Espaço de probabilidade padrão - Standard probability space

Na teoria da probabilidade , um espaço de probabilidade padrão , também chamado de espaço de probabilidade de Lebesgue-Rokhlin ou apenas espaço de Lebesgue (o último termo é ambíguo) é um espaço de probabilidade que satisfaz certas suposições introduzidas por Vladimir Rokhlin em 1940. Informalmente, é um espaço de probabilidade que consiste em um intervalo e / ou um número finito ou contável de átomos .

A teoria dos espaços de probabilidade padrão foi iniciada por von Neumann em 1932 e moldada por Vladimir Rokhlin em 1940. Rokhlin mostrou que o intervalo unitário dotado com a medida de Lebesgue tem vantagens importantes sobre os espaços de probabilidade geral, mas pode ser efetivamente substituído por muitos deles em teoria da probabilidade. A dimensão do intervalo unitário não é um obstáculo, como já estava claro para Norbert Wiener . Ele construiu o processo de Wiener (também chamado de movimento browniano ) na forma de um mapa mensurável do intervalo da unidade ao espaço das funções contínuas .

História curta

A teoria dos espaços de probabilidade padrão foi iniciada por von Neumann em 1932 e moldada por Vladimir Rokhlin em 1940. Para apresentações modernizadas, consulte ( Haezendonck 1973 ), ( de la Rue 1993 ), ( Itô 1984 , Seção 2.4) e ( Rudolf 1990 , Capítulo 2) .

Hoje em dia, os espaços de probabilidade padrão podem ser (e freqüentemente são) tratados na estrutura da teoria dos conjuntos descritivos , por meio dos espaços padrão do Borel , ver, por exemplo ( Kechris 1995 , Seção 17). Esta abordagem é baseada no teorema do isomorfismo para espaços padrão de Borel ( Kechris 1995 , Theorem (15.6)). Uma abordagem alternativa de Rokhlin, baseada na teoria da medida , negligencia os conjuntos nulos , em contraste com a teoria descritiva dos conjuntos. Espaços de probabilidade padrão são usados ​​rotineiramente na teoria ergódica ,

Definição

Uma das várias definições equivalentes bem conhecidas de padronização é dada abaixo, após algumas preparações. Todos os espaços de probabilidade são considerados completos .

Isomorfismo

Um isomorfismo entre dois espaços de probabilidade , é um mapa invertível tal que e ambos são (mensuráveis ​​e) mapas de preservação de medida .

Dois espaços de probabilidade são isomórficos se houver um isomorfismo entre eles.

Isomorfismo módulo zero

Dois espaços de probabilidade , são isomorfos se existem conjuntos nulos , de tal forma que os espaços de probabilidade , são isomorfos (sendo dotado naturalmente com sigma-campos e medidas de probabilidade).

Espaço de probabilidade padrão

Um espaço de probabilidade é padrão , se for isomorfo a um intervalo com medida de Lebesgue, um conjunto finito ou contável de átomos, ou uma combinação (união disjunta) de ambos.

Ver ( Rokhlin 1952 , Sect. 2.4 (p. 20)), ( Haezendonck 1973 , Proposition 6 (p. 249) e Remark 2 (p. 250)), e ( de la Rue 1993 , Teorema 4-3). Ver também ( Kechris 1995 , Seção 17.F) e ( Itô 1984 , especialmente Seção 2.4 e Exercício 3.1 (v)). Em ( Petersen 1983 , Definição 4.5 na página 16) a medida é assumida como finita, não necessariamente probabilística. Em ( Sinai 1994 , Definição 1 na página 16) átomos não são permitidos.

Exemplos de espaços de probabilidade não padrão

Um ruído branco ingênuo

O espaço de todas as funções pode ser pensado como o produto de um continuum de cópias da linha real . Pode-se dotar de uma medida de probabilidade, digamos, a distribuição normal padrão , e tratar o espaço de funções como o produto de um continuum de espaços de probabilidade idênticos . A medida do produto é uma medida de probabilidade ativada . Muitos leigos tendem a acreditar que isso descreve o chamado ruído branco .

No entanto, isso não acontece. Para o ruído branco, sua integral de 0 a 1 deve ser uma variável aleatória distribuída N (0, 1). Em contraste, a integral (de 0 a 1) de é indefinida. Pior ainda, ƒ deixa de ser quase certamente mensurável. Pior ainda, a probabilidade de ƒ ser mensurável é indefinida. E o pior: se X é uma variável aleatória distribuída (digamos) uniformemente em (0, 1) e independente de ƒ , então ƒ ( X ) não é uma variável aleatória de forma alguma! (Falta mensurabilidade.)

Um intervalo perfurado

Let Ser um conjunto cuja medida de Lebesgue interna é igual a 0, mas medida de Lebesgue externa é igual a 1 (portanto, não é mensurável ao extremo). Existe uma medida de probabilidade de tal forma que para cada Lebesgue mensurável . (Aqui está a medida de Lebesgue.) Eventos e variáveis ​​aleatórias no espaço de probabilidade (tratados ) estão em uma correspondência natural um a um com eventos e variáveis ​​aleatórias no espaço de probabilidade . Muitos não especialistas tendem a concluir que o espaço de probabilidade é tão bom quanto .

No entanto, não é. Uma variável aleatória definida por é distribuída uniformemente em . A medida condicional, dada , é apenas um único átomo (em ), desde que seja o espaço de probabilidade subjacente. No entanto, se for usado em vez disso, a medida condicional não existe quando .

Um círculo perfurado é construído de forma semelhante. Seus eventos e variáveis ​​aleatórias são iguais aos do círculo normal. O grupo de rotações atua sobre eles naturalmente. No entanto, ele não atua no círculo perfurado.

Veja também ( Rudolph 1990 , página 17).

Um conjunto mensurável supérfluo

Vamos ser como no exemplo anterior. Conjuntos da forma onde e são conjuntos mensuráveis ​​de Lebesgue arbitrários, são uma σ-álgebra que contém a σ-álgebra de Lebesgue e a fórmula

dá a forma geral de uma medida de probabilidade em que se estende a medida de Lebesgue; aqui está um parâmetro. Para ser específico, escolhemos Muitos não especialistas tendem a acreditar que tal extensão da medida de Lebesgue é pelo menos inofensiva.

No entanto, é o intervalo perfurado disfarçado. O mapa

é um isomorfismo entre e o intervalo perfurado correspondente ao conjunto

outro conjunto de medida de Lebesgue interna 0, mas medida de Lebesgue externa 1.

Consulte também ( Rudolph 1990 , Exercício 2.11 na página 18).

Um critério de padronização

A padronização de um dado espaço de probabilidade é equivalente a uma certa propriedade de um mapa mensurável de a um espaço mensurável A resposta (padrão ou não) não depende da escolha de e . Este fato é bastante útil; pode-se adaptar a escolha de e ao dado Não há necessidade de examinar todos os casos. Pode ser conveniente examinar uma variável aleatória, um vetor aleatório, uma sequência aleatória ou uma sequência de eventos tratada como uma sequência de variáveis ​​aleatórias de dois valores,

Duas condições serão impostas (ser injetivo e gerar). Abaixo, assume-se que tal é dado. A questão de sua existência será abordada posteriormente.

O espaço de probabilidade é considerado completo (caso contrário, não pode ser padrão).

Uma única variável aleatória

Uma função mensurável induz uma medida pushforward , - a medida de probabilidade em definido pela

   para conjuntos de Borel

ou seja, a distribuição da variável aleatória . A imagem é sempre um conjunto de medidas externas completas,

mas sua medida interna pode ser diferente (veja um intervalo perfurado ). Em outras palavras, não precisa ser um conjunto de medidas completas

Uma função mensurável é chamada de geração se é o complemento em relação à σ-álgebra de imagens inversas onde percorre todos os conjuntos de Borel.

Cuidado.   A seguinte condição não é suficiente para estarmos gerando: para cada existe um conjunto Borel tal que ( significa diferença simétrica ).

Teorema. Deixe uma função mensurável ser injetiva e geradora, então as duas condições a seguir são equivalentes:

  • (ou seja, a medida interna também tem medida total, e a imagem é mensurável em relação à conclusão);
  • é um espaço de probabilidade padrão.

Ver também ( Itô 1984 , Seção 3.1).

Um vetor aleatório

O mesmo teorema é válido para qualquer (no lugar de ). Uma função mensurável pode ser pensada como uma sequência finita de variáveis ​​aleatórias e está gerando se e somente se a conclusão da σ-álgebra gerada por

Uma sequência aleatória

O teorema ainda é válido para o espaço de sequências infinitas. Uma função mensurável pode ser pensada como uma sequência infinita de variáveis ​​aleatórias e está gerando se, e somente se, a conclusão da σ-álgebra gerada por

Uma sequência de eventos

Em particular, se as variáveis ​​aleatórias assumem apenas dois valores 0 e 1, lidamos com uma função mensurável e uma sequência de conjuntos. A função está gerando se e somente se a conclusão da σ-álgebra gerada por

No trabalho pioneiro ( Rokhlin 1952 ), as sequências que correspondem às injetivas, geradoras, são chamadas de bases do espaço de probabilidade (ver Rokhlin 1952 , Seção 2.1). Uma base é chamada de mod 0 completo, se for de medida completa (ver Rokhlin 1952 , Seção 2.2). Na mesma seção, Rokhlin provou que se um espaço de probabilidade é mod 0 completo com respeito a alguma base, então é mod 0 completo com respeito a todas as outras bases, e define os espaços de Lebesgue por esta propriedade de completude. Ver também ( Haezendonck 1973 , Prop. 4 e Def. 7) e ( Rudolph 1990 , Seção 2.3, especialmente Teorema 2.2).

Observações adicionais

Os quatro casos tratados acima são mutuamente equivalentes, e podem ser unidos, uma vez que os espaços mensuráveis e são mutuamente isomórficos; todos eles são espaços mensuráveis ​​padrão (em outras palavras, espaços padrão do Borel).

A existência de uma função mensurável injetiva a partir de um espaço mensurável padrão não depende da escolha de Tomando obtemos a propriedade conhecida como sendo contávelmente separada (mas chamada separável em Itô 1984 ).

A existência de uma função mensurável geradora a partir de um espaço mensurável padrão também não depende da escolha de Tomando obtemos a propriedade bem conhecida como sendo gerada de forma contável (mod 0), ver ( Durrett 1996 , Exer. I.5).

Espaço de probabilidade Contavelmente separados Gerado de forma contável Padrão
Intervalo com medida Lebesgue sim sim sim
Ruído branco ingênuo Não Não Não
Intervalo perfurado sim sim Não

Cada função mensurável injetiva de um espaço de probabilidade padrão para um espaço mensurável padrão está sendo gerada. Ver ( Rokhlin 1952 , Seção 2.5), ( Haezendonck 1973 , Corolário 2 na página 253), ( de la Rue 1993 , Teoremas 3-4 e 3-5). Esta propriedade não é válida para o espaço de probabilidade não padrão tratado na subseção "Um conjunto mensurável supérfluo" acima.

Cuidado.   A propriedade de ser gerado de forma contável é invariante sob os isomorfismos do mod 0, mas a propriedade de ser separado de forma contável não o é. Na verdade, um espaço de probabilidade padrão é separado de forma contável se e somente se a cardinalidade de não exceder o contínuo (ver Itô 1984 , Exer. 3.1 (v)). Um espaço de probabilidade padrão pode conter um conjunto nulo de qualquer cardinalidade, portanto, não precisa ser separado de forma contável. No entanto, ele sempre contém um subconjunto separado de forma contável da medida completa.

Definições equivalentes

Seja um espaço de probabilidade completo de forma que a cardinalidade de não exceda o contínuo (o caso geral é reduzido a este caso especial, veja o aviso acima).

Via mensurabilidade absoluta

Definição.   é padrão se for separado de forma contável, gerado de forma contável e absolutamente mensurável.

Veja ( Rokhlin 1952 , o final da Seção 2.3) e ( Haezendonck 1973 , Observação 2 na página 248). "Absolutamente mensurável" significa: mensurável em cada espaço de probabilidade gerado de forma contável e separado que o contém.

Via perfeição

Definição.   é padrão se for contável e perfeito.

Veja ( Itô 1984 , Seção 3.1). "Perfeito" significa que, para cada função mensurável de até a imagem, a medida é regular . (Aqui a medida da imagem é definida em todos os conjuntos cujas imagens inversas pertencem , independentemente da estrutura do Borel ).

Via topologia

Definição.   é padrão se existe uma topologia em que

  • o espaço topológico é metrizável ;
  • é a conclusão da σ-álgebra gerada por (isto é, por todos os conjuntos abertos);
  • para cada existe um conjunto compacto de tal forma que

Ver ( de la Rue 1993 , Seção 1).

Verificando a padronização

Cada distribuição de probabilidade no espaço o transforma em um espaço de probabilidade padrão. (Aqui, uma distribuição de probabilidade significa uma medida de probabilidade definida inicialmente na sigma-álgebra de Borel e concluída.)

O mesmo se aplica a todos os espaços poloneses , ver ( Rokhlin 1952 , Seção 2.7 (p. 24)), ( Haezendonck 1973 , Exemplo 1 (p. 248)), ( de la Rue 1993 , Teorema 2-3), e ( Itô 1984 , Teorema 2.4.1).

Por exemplo, a medida de Wiener transforma o espaço polonês (de todas as funções contínuas dotadas da topologia de convergência uniforme local ) em um espaço de probabilidade padrão.

Outro exemplo: para cada sequência de variáveis ​​aleatórias, sua distribuição conjunta transforma o espaço polonês (de sequências; dotado da topologia do produto ) em um espaço de probabilidade padrão.

(Assim, a ideia de dimensão , muito natural para espaços topológicos , é totalmente inadequada para espaços de probabilidade padrão.)

O produto de dois espaços de probabilidade padrão é um espaço de probabilidade padrão.

O mesmo se aplica ao produto de muitos espaços contáveis, ver ( Rokhlin 1952 , Seção 3.4), ( Haezendonck 1973 , Proposição 12) e ( Itô 1984 , Teorema 2.4.3).

Um subconjunto mensurável de um espaço de probabilidade padrão é um espaço de probabilidade padrão. Supõe-se que o conjunto não é um conjunto nulo e é dotado da medida condicional. Veja ( Rokhlin 1952 , Seção 2.3 (p. 14)) e ( Haezendonck 1973 , Proposição 5).

Cada medida de probabilidade em um espaço de Borel padrão o transforma em um espaço de probabilidade padrão.

Usando a padronização

Probabilidades condicionais regulares

Na configuração discreta, a probabilidade condicional é outra medida de probabilidade e a expectativa condicional pode ser tratada como a expectativa (usual) em relação à medida condicional, consulte a expectativa condicional . Na configuração não discreta, o condicionamento é frequentemente tratado indiretamente, uma vez que a condição pode ter probabilidade 0, consulte a expectativa condicional . Como resultado, uma série de fatos bem conhecidos têm contrapartes 'condicionais' especiais. Por exemplo: linearidade da expectativa; Desigualdade de Jensen (ver expectativa condicional ); Desigualdade de Hölder ; o teorema da convergência monótona , etc.

Dada uma variável aleatória em um espaço de probabilidade , é natural tentar construir uma medida condicional , ou seja, a distribuição condicional de dada . Em geral, isso é impossível (ver Durrett 1996 , Seção 4.1 (c)). No entanto, para um espaço de probabilidade padrão isso é possível, e bem conhecido como sistema canônico de medidas (ver Rokhlin 1952 , Seção 3.1), que é basicamente o mesmo que medidas de probabilidade condicional (ver Itô 1984 , Seção 3.5), desintegração de medida (ver Kechris 1995 , Exercício (17.35)) e probabilidades condicionais regulares (ver Durrett 1996 , Seção 4.1 (c)).

A desigualdade de Jensen condicional é apenas a (usual) desigualdade de Jensen aplicada à medida condicional. O mesmo se aplica a muitos outros fatos.

Medir transformações de preservação

Dados dois espaços de probabilidade , e um mapa medida preservação , a imagem não precisa cobrir a totalidade , pode faltar um conjunto nulo. Pode parecer que tem que ser igual a 1, mas não é assim. A medida externa de é igual a 1, mas a medida interna pode ser diferente. No entanto, se os espaços de probabilidade , são padrão , em seguida , ver ( de la Rue 1993 , Teorema 3-2). Se é também um-para-um, em seguida, a cada satisfaz , . Portanto, é mensurável (e preserva a medida). Ver ( Rokhlin 1952 , Seção 2.5 (p. 20)) e ( de la Rue 1993 , Teorema 3-5). Veja também ( Haezendonck 1973 , Proposição 9 (e Observação depois dela)).

“Há uma maneira coerente de ignorar os conjuntos de medida 0 em um espaço de medida” ( Petersen 1983 , página 15). Esforçando-se para se livrar de conjuntos nulos, os matemáticos costumam usar classes de equivalência de conjuntos ou funções mensuráveis. As classes de equivalência de subconjuntos mensuráveis ​​de um espaço de probabilidade formam uma álgebra booleana completa normalizada chamada álgebra de medida (ou estrutura métrica). Cada medida que preserva o mapa leva a um homomorfismo de álgebras de medida; basicamente, para .

Pode parecer que todo homomorfismo de álgebras de medida tem que corresponder a algum mapa de preservação de medida, mas não é assim. No entanto, para espaços de probabilidade padrão , cada um corresponde a algum . Ver ( Rokhlin 1952 , Seção 2.6 (pág. 23) e 3.2), ( Kechris 1995 , Seção 17.F), ( Petersen 1983 , Teorema 4.7 na página 17).

Veja também

* (2001) [1994], "Espaço de probabilidade padrão" , Encyclopedia of Mathematics , EMS PressManutenção de CS1: nomes numéricos: lista de autores ( link )

Notas

  1. ^ ( von Neumann 1932 ) e ( Halmos & von Neumann 1942 ) são citados em ( Rokhlin 1952 , página 2) e ( Petersen 1983 , página 17).
  2. ^ Publicado resumidamente em 1947, em detalhes em 1949 em russo e em 1952 ( Rokhlin 1952 ) em inglês. Um texto não publicado de 1940 é mencionado em ( Rokhlin 1952 , página 2). "A teoria dos espaços de Lebesgue em sua forma atual foi construída por VA Rokhlin" ( Sinai 1994 , página 16).
  3. ^ "Neste livro, trataremos exclusivamente dos espaços de Lebesgue" ( Petersen 1983 , página 17).
  4. ^ "Teoria ergódica nos espaços de Lebesgue" é o subtítulo do livro ( Rudolph 1990 ).

Referências

  • Rokhlin, VA (1952), Sobre as idéias fundamentais da teoria da medida (PDF) , Traduções, 71 , American Mathematical Society, pp. 1-54. Traduzido do russo: Рохлин, В. А. (1949), "Об основных понятиях теории меры", Математический Сборник (Новая Серия) , 25 (67): 107–150.
  • von Neumann, J. (1932), "Einige Sätze über messbare Abbildungen", Annals of Mathematics , Second Series, 33 : 574–586, doi : 10.2307 / 1968536.
  • Halmos, PR ; von Neumann, J. (1942), "Métodos de operação em mecânica clássica, II", Annals of Mathematics , Second Series, Annals of Mathematics, 43 (2): 332-350, doi : 10.2307 / 1968872 , JSTOR  1968872.
  • Haezendonck, J. (1973), "Abstract Lebesgue-Rohlin spaces", Bulletin de la Société Mathématique de Belgique , 25 : 243–258.
  • de la Rue, T. (1993), "Espaces de Lebesgue", Séminaire de Probabilités XXVII , Lecture Notes in Mathematics, 1557 , Springer, Berlin, pp. 15-21.
  • Petersen, K. (1983), Ergodic theory , Cambridge Univ. Aperte.
  • Itô, K. (1984), Introdução à teoria da probabilidade , Cambridge Univ. Aperte.
  • Rudolph, DJ (1990), Fundamentos de dinâmica mensurável: teoria ergódica em espaços de Lebesgue , Oxford: Clarendon Press.
  • Sinai, Ya. G. (1994), Tópicos em teoria ergódica , Princeton Univ. Aperte.
  • Kechris, AS (1995), Teoria dos conjuntos descritivos clássicos , Springer.
  • Durrett, R. (1996), Probabilidade: teoria e exemplos (segunda edição).
  • Wiener, N. (1958), Nonlinear problems in random theory , MIT Press.

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