Subaditividade - Subadditivity

Em matemática , a subaditividade é uma propriedade de uma função que afirma, grosso modo, que avaliar a função para a soma de dois elementos do domínio sempre retorna algo menor ou igual à soma dos valores da função em cada elemento. Existem numerosos exemplos de funções subaditivas em várias áreas da matemática, particularmente normas e raízes quadradas . Mapas aditivos são casos especiais de funções subaditivas.

Definições

Uma função subaditiva é uma função , tendo um domínio A e um codomínio B ordenado que são ambos fechados sob adição, com a seguinte propriedade: ${\ displaystyle f \ dois pontos A \ a B}$

{\ displaystyle \ forall x, y \ in A, f (x + y) \ leq f (x) + f (y).}

Um exemplo é a função de raiz quadrada , tendo os números reais não negativos como domínio e codomínio, uma vez que temos: ${\ displaystyle \ forall x, y \ geq 0}$

{\ displaystyle {\ sqrt {x + y}} \ leq {\ sqrt {x}} + {\ sqrt {y}}.}

Uma sequência é chamada de subaditiva se satisfizer a desigualdade ${\ displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \}, n \ geq 1}$

{\ displaystyle a_ {n + m} \ leq a_ {n} + a_ {m}}

para todos m e n . Este é um caso especial de função subaditiva, se uma sequência for interpretada como uma função no conjunto de números naturais.

Propriedades

Seqüências

Um resultado útil referente às sequências subaditivas é o seguinte lema de Michael Fekete .

Lema Subaditivo de Fekete - Para cada sequência subaditiva , o limite existe e é igual ao mínimo . (O limite pode ser .) ${\ displaystyle {\ left \ {a_ {n} \ right \}} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {n}}}$ ${\ displaystyle \ inf {\ frac {a_ {n}} {n}}}$ ${\ displaystyle - \ infty}$

O análogo do lema de Fekete vale para sequências superaditivas também, isto é: (O limite então pode ser infinito positivo: considere a sequência .) ${\ displaystyle a_ {n + m} \ geq a_ {n} + a_ {m}.}$ ${\ displaystyle a_ {n} = \ log n!}$

Existem extensões do lema de Fekete que não exigem que a desigualdade (1) seja válida para todos os m e n , mas apenas para m e n tais que Além disso, a condição pode ser enfraquecida da seguinte forma: desde que seja uma função crescente tal que o integral converge (perto do infinito). ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} \ leq {\ frac {m} {n}} \ leq 2.}$ ${\ displaystyle a_ {n + m} \ leq a_ {n} + a_ {m}}$ ${\ displaystyle a_ {n + m} \ leq a_ {n} + a_ {m} + \ phi (n + m)}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ textstyle \ int \ phi (t) t ^ {- 2} \, dt}$

Existem também resultados que permitem deduzir a taxa de convergência ao limite cuja existência é afirmada no lema de Fekete se algum tipo de superaditividade e subadditividade estiver presente.

Além disso, análogos do lema de Fekete foram provados para mapas reais subaditivos (com suposições adicionais) a partir de subconjuntos finitos de um grupo favorável e, além disso, de um semigrupo cancelativo favorável à esquerda.

Funções

Teorema: - Para cadafunção subaditiva mensurável ,o limiteexiste e é igual a(O limite pode ser) ${\ displaystyle f: (0, \ infty) \ to \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} {\ frac {f (t)} {t}}}$ ${\ displaystyle \ inf _ {t> 0} {\ frac {f (t)} {t}}.}$ ${\ displaystyle - \ infty.}$

Se f for uma função subaditiva, e se 0 estiver em seu domínio, então f (0) ≥ 0. Para ver isso, considere a desigualdade no topo. . Portanto ${\ displaystyle f (x) \ geq f (x + y) -f (y)}$ ${\ displaystyle f (0) \ geq f (0 + y) -f (y) = 0}$

Uma função côncava com também é subaditiva. Para ver isso, primeiro observamos isso . Então, olhando para a soma desse limite para e , finalmente verificaremos que f é subaditivo. ${\ displaystyle f: [0, \ infty) \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f (0) \ geq 0}$ ${\ displaystyle f (x) \ geq \ textstyle {\ frac {y} {x + y}} f (0) + \ textstyle {\ frac {x} {x + y}} f (x + y)}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle f (y)}$

O negativo de uma função subaditiva é superaditivo .

Exemplos em vários domínios

Entropia

A entropia desempenha um papel fundamental na teoria da informação e na física estatística , bem como na mecânica quântica em uma formulação generalizada de von Neumann . A entropia aparece sempre como uma quantidade subaditiva em todas as suas formulações, significando que a entropia de um super-sistema ou uma união de variáveis aleatórias é sempre menor ou igual à soma das entropias de seus componentes individuais. Além disso, a entropia na física satisfaz várias desigualdades mais estritas, como a forte subditividade da entropia na mecânica estatística clássica e seu análogo quântico .

Economia

Subaditividade é uma propriedade essencial de algumas funções de custo particulares . É, geralmente, uma condição necessária e suficiente para a verificação de um monopólio natural . Isso implica que a produção de apenas uma empresa é socialmente menos cara (em termos de custos médios) do que a produção de uma fração da quantidade original por um número igual de empresas.

Economias de escala são representadas por funções de custo médio subaditivas .

Exceto no caso de bens complementares, o preço dos bens (em função da quantidade) deve ser subaditivo. Caso contrário, se a soma do custo de dois itens for mais barata do que o custo do pacote de dois deles juntos, então ninguém jamais compraria o pacote, efetivamente fazendo com que o preço do pacote "se torne" a soma dos preços de os dois itens separados. Provando assim que não é condição suficiente para um monopólio natural; uma vez que a unidade de troca pode não ser o custo real de um item. Esta situação é familiar a todos na arena política, onde alguma minoria afirma que a perda de alguma liberdade particular em algum nível particular de governo significa que muitos governos são melhores; enquanto a maioria afirma que existe alguma outra unidade correta de custo.

Finança

Subaditividade é uma das propriedades desejáveis de medidas de risco coerentes na gestão de risco . A intuição econômica por trás da subaditividade da medida de risco é que a exposição ao risco de uma carteira deve, na pior das hipóteses, ser simplesmente igual à soma das exposições ao risco das posições individuais que compõem a carteira. Em qualquer outro caso, os efeitos da diversificação resultariam em uma exposição da carteira inferior à soma das exposições de risco individuais. A falta de subaditividade é uma das principais críticas aos modelos VaR que não se baseiam no pressuposto de normalidade dos fatores de risco. O VaR Gaussiano garante subaditividade: por exemplo, o VaR Gaussiano de uma carteira de duas posições compradas unitárias no nível de confiança é, assumindo que a variação do valor médio da carteira é zero e o VaR é definido como uma perda negativa, ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle 1-p}$

{\ displaystyle {\ text {VaR}} _ {p} \ equiv z_ {p} \ sigma _ {\ Delta V} = z_ {p} {\ sqrt {\ sigma _ {x} ^ {2} + \ sigma _ {y} ^ {2} +2 \ rho _ {xy} \ sigma _ {x} \ sigma _ {y}}}}

onde é o inverso da função de distribuição cumulativa normal no nível de probabilidade , são as variâncias dos retornos das posições individuais e é a medida de correlação linear entre os dois retornos das posições individuais. Uma vez que a variância é sempre positiva,

{\ displaystyle z_ {p}}

{\ displaystyle p}

{\ displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2}, \ sigma _ {y} ^ {2}}

{\ displaystyle \ rho _ {xy}}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ sigma _ {x} ^ {2} + \ sigma _ {y} ^ {2} +2 \ rho _ {xy} \ sigma _ {x} \ sigma _ {y}}} \ leq \ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}}

Assim, o VaR gaussiano é subaditivo para qualquer valor de e, em particular, é igual à soma das exposições de risco individuais quando o que é o caso de não haver efeitos de diversificação sobre o risco da carteira.

{\ displaystyle \ rho _ {xy} \ in [-1,1]}

{\ displaystyle \ rho _ {xy} = 1}

Termodinâmica

A subaditividade ocorre nas propriedades termodinâmicas de soluções e misturas não

ideais, como o volume molar em excesso e o calor de mistura ou o excesso de entalpia.

Combinatória de palavras

Uma linguagem fatorial é aquela em que, se uma

palavra estiver em , todos os fatores dessa palavra também estarão . Na combinatória de palavras, um problema comum é determinar o número de palavras- comprimento em uma linguagem fatorial. Claramente , então é subaditivo e, portanto, o lema de Fekete pode ser usado para estimar o crescimento de .

{\ displaystyle L}

{\ displaystyle L}

{\ displaystyle L}

{\ displaystyle A (n)}

{\ displaystyle n}

{\ displaystyle A (m + n) \ leq A (m) A (n)}

{\ displaystyle \ log A (n)}

{\ displaystyle A (n)}

Veja também

Propriedade molar aparente
Choquet integral
Superadditividade
Desigualdade triangular - propriedade da geometria, também usada para generalizar a noção de "distância" em espaços métricos

Notas

^ Fekete, M. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Mathematische Zeitschrift . 17 (1): 228–249. doi : 10.1007 / BF01504345 .
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Referências

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Einar Hille . " Análise funcional e semigrupos ". American Mathematical Society, Nova York (1948).
NH Bingham, AJ Ostaszewski. "Funções subaditivas genéricas." Proceedings of American Mathematical Society, vol. 136, nº 12 (2008), pp. 4257–4266.

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[1] Fekete, M. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Mathematische Zeitschrift . 17 (1): 228–249. doi : 10.1007 / BF01504345 .

[2] Bruijn, NG; Erdös, P. (1952). "Algumas fórmulas de recursão linear e algumas quadráticas. II". Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. Um . 55 : 152–163. doi : 10.1016 / S1385-7258 (52) 50021-0 .(O mesmo que Indagationes Math. 14. ) Ver também Steele 1997, Teorema 1.9.2.

[3] Michael J. Steele. "Teoria da probabilidade e otimização combinatória". SIAM, Filadélfia (1997). ISBN 0-89871-380-3 .

[4] Michael J. Steele (2011). CBMS Aulas de Teoria das Probabilidades e Otimização Combinatória . Universidade de Cambridge.

[5] Lindenstrauss, Elon; Weiss, Benjamin (2000). "Dimensão topológica média" . Israel Journal of Mathematics . 115 (1): 1–24. CiteSeerX 10.1.1.30.3552 . doi : 10.1007 / BF02810577 . ISSN 0021-2172 . Teorema 6.1

[6] Ornstein, Donald S .; Weiss, Benjamin (1987). "Teoremas de entropia e isomorfismo para ações de grupos receptivos". Journal d'Analyse Mathématique . 48 (1): 1–141. doi : 10.1007 / BF02790325 . ISSN 0021-7670 .

[7] Gromov, Misha (1999). "Invariantes Topológicos de Sistemas Dinâmicos e Espaços de Mapas Holomórficos: I". Física Matemática, Análise e Geometria . 2 (4): 323–415. doi : 10.1023 / A: 1009841100168 . ISSN 1385-0172 .

[8] Ceccherini-Silberstein, Tullio; Krieger, Fabrice; Coornaert, Michel (2014). "Um análogo do lema de Fekete para funções subaditivas em semigrupos suscetíveis de cancelamento". J. Anal. Matemática . 124 : 59–81. arXiv : 1209.6179 . doi : 10.1007 / s11854-014-0027-4 . Teorema 1.1

[9] Hille 1948, Teorema 6.6.1. (A mensurabilidade é estipulada na Seção 6.2 "Preliminares".)

[10] Schechter, Eric (1997). Manual de análise e seus fundamentos . San Diego: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4., p.314,12,25

[Rau-Bredow-11] Rau-Bredow, H. (2019). "Maior nem sempre é mais seguro: uma análise crítica da suposição de subaditividade para medidas de risco coerentes" . Riscos . 7 (3): 91. doi : 10.3390 / risk7030091 .

[shur-12] Shur, Arseny (2012). "Propriedades de crescimento de linguagens livres de poder". Revisão da Ciência da Computação . 6 (5–6): 187–208. doi : 10.1016 / j.cosrev.2012.09.001 .

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