Subfator - Subfactor

Na teoria das álgebras de von Neumann , um subfator de um fator é uma subálgebra que é um fator e contém . A teoria dos subfatores levou à descoberta do polinômio de Jones na teoria dos nós .

Índice de um subfator

Normalmente é considerado um fator de tipo , de modo que tem um traço finito. Neste caso, cada módulo espacial de Hilbert tem uma dimensão que é um número real não negativo ou . O índice de um subfator é definido como . Aqui está a representação de obtida a partir da construção GNS do traço de .

Teorema do índice de Jones

Isso afirma que se for um subfator de (ambos do tipo ), então o índice tem a forma de , ou é pelo menos . Todos esses valores ocorrem.

Os primeiros valores de são

Construção básica

Suponha que seja um subfator de e que ambas sejam álgebras de von Neumann finitas. A construção GNS produz um espaço de Hilbert atuado por um vetor cíclico . Let ser a projeção no subespaço . Em seguida, e gerar uma nova álgebra von Neumann agindo em , contendo como um subfator. A passagem da inclusão de em para a inclusão de em é chamada de construção básica .

Se e são fatores do tipo e têm índice finito, então também é do tipo . Além disso, as inclusões têm o mesmo índice: e .

Torre Jones

Suponha que seja uma inclusão de fatores de tipo de índice finito. Ao iterar a construção básica, obtemos uma torre de inclusões

onde e , e cada um é gerado pela álgebra anterior e uma projeção. A união de todas essas álgebras tem um estado tracial cuja restrição a cada uma é o estado tracial, e assim o fechamento da união é outro tipo de álgebra de Neumann .

A álgebra contém uma sequência de projeções que satisfazem as relações de Temperley-Lieb no parâmetro . Além disso, a álgebra gerada pelo é uma -álgebra em que os são auto-adjuntos, e tal que quando está na álgebra gerada por até . Sempre que essas condições extras são satisfeitas, a álgebra é chamada de álgebra de Temperly-Lieb-Jones no parâmetro . Pode ser demonstrado que é único até -isomorfismo. Ele existe apenas quando assume aqueles valores especiais para , ou os valores maiores que .

Invariante padrão

Suponha que seja uma inclusão de fatores de tipo de índice finito. Sejam os comutantes relativos mais altos e .

O invariante padrão do subfator é a seguinte grade:

que é uma invariante completa no caso ameno. Uma axiomatização diagramática do invariante padrão é dada pela noção de álgebra planar .

Gráficos principais

Um subfator de índice finito é considerado irredutível se qualquer uma das seguintes condições equivalentes for satisfeita:

  • é irredutível como um bimódulo;
  • o comutante relativo é .

Neste caso, define um bimódulo , bem como seu bimódulo conjugado . O produto tensor relativa, descrito em Jones (1983) e muitas vezes chamado de fusão Connes depois de uma definição prévia para gerais álgebra de Von Neumann de Alain Connes , pode ser utilizado para definir novos bimodules sobre , , e por se decompor os seguintes produtos tensor em componentes irredutíveis:

O irredutível e os bimódulos que surgem desta forma formam os vértices do grafo principal , um grafo bipartido . As arestas direcionadas desses gráficos descrevem a maneira como um bimódulo irredutível se decompõe quando tensorado com e à direita. O gráfico duplo principal é definido de forma semelhante usando e bimódulos.

Visto que qualquer bimódulo corresponde às ações de comutação de dois fatores, cada fator está contido no comutante do outro e, portanto, define um subfator. Quando o bimódulo é irredutível, sua dimensão é definida como a raiz quadrada do índice desse subfator. A dimensão é estendida aditivamente para somas diretas de bimódulos irredutíveis. É multiplicativo em relação à fusão de Connes.

Diz- se que o subfator tem profundidade finita se o grafo principal e seu dual forem finitos, ou seja, se apenas finitos muitos bimódulos irredutíveis ocorrerem nessas decomposições. Neste caso se e são hiperfinitos, Sorin Popa mostrou que a inclusão é isomórfica ao modelo

onde os fatores são obtidos a partir da construção GNS em relação ao traço canônico.

Polinômios de nó

A álgebra gerada pelos elementos com as relações acima é chamada de álgebra de Temperley-Lieb . Este é um quociente da álgebra de grupo do grupo de tranças , então as representações da álgebra de Temperley-Lieb dão representações do grupo de tranças, que por sua vez freqüentemente fornecem invariantes para nós.

Referências