A teoria da correção de erros quânticos desempenha um papel proeminente na realização prática e engenharia da
computação quântica e dispositivos de comunicação quântica . Os primeiros códigos de correção de erros quânticos são surpreendentemente semelhantes aos códigos de bloco clássicos em sua operação e desempenho. Os códigos de correção de erros quânticos restauram um estado quântico com ruído e
descoerência para um estado quântico puro. Um
código de correção de erro quântico do estabilizador anexa qubits ancilla
aos qubits que queremos proteger. Um circuito de codificação unitário gira o estado global em um subespaço de um espaço de Hilbert maior . Este estado codificado e altamente emaranhado corrige erros locais com ruído. Um código de correção de erros quânticos torna a computação quântica
e a comunicação quântica práticas, fornecendo uma maneira para um emissor e um receptor simularem um canal qubit sem ruído dado um canal qubit ruidoso
cujo ruído está em conformidade com um modelo de erro específico.
A teoria do estabilizador de correção de erro quântico permite importar alguns códigos binários ou quaternários clássicos para uso como código quântico. No entanto, ao importar o código clássico, ele deve satisfazer a restrição contendo dual (ou auto-ortogonalidade). Os pesquisadores encontraram muitos exemplos de códigos clássicos que satisfazem essa restrição, mas a maioria dos códigos clássicos não. No entanto, ainda é útil importar códigos clássicos dessa maneira (embora, veja como o formalismo do estabilizador assistido por emaranhamento supera essa dificuldade).
Fundo matemático
O formalismo do estabilizador explora elementos do grupo Pauli na formulação de códigos de correção de erros quânticos. O conjunto
consiste nos operadores Pauli :
Os operadores acima atuam em um único qubit --- um estado representado por um vetor em um espaço de Hilbert bidimensional
. Os operadores têm valores próprios e comutam
ou anti-comutam . O conjunto consiste em produtos tensores dobrados de
operadores Pauli :
Elementos de ação em um registro quântico de qubits. Ocasionalmente omitimos os símbolos de produto tensorial no que segue para que
O grupo -fold Pauli desempenha um papel importante tanto para o circuito de codificação quanto para o procedimento de correção de erros de um código estabilizador quântico sobre qubits.
Definição
Vamos definir um código de correção de erro quântico estabilizador para codificar qubits lógicos em qubits físicos. A taxa de tal código é . Seu estabilizador é um subgrupo abeliano do grupo de
Pauli .
não contém o operador . A simultânea
- eigenspace dos operadores constitui o codespace . O espaço de código tem dimensão para que possamos codificar qubits nele. O estabilizador tem uma representação mínima em termos de
geradores independentes
Os geradores são independentes no sentido de que nenhum deles é produto dos outros dois (até uma fase global ). Os operadores funcionam da mesma maneira que uma matriz de verificação de paridade para um código de bloco linear clássico .
Condições de correção de erro do estabilizador
Uma das noções fundamentais na teoria de correção de erros quânticos é que basta corrigir um conjunto de erros discreto com suporte no grupo de Pauli
. Suponha que os erros que afetam um estado quântico codificado sejam um subconjunto do grupo Pauli :
Como e são subconjuntos de , um erro que afeta um estado quântico codificado comuta ou anticomuta com qualquer elemento específico em . O erro é corrigível se ele é anti-mutante com um elemento em . Um erro anticomutantes
é detectável por medir cada elemento em e computar uma síndrome de identificação . A síndrome é um vetor binário com comprimento cujos elementos identificam se o erro comuta ou anticomuta com cada um . Um erro
que comuta com cada elemento em é corrigível se e somente se estiver em . Ele corrompe o estado codificado se comutar com cada elemento de, mas não se encontrar em . Então, nós compacta resumir as condições de correção de erros de estabilizador: um código estabilizador pode corrigir eventuais erros em se
ou
onde está o centralizador de (ou seja, o subgrupo de elementos que comutam com todos os membros de , também conhecido como comutante).
Relação entre o grupo Pauli e os vetores binários
Um mapeamento simples, mas útil, existe entre os elementos do e o espaço vetorial binário
. Este mapeamento fornece uma simplificação da teoria de correção de erros quânticos. Ele representa códigos quânticos com vetores binários e operações binárias em vez de operadores de Pauli e
operações de matriz, respectivamente.
Primeiro fornecemos o mapeamento para o caso de um qubit. Suponha que
seja um conjunto de classes de equivalência de um operador que possui a mesma fase :
Seja o conjunto de operadores Pauli livres de fase onde
. Defina o mapa como
Suponha . Vamos empregar a taquigrafia e onde , , , . Por exemplo, suponha . Então . O mapa induz um isomorfismo porque a adição de vetores em é equivalente à multiplicação de operadores de Pauli até uma fase global:
Vamos denotar o produto simplético entre dois elementos :
O produto simplético fornece as relações de comutação de elementos de
:
O produto simplético e o mapeamento, portanto, fornecem uma maneira útil de expressar as relações de Pauli em termos de álgebra binária . A extensão das definições acima e mapeamento para vários qubits é direta. Let denotar um elemento arbitrário de . Podemos definir de forma semelhante o grupo -qubit Pauli livre de
fase, onde
A operação de grupo para a classe de equivalência acima é a seguinte:
A classe de equivalência forma um grupo comutativo
em operação . Considere o espaço vetorial dimensional
Ele forma o grupo comutativo com operação definida como adição vetorial binária. Empregamos a notação
para representar quaisquer vetores,
respectivamente. Cada vetor e possui elementos e, respectivamente, com representações semelhantes para e . O produto simplético de e é
ou
onde e . Vamos definir um mapa da seguinte maneira:
Deixar
para que e pertençam à mesma
classe de equivalência :
O mapa é um isomorfismo pelo mesmo motivo dado no caso anterior:
onde . O produto simplético
captura as relações de comutação de quaisquer operadores e :
A representação binária e álgebra simplética acima são úteis para tornar a relação entre a correção de erro linear clássica e a correção de erro quântica mais explícita.
Ao comparar os códigos de correção de erros quânticos nesta linguagem a espaços vetoriais simpléticos , podemos ver o seguinte. Um subespaço simplético corresponde a uma soma direta de álgebras de Pauli (ou seja, qubits codificados), enquanto um subespaço isotrópico corresponde a um conjunto de estabilizadores.
Exemplo de código de estabilizador
Um exemplo de código do estabilizador é o código do estabilizador de cinco qubit
. Ele codifica qubit lógico em qubits físicos e protege contra um erro arbitrário de qubit único. Possui código de distância . Seu estabilizador consiste em operadores Pauli:
Os operadores acima comutam. Portanto, o codespace é o simultâneo + 1-eigenspace dos operadores acima. Suponha que um erro de qubit único ocorra no registro quântico codificado. Um erro de qubit único está no conjunto, onde denota um erro de Pauli em qubit . É fácil verificar se qualquer erro arbitrário de qubit único tem uma síndrome única. O receptor corrige qualquer erro de qubit único identificando a síndrome por meio de uma medição de Paridade e aplicando uma operação corretiva.
Referências
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