de Lie (ou mapeamentos de compressão) correspondem aos aumentos de Lorentz em termos de coordenadas do cone de luz , conforme apontado por Terng e Uhlenbeck (2000):

Sophus Lie observou que a SGE [equação de Sinus-Gordon] é invariante sob transformações de Lorentz. Em coordenadas assintóticas, que correspondem às coordenadas do cone de luz, uma transformação de Lorentz é . ${\ displaystyle (x, t) \ mapsto \ left ({\ tfrac {1} {\ lambda}} x, \ lambda t \ right)}$

Isso pode ser representado da seguinte forma:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} -c ^ {2} t ^ {2} + x ^ {2} = - c ^ {2} t ^ {\ prime 2} + x ^ {\ prime 2} \\ \ hline {\ begin {alinhados} ct '& = ct \ gamma -x \ beta \ gamma && = ct \ cosh \ eta -x \ sinh \ eta \\ x' & = - ct \ beta \ gamma + x \ gamma && = - ct \ sinh \ eta + x \ cosh \ eta \ end {alinhado}} \\\ hline u = ct + x, \ v = ct-x, \ k = {\ sqrt {\ tfrac {1+ \ beta} {1- \ beta}}} = e ^ {\ eta} \\ u '= {\ frac {u} {k}}, \ v' = kv \\\ hline u'v '= uv \ end {matriz}}}

onde k corresponde ao fator Doppler em Bondi k-calculus , η é a rapidez .

Veja também

Referências

HSM Coxeter & SL Greitzer (1967) Geometria revisitada , Capítulo 4 Transformações, Uma genealogia da transformação.
PS Modenov e AS Parkhomenko (1965) Transformações geométricas , volume um. Consulte as páginas 104 a 106.
Walter, Scott (1999). "O estilo não euclidiano da relatividade de Minkowskiana" (PDF) . Em J. Gray (ed.). O Universo Simbólico: Geometria e Física . Imprensa da Universidade de Oxford. pp. 91–127.(consulte a página 9 do e-link)

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