Teorema de Stone-von Neumann - Stone–von Neumann theorem

Na matemática e na física teórica , o teorema de Stone-von Neumann se refere a qualquer uma das várias formulações diferentes da singularidade das relações de comutação canônicas entre os operadores de posição e momento . Tem o nome de Marshall Stone e John von Neumann .

Problemas de representação das relações de comutação

Na mecânica quântica , os observáveis físicos são representados matematicamente por operadores lineares em espaços de Hilbert .

Para uma única partícula se movendo na linha real , existem dois observáveis ​​importantes: posição e momento . Na descrição quântica da representação de Schrödinger de tal partícula, o operador de posição x e o operador de momento são, respectivamente, dados por ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle [x \ psi] (x_ {0}) = x_ {0} \ psi (x_ {0})}$

${\ displaystyle [p \ psi] (x_ {0}) = - i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} (x_ {0})}$

no domínio das funções infinitamente diferenciáveis ​​do suporte compacto diante . Suponha que seja um número real fixo diferente de zero - na teoria quântica é a constante de Planck reduzida , que carrega unidades de ação (energia vezes tempo). ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle \ hbar}$

Os operadores , satisfazem a álgebra de Lie da relação de comutação canônica , ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle [x, p] = xp-px = i \ hbar.}$

Já em seu livro clássico, Hermann Weyl observou que essa lei de comutação era impossível de satisfazer para operadores lineares p , x atuando em espaços de dimensão finita , a menos que ℏ desapareça. Isso é aparente tomando o traço em ambos os lados da última equação e usando a relação Traço ( AB ) = Traço ( BA ) ; o lado esquerdo é zero, o lado direito é diferente de zero. Uma análise posterior mostra que, de fato, quaisquer dois operadores auto-adjuntos que satisfaçam a relação de comutação acima não podem ser ambos limitados . Por conveniência de notação, a raiz quadrada não nulos de ℏ podem ser absorvidos a normalização das p e x , de modo que, efetivamente, ele é substituído por 1. Nós assumimos esta normalização no que se segue.

A ideia do teorema de Stone-von Neumann é que quaisquer duas representações irredutíveis das relações de comutação canônicas são unitariamente equivalentes. Uma vez que, no entanto, os operadores envolvidos são necessariamente ilimitados (conforme observado acima), existem problemas de domínio complicados que permitem contra-exemplos. Para obter um resultado rigoroso, deve-se exigir que os operadores satisfaçam a forma exponenciada das relações de comutação canônicas, conhecidas como relações de Weyl. Os operadores exponenciados são limitados e unitários. Embora, conforme observado abaixo, essas relações sejam formalmente equivalentes às relações de comutação canônicas padrão, essa equivalência não é rigorosa, por causa (novamente) da natureza ilimitada dos operadores. (Há também um análogo discreto das relações de Weyl, que podem ser mantidas em um espaço de dimensão finita, ou seja , o relógio de Sylvester e as matrizes de deslocamento no grupo finito de Heisenberg, discutido abaixo.)

Singularidade de representação

Gostaríamos de classificar as representações da relação de comutação canônica por dois operadores auto-adjuntos atuando em espaços de Hilbert separáveis, até a equivalência unitária . Pelo teorema de Stone , há uma correspondência um-para-um entre operadores auto-adjuntos e grupos unitários de um parâmetro (fortemente contínuos).

Sejam Q e P dois operadores auto-adjuntos que satisfazem a relação de comutação canônica, [ Q ,  P ] = i , es e t dois parâmetros reais. Introduza e ^itQ e e ^isP , os grupos unitários correspondentes dados pelo cálculo funcional . (Para os operadores explícitos x e p definidos acima, estes são multiplicação por e ^itx e retrocesso por translação x → x + s .) Um cálculo formal (usando um caso especial da fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff ) prontamente resulta

${\ displaystyle e ^ {itQ} e ^ {isP} = e ^ {- ist} e ^ {isP} e ^ {itQ}.}$

Por outro lado, dados dois grupos unitários de um parâmetro U ( t ) e V ( s ) satisfazendo a relação de trança

diferenciar formalmente em 0 mostra que os dois geradores infinitesimais satisfazem a relação de comutação canônica acima. Esta formulação trançada das relações de comutação canônicas (CCR) para grupos unitários de um parâmetro é chamada de forma de Weyl do CCR .

É importante notar que a derivação anterior é puramente formal. Uma vez que os operadores envolvidos são ilimitados, problemas técnicos impedem a aplicação da fórmula Baker-Campbell-Hausdorff sem suposições de domínio adicionais. De fato, existem operadores que satisfazem a relação de comutação canônica, mas não as relações de Weyl ( E1 ). No entanto, em casos "bons", esperamos que os operadores que satisfaçam a relação de comutação canônica também satisfaçam as relações de Weyl.

O problema então passa a ser a classificação de dois grupos unitários de um parâmetro conjuntamente irredutíveis U ( t ) e V ( s ) que satisfazem a relação de Weyl em espaços de Hilbert separáveis. A resposta é o conteúdo do teorema de Stone-von Neumann : todos esses pares de grupos unitários de um parâmetro são unitariamente equivalentes . Em outras palavras, para quaisquer dois U ( t ) e V ( s ) agindo em conjunto irredutivelmente em um espaço de Hilbert H , há um operador unitário W  : L ² ( R ) → H de modo que

${\ displaystyle W ^ {*} U (t) W = e ^ {itx} \ quad {\ mbox {e}} \ quad W ^ {*} V (s) W = e ^ {isp},}$

onde p e x são os operadores explícitos de posição e momento anteriores. Quando W é U nesta equação, então, na representação x , é evidente que P é unitariamente equivalente a e ^{- itQ}  P  e ^itQ = P + t , e o espectro de P deve variar ao longo de toda a linha real . O argumento analógico vale para Q .

Há também uma extensão direta do teorema de Stone-von Neumann para n graus de liberdade.

Historicamente, este resultado era significativo, pois foi um passo chave na provando que Heisenberg 's mecânica da matriz , que apresenta quântica observáveis mecânicas e dinâmicas em termos de matrizes infinitas, é unitariamente equivalente a Schrödinger de onda formulação mecânico (ver Schrodinger imagem ) ,

${\ displaystyle [U (t) \ psi] (x) = e ^ {itx} \ psi (x), \ qquad [V (s) \ psi] (x) = \ psi (x + s).}$

Formulação da teoria da representação

Em termos de teoria da representação, o teorema de Stone-von Neumann classifica certas representações unitárias do grupo de Heisenberg . Isso é discutido com mais detalhes na seção do grupo de Heisenberg , abaixo.

Informalmente, com certas suposições técnicas, toda representação do grupo de Heisenberg H _{2 n  + 1} é equivalente aos operadores de posição e de momento em R ⁿ . Alternativamente, eles são todos equivalentes à álgebra de Weyl (ou álgebra CCR ) em um espaço simplético de dimensão 2 n .

Mais formalmente, há uma representação unitária central fortemente contínua única (em escala) não trivial.

Isso foi mais tarde generalizado pela teoria de Mackey - e foi a motivação para a introdução do grupo de Heisenberg na física quântica.

Em detalhe:

• O grupo de Heisenberg contínuo é uma extensão central do grupo de Lie abeliano R ^{2 n} por uma cópia de R ,
• a álgebra de Heisenberg correspondente é uma extensão central da álgebra de Lie abeliana R ^{2 n} (com colchete trivial ) por uma cópia de R ,
• o grupo de Heisenberg discreto é uma extensão central do grupo abeliano livre Z ^{2 n} por uma cópia de Z , e
• o grupo discreto Heisenberg módulo p é uma extensão central do abeliano livre p -group ( Z / P Z ) ^{2 n} por uma cópia de Z / p Z .

Em todos os casos, se tivermos uma representação H _{2 n  + 1} → A , onde A é uma álgebra e o centro mapear para zero, então teremos simplesmente uma representação do grupo abeliano ou álgebra correspondente, que é a teoria de Fourier .

Se o centro não mapeia para zero, temos uma teoria mais interessante, especialmente se nos restringirmos às representações centrais .

Concretamente, por uma representação central entende-se uma representação tal que o centro do grupo de Heisenberg mapeia para o centro da álgebra : por exemplo, se alguém está estudando representações de matriz ou representações por operadores em um espaço de Hilbert, então o centro da matriz álgebra ou álgebra de operador são as matrizes escalares . Assim, a representação do centro do grupo de Heisenberg é determinada por um valor de escala, denominado valor de quantização (em termos físicos, constante de Planck), e se for a zero, obtém-se uma representação do grupo abeliano (em termos físicos, este é o limite clássico).

Mais formalmente, a álgebra de grupo do grupo de Heisenberg sobre seu campo de escalares K , escrito K [ H ] , tem centro K [ R ] , então ao invés de simplesmente pensar na álgebra de grupo como uma álgebra sobre o campo K , pode-se pensar dele como uma álgebra sobre a álgebra comutativa K [ R ] . Como o centro de uma álgebra matricial ou álgebra de operador são as matrizes escalares, uma estrutura K [ R ] na álgebra matricial é uma escolha de matriz escalar - uma escolha de escala. Dada essa escolha de escala, uma representação central do grupo de Heisenberg é um mapa de K [ R ] -álgebras K [ H ] → A , que é a forma formal de dizer que envia o centro para uma escala escolhida.

Então o teorema de Stone-von Neumann é que, dada a escala mecânica quântica padrão (efetivamente, o valor de ħ), toda representação unitária fortemente contínua é unitariamente equivalente à representação padrão com posição e momento.

Reformulação via transformada de Fourier

Deixe G ser um grupo abeliano localmente compacto e G ^{^} ser o Pontryagin dupla de G . A transformada de Fourier-Plancherel definida por

${\ displaystyle f \ mapsto {\ hat {f}} (\ gamma) = \ int _ {G} {\ overline {\ gamma (t)}} f (t) d \ mu (t)}$

estende-se a um C * -isomorfismo do grupo C * -álgebra C * ( G ) de G e C ₀ ( G ^{^} ) , ou seja, o espectro de C * ( G ) é precisamente G ^{^} . Quando G é a linha real R , este é o teorema de Stone que caracteriza grupos unitários de um parâmetro. O teorema de Stone-von Neumann também pode ser reformulado usando uma linguagem semelhante.

O grupo G atua na C * -álgebra C ₀ ( G ) por translação à direita ρ : para s em G e f em C ₀ ( G ) ,

${\ displaystyle (s \ cdot f) (t) = f (t + s).}$

Sob o isomorfismo dado acima, esta ação se torna a ação natural de G em C * ( G ^{^} ) :

${\ displaystyle {\ widehat {(s \ cdot f)}} (\ gamma) = \ gamma (s) {\ hat {f}} (\ gamma).}$

Portanto, uma representação covariante correspondente ao produto C * cruzado

${\ displaystyle C ^ {*} \ left ({\ hat {G}} \ right) \ rtimes _ {\ hat {\ rho}} G}$

é uma representação unitária U ( s ) de G e V ( γ ) de G ^{^} tal que

${\ displaystyle U (s) V (\ gamma) U ^ {*} (s) = \ gamma (s) V (\ gamma).}$

É um fato geral que as representações covariantes estão em correspondência um a um com a representação * do produto cruzado correspondente. Por outro lado, todas as representações irredutíveis de

${\ displaystyle C_ {0} (G) \ rtimes _ {\ rho} G}$

são unitariamente equivalentes aos , os operadores compactos em L ² ( G )) . Portanto, todos os pares { U ( s ),  V ( γ )} são unitariamente equivalentes. Especializando-se no caso em que G = R produz o teorema de Stone-von Neumann. ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} \ left (L ^ {2} (G) \ right)}$

O grupo Heisenberg

As relações de comutação canônicas acima para P , Q são idênticas às relações de comutação que especificam a álgebra de Lie do grupo geral de Heisenberg H _{2n + 1} para n um inteiro positivo. Este é o grupo de Lie de ( n  + 2) × ( n  + 2) matrizes quadradas da forma

${\ displaystyle \ mathrm {M} (a, b, c) = {\ begin {bmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1_ {n} & b \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}$

Na verdade, usando o grupo de Heisenberg, pode-se reformular o teorema de Stone von Neumann na linguagem da teoria da representação.

Observe que o centro de H _{2n + 1} consiste nas matrizes M (0, 0,  c ) . No entanto, este centro não é o operador de identidade nos CCRs originais de Heisenberg. Os geradores de álgebra de Lie do grupo de Heisenberg, por exemplo, para n = 1 , são

${\ displaystyle {\ begin {align} P & = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}, & Q & = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix }}, & z & = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \ end {alinhado}}}$

e o gerador central z = log M (0, 0, 1) = exp ( z ) - 1 não é a identidade.

Teorema. Para cada número real diferente de zero h, há uma representação irredutível U _h agindo no espaço de Hilbert L ² ( R ⁿ ) por

${\ displaystyle \ left [U_ {h} (\ mathrm {M} (a, b, c)) \ right] \ psi (x) = e ^ {i (b \ cdot x + hc)} \ psi (x + ha).}$

Todas essas representações são unitariamente desiguais ; e qualquer representação irredutível que não seja trivial no centro de H _n é unitariamente equivalente a exatamente uma delas.

Observe que U _h é um operador unitário porque é a composição de dois operadores que são facilmente vistos como unitários: a tradução para a esquerda por ha e a multiplicação por uma função de valor absoluto 1. Mostrar que U _h é multiplicativo é uma tarefa direta Cálculo. A parte difícil do teorema é mostrar a unicidade; esta afirmação, no entanto, segue facilmente do teorema de Stone-von Neumann como afirmado acima. Faremos um esboço abaixo de uma prova do teorema de Stone-von Neumann correspondente para certos grupos finitos de Heisenberg.

Em particular, representações irredutíveis π , π ′ do grupo de Heisenberg H _n que são não triviais no centro de H _n são unitariamente equivalentes se e somente se π ( z ) = π ′ ( z ) para qualquer z no centro de H _n .

Uma representação do grupo de Heisenberg que é importante na teoria dos números e na teoria das formas modulares é a representação teta , assim chamada porque a função teta de Jacobi é invariante sob a ação do subgrupo discreto do grupo de Heisenberg.

Relação com a transformada de Fourier

Para qualquer h diferente de zero , o mapeamento

${\ displaystyle \ alpha _ {h}: \ mathrm {M} (a, b, c) \ to \ mathrm {M} \ left (-h ^ {- 1} b, ha, ca \ cdot b \ right) }$

é um automorfismo de H _n que é a identidade no centro de H _n . Em particular, as representações U _h e U _h α são unitariamente equivalentes. Isso significa que há um operador unitário W em L ² ( R ⁿ ) tal que, para qualquer g em H _n ,

${\ displaystyle WU_ {h} (g) W ^ {*} = U_ {h} \ alpha (g).}$

Além disso, por irredutibilidade das representações U _h , segue-se que até um escalar , tal operador W é único (cf. o lema de Schur ). Como W é unitário, esse múltiplo escalar é determinado de forma única e, portanto, esse operador W é único.

Teorema . O operador W é a transformada de Fourier em L ² ( R ⁿ ) .

Isso significa que, ignorando o fator de (2 π ) ^n/2 na definição da transformada de Fourier,

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} e ^ {- ix \ cdot p} e ^ {i (b \ cdot x + hc)} \ psi (x + ha) \ dx = e ^ {i (ha \ cdot p + h (cb \ cdot a))} \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} e ^ {- iy \ cdot (pb)} \ psi (y) \ dy .}$

Este teorema tem a implicação imediata de que a transformada de Fourier é unitária , também conhecido como teorema de Plancherel . Além disso,

${\ displaystyle (\ alpha _ {h}) ^ {2} \ mathrm {M} (a, b, c) = \ mathrm {M} (-a, -b, c).}$

Teorema . O operador W ₁ tal que

${\ displaystyle W_ {1} U_ {h} W_ {1} ^ {*} = U_ {h} \ alpha ^ {2} (g)}$

é o operador de reflexão

${\ displaystyle [W_ {1} \ psi] (x) = \ psi (-x).}$

A partir desse fato, segue-se facilmente a fórmula de inversão de Fourier .

Exemplo: o espaço Segal-Bargmann

O espaço de Segal-Bargmann é o espaço de funções holomórficas em C ⁿ que são integráveis ​​ao quadrado em relação a uma medida gaussiana. Fock observou na década de 1920 que as operadoras

${\ displaystyle a_ {j} = {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {j}}}, \ qquad a_ {j} ^ {*} = z_ {j},}$

agindo em funções holomórficas, satisfazem as mesmas relações de comutação que os operadores usuais de aniquilação e criação, a saber,

${\ displaystyle \ left [a_ {j}, a_ {k} ^ {*} \ right] = \ delta _ {j, k}.}$

Em 1961, Bargmann mostrou que um^∗
_jé na verdade o adjunto de a _j em relação ao produto interno proveniente da medida gaussiana. Ao tomar combinações lineares adequadas de a _j e a^∗
_j, pode-se então obter operadores de "posição" e "momento" satisfazendo as relações de comutação canônicas. Não é difícil mostrar que as exponenciais desses operadores satisfazem as relações de Weyl e que os operadores exponenciados agem de forma irredutível. O teorema de Stone-von Neumann, portanto, se aplica e implica a existência de um mapa unitário de L ² ( R ⁿ ) para o espaço de Segal-Bargmann que entrelaça os operadores usuais de aniquilação e criação com os operadores a _j e a^∗
_j. Este mapa unitário é a transformada de Segal-Bargmann .

Representações de grupos de Heisenberg finitos

O Heisenberg grupo H _N ( K ) é definida por qualquer anel conmutativo K . Nesta seção, vamos nos especializar no campo K = Z / p Z para p a primo. Este campo tem a propriedade de que há uma incorporação ω de K como um grupo aditivo no grupo círculo T . Observe que H _n ( K ) é finito com cardinalidade | K | ^{2 n  + 1} . Para o grupo de Heisenberg finito H _n ( K ), pode-se dar uma prova simples do teorema de Stone-von Neumann usando propriedades simples de funções de caractere de representações. Essas propriedades decorrem das relações de ortogonalidade para caracteres de representações de grupos finitos.

Para qualquer h diferente de zero em K, defina a representação U _h no espaço de produto interno de dimensão finita ℓ ² ( K ⁿ ) por

${\ displaystyle \ left [U_ {h} \ mathrm {M} (a, b, c) \ psi \ right] (x) = \ omega (b \ cdot x + hc) \ psi (x + ha).}$

Teorema. Para um h fixo diferente de zero , a função de caractere χ de U _h é dada por:

${\ displaystyle \ chi (\ mathrm {M} (a, b, c)) = {\ begin {cases} | K | ^ {n} \, \ omega (hc) & {\ text {if}} a = b = 0 \\ 0 & {\ text {caso contrário}} \ end {casos}}}$

Segue que

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ left | H_ {n} (\ mathbf {K}) \ right |}} \ sum _ {g \ in H_ {n} (K)} | \ chi (g) | ^ {2} = {\ frac {1} {| K | ^ {2n + 1}}} | K | ^ {2n} | K | = 1.}$

Pelas relações de ortogonalidade para caracteres de representações de grupos finitos, este fato implica o correspondente teorema de Stone-von Neumann para grupos de Heisenberg H _n ( Z / p Z ) , particularmente:

• Irredutibilidade de U _h
• Inequivalência entre pares de todas as representações U _h .

Na verdade, todas as representações irredutíveis de H _n ( K ) nas quais o centro atua de forma não trivial surgem dessa maneira.

Generalizações

O teorema de Stone-von Neumann admite numerosas generalizações. Muito do trabalho inicial de George Mackey foi direcionado à obtenção de uma formulação da teoria das representações induzidas desenvolvida originalmente por Frobenius para grupos finitos para o contexto de representações unitárias de grupos topológicos localmente compactos.

Veja também

Notas

Referências

• Kirillov, AA (1976), Elementos da teoria das representações , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 220 , Berlim, Nova York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-07476-4, MR  0407202
• Rosenberg, Jonathan (2004) "A Selective History of the Stone – von Neumann Theorem" Contemporary Mathematics 365 . American Mathematical Society.
• Summers, Stephen J. (2001). "On the Stone - Teorema da Unicidade de Von Neumann e suas Ramificações." Em John von Neumann e os fundamentos da física quântica , pp. 135-152. Springer, Dordrecht, 2001, online .