Parâmetro gravitacional padrão - Standard gravitational parameter

Corpo	μ [m³ s⁻² ]
sol	1.327 124 400 18 (9)	× 10 ²⁰
Mercúrio	2,2032 (9)	× 10 ¹³
Vênus	3,248 59 (9)	× 10 ¹⁴
terra	3,986 004 418 (8)	× 10 ¹⁴
Lua	4,904 8695 (9)	× 10 ¹²
Marte	4,282 837 (2)	× 10 ¹³
Ceres	6,263 25	× 10 ¹⁰
Júpiter	1.266 865 34 (9)	× 10 ¹⁷
Saturno	3,793 1187 (9)	× 10 ¹⁶
Urano	5,793 939 (9)	× 10 ¹⁵
Netuno	6,836 529 (9)	× 10 ¹⁵
Plutão	8,71 (9)	× 10 ¹¹
Eris	1,108 (9)	× 10 ¹²

Na mecânica celeste , o parâmetro gravitacional padrão μ de um corpo celeste é o produto da constante gravitacional G pela massa M do corpo.

{\ displaystyle \ mu = GM \}

Durante vários objectos do sistema solar , o valor de μ é conhecido para uma maior precisão do que qualquer um G ou H . As unidades SI do parâmetro gravitacional padrão são m ³ s ⁻² . No entanto, unidades de km ³ s ⁻² são freqüentemente usadas na literatura científica e na navegação de espaçonaves.

Definição

Corpo pequeno orbitando um corpo central

Gráfico log-log do período T vs semi-eixo maior a (média do afélio e periélio) de algumas órbitas do Sistema Solar (cruzes denotando os valores de Kepler) mostrando que a ³ / T ² é constante (linha verde)

O corpo central em um sistema orbital pode ser definido como aquele cuja massa ( M ) é muito maior do que a massa do corpo orbital ( m ), ou M ≫ m . Esta aproximação é padrão para planetas orbitando o Sol ou a maioria das luas e simplifica muito as equações. De acordo com a lei da gravitação universal de Newton , se a distância entre os corpos for r , a força exercida sobre o corpo menor é:

{\ displaystyle F = {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} = {\ frac {\ mu m} {r ^ {2}}}}

Assim, apenas o produto de G e M é necessário para prever o movimento do corpo menor. Por outro lado, as medições da órbita do corpo menor fornecem apenas informações sobre o produto, µ, não G e M separadamente. A constante gravitacional, G, é difícil de medir com alta precisão, enquanto as órbitas, pelo menos no sistema solar, podem ser medidas com grande precisão e usadas para determinar μ com precisão semelhante.

Para uma órbita circular em torno de um corpo central:

{\ displaystyle \ mu = rv ^ {2} = r ^ {3} \ omega ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2} r ^ {3}} {T ^ {2}}} \ }

onde r é o raio da órbita , v é a velocidade orbital , ω é a velocidade angular e T é o período orbital .

Isso pode ser generalizado para órbitas elípticas :

{\ displaystyle \ mu = {\ frac {4 \ pi ^ {2} a ^ {3}} {T ^ {2}}} \}

onde a é o semi-eixo maior , que é a terceira lei de Kepler .

Para trajetórias parabólicas, rv ² é constante e igual a 2 μ . Para órbitas elípticas e hiperbólicas μ = 2 a | ε | , onde ε é a energia orbital específica .

Caso Geral

No caso mais geral, onde os corpos não precisam ser grandes e pequenos, por exemplo, um sistema estelar binário , definimos:

o vetor r é a posição de um corpo em relação ao outro
r , v , e no caso de uma órbita elíptica , o semieixo maior a , são definidos em conformidade (portanto, r é a distância)
μ = Gm ₁ + Gm ₂ = μ ₁ + μ ₂ , onde m ₁ e m ₂ são as massas dos dois corpos.

Então:

para órbitas circulares , rv ² = r ³ω ² = 4π ²r ³ / T ² = μ
para órbitas elípticas , 4π ²a ³ / T ² = μ (com a expresso em AU; T em anos e M a massa total em relação à do Sol, obtemos a ³ / T ² = M )
para trajetórias parabólicas , rv ² é constante e igual a 2 μ
para órbitas elípticas e hiperbólicas, μ é o dobro do semieixo maior vezes o negativo da energia orbital específica , onde esta é definida como a energia total do sistema dividida pela massa reduzida .

Em um pêndulo

O parâmetro gravitacional padrão pode ser determinado usando um pêndulo oscilando acima da superfície de um corpo como:

{\ displaystyle \ mu \ approx {\ frac {4 \ pi ^ {2} r ^ {2} L} {T ^ {2}}}}

onde r é o raio do corpo gravitante, L é o comprimento do pêndulo e T é o período do pêndulo (para a razão da aproximação ver Pendulum em mecânica ).

Sistema solar

Constante gravitacional geocêntrica

$G$ M _🜨 , o parâmetro gravitacional da Terra como corpo central, é chamado de constante gravitacional geocêntrica . É igual a(3,986 004 418 ± 0,000 000 008 ) × 10 ¹⁴ m ³ s ⁻² .

O valor dessa constante tornou-se importante com o início dos voos espaciais na década de 1950, e grande esforço foi despendido para determiná-lo com a maior precisão possível durante a década de 1960. Sagitov (1969) relata uma ampla gama de valores relatados de 1960 medições de alta precisão, com uma incerteza relativa da ordem de 10 ^-6 .

Durante os anos 1970 a 1980, o número crescente de satélites artificiais na órbita da Terra facilitou ainda mais as medições de alta precisão, e a incerteza relativa foi diminuída em outras três ordens de magnitude, para cerca de2 × 10 ⁻⁹ (1 em 500 milhões) em 1992. A medição envolve observações das distâncias do satélite às estações terrestres em momentos diferentes, que podem ser obtidas com alta precisão usando radar ou laser.

Constante gravitacional heliocêntrica

$G$ M _☉ , o parâmetro gravitacional para o Sol como o corpo central, é chamado de constante gravitacional heliocêntrica ou geopotencial do Sol e é igual(1.327 124 400 42 ± 0,000 000 0001 ) × 10 ²⁰ m ³ s ⁻² .

A incerteza relativa em $G$ M _☉ , citada abaixo de 10 ⁻¹⁰ em 2015, é menor do que a incerteza em $G$ M _🜨 porque $G$ M _☉ é derivado do intervalo de sondas interplanetárias e o erro absoluto das medidas de distância para eles é quase o mesmo que as medidas de alcance dos satélites terrestres, enquanto as distâncias absolutas envolvidas são muito maiores.

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