Lógica subjetiva - Subjective logic

A lógica subjetiva é um tipo de lógica probabilística que leva em consideração explicitamente a incerteza epistêmica e a confiança da fonte. Em geral, a lógica subjetiva é adequada para modelar e analisar situações envolvendo incerteza e fontes relativamente não confiáveis. Por exemplo, pode ser usado para modelar e analisar redes de confiança e redes Bayesianas .

Os argumentos na lógica subjetiva são opiniões subjetivas sobre variáveis ​​de estado que podem obter valores de um domínio (também conhecido como espaço de estado), onde um valor de estado pode ser pensado como uma proposição que pode ser verdadeira ou falsa. Uma opinião binomial se aplica a uma variável de estado binária e pode ser representada como um PDF Beta (Função de Densidade de Probabilidade). Uma opinião multinomial se aplica a uma variável de estado de vários valores possíveis e pode ser representada como um PDF Dirichlet (Função de densidade de probabilidade). Por meio da correspondência entre opiniões e distribuições Beta / Dirichlet, a lógica subjetiva fornece uma álgebra para essas funções. As opiniões também estão relacionadas à representação da crença na teoria da crença de Dempster-Shafer .

Um aspecto fundamental da condição humana é que ninguém pode determinar com certeza absoluta se uma proposição sobre o mundo é verdadeira ou falsa. Além disso, sempre que a verdade de uma proposição é expressa, isso sempre é feito por um indivíduo, e nunca pode ser considerado como representando uma crença geral e objetiva. Essas idéias filosóficas refletem-se diretamente no formalismo matemático da lógica subjetiva.

Opiniões subjetivas

As opiniões subjetivas expressam crenças subjetivas sobre a verdade dos valores / proposições do estado com graus de incerteza epistêmica e podem indicar explicitamente a fonte da crença sempre que necessário. Uma opinião é geralmente indicada como onde está a fonte da opinião e é a variável de estado à qual a opinião se aplica. A variável pode receber valores de um domínio (também chamado de espaço de estado), por exemplo, denotada como . Os valores de um domínio são considerados exaustivos e mutuamente separados, e as fontes são consideradas como tendo uma interpretação semântica comum de um domínio. A fonte e a variável são atributos de uma opinião. A indicação da fonte pode ser omitida sempre que for irrelevante.

Opiniões binomiais

Let Ser um valor de estado em um domínio binário. Uma opinião binomial sobre a verdade do valor do estado é o quádruplo ordenado onde:

: massa de crença é a crença de que é verdade.
: massa de descrença é a crença que é falsa.
: massa de incerteza é a quantidade de crença não comprometida, também interpretada como incerteza epistêmica .
: taxa de base é a probabilidade anterior na ausência de crença ou descrença.

Esses componentes satisfazem e . As características de várias classes de opinião estão listadas abaixo.

Uma opinião Onde é uma opinião absoluta que equivale a Boolean TRUE,
Onde é uma opinião absoluta que equivale ao booleano FALSE,
Onde é uma opinião dogmática equivalente a uma probabilidade tradicional,
Onde é uma opinião incerta que expressa graus de incerteza epistêmica , e
Onde é uma opinião vazia que expressa total incerteza epistêmica ou total vacuidade de crença.

A probabilidade projetada de uma opinião binomial é definida como .

As opiniões binomiais podem ser representadas em um triângulo equilátero como mostrado abaixo. Um ponto dentro do triângulo representa um triplo. Os eixos b , d , u vão de uma aresta ao vértice oposto indicado pelo rótulo Crença, Descrença ou Incerteza. Por exemplo, uma opinião forte e positiva é representada por um ponto próximo ao vértice Crença inferior direito. A taxa básica, também chamada de probabilidade anterior, é mostrada como um ponteiro vermelho ao longo da linha de base, e a probabilidade projetada,, é formada projetando a opinião na base, paralela à linha do projetor de taxa básica. Opiniões sobre três valores / proposições X, Y e Z são visualizadas no triângulo à esquerda, e seus equivalentes Beta PDFs (Funções de Densidade de Probabilidade) são visualizadas nos gráficos à direita. Os valores numéricos e descrições verbais qualitativas de cada opinião também são mostrados. Exemplo de opiniões binomiais com PDFs Beta correspondentes

O Beta PDF é normalmente indicado como onde e são seus dois parâmetros de força. O Beta PDF de uma opinião binomial é a função em que é o peso anterior não informativo, também chamado de unidade de evidência, normalmente definido como .

Opiniões multinomiais

Let Ser uma variável de estado que pode assumir valores de estado . Uma opinião multinomial sobre é a tupla composta , onde é uma distribuição de massa de crença sobre os possíveis valores de estado de , é a massa de incerteza e é a distribuição de probabilidade anterior (taxa básica) sobre os possíveis valores de estado de . Esses parâmetros satisfazem e também .

As opiniões trinomiais podem ser simplesmente visualizadas como pontos dentro de um tetraedro , mas as opiniões com dimensões maiores do que o trinomial não se prestam à visualização simples.

PDFs de Dirichlet são normalmente indicados como onde é uma distribuição de probabilidade sobre os valores de estado de e são os parâmetros de força. O PDF de Dirichlet de uma opinião multinomial é a função onde os parâmetros de força são dados por , onde é o peso anterior não informativo, também chamado de unidade de evidência, normalmente definido como .

Operadores

A maioria dos operadores na tabela abaixo são generalizações da lógica binária e operadores de probabilidade. Por exemplo, a adição é simplesmente uma generalização da adição de probabilidades. Alguns operadores são significativos apenas para combinar opiniões binomiais, e alguns também se aplicam à opinião multinomial. A maioria dos operadores são binários, mas o complemento é unário e a abdução é ternária. Consulte as publicações referenciadas para detalhes matemáticos de cada operador.

Operadores lógicos subjetivos, notações e operadores lógicos proposicionais / binários correspondentes
Operador lógico subjetivo Notação do operador Operador lógico proposicional / binário
Adição União
Subtração Diferença
Multiplicação Conjunção / AND
Divisão Unconjunção / UN-AND
Comultiplicação Disjunção / OU
Codivision Undisjunção / UN-OR
Complemento NÃO
Dedução Modus ponens
Teorema de Bayes subjetivo Contraposição
Rapto Modus tollens
Transitividade / desconto n / D
Fusão cumulativa n / D
Fusão de restrição n / D

A combinação de fontes transitivas pode ser denotada de forma compacta ou expandida. Por exemplo, o caminho de confiança transitivo do analista / fonte através da fonte para a variável pode ser denotado como em formato compacto ou expandido. Aqui, expressa que tem alguma confiança / desconfiança na fonte , enquanto expressa que tem uma opinião sobre o estado da variável que é dado como conselho . A forma expandida é a mais geral e corresponde diretamente à maneira como as expressões lógicas subjetivas são formadas com os operadores.

Propriedades

No caso de as opiniões do argumento serem equivalentes a Boolean TRUE ou FALSE, o resultado de qualquer operador lógico subjetivo é sempre igual ao do operador lógico proposicional / binário correspondente. Da mesma forma, quando as opiniões do argumento são equivalentes às probabilidades tradicionais, o resultado de qualquer operador lógico subjetivo é sempre igual ao do operador de probabilidade correspondente (quando existe).

Caso as opiniões do argumento contenham graus de incerteza, os operadores envolvendo multiplicação e divisão (incluindo dedução, abdução e teorema de Bayes) produzirão opiniões derivadas que sempre têm probabilidade projetada correta, mas possivelmente com variância aproximada quando vistos como PDFs Beta / Dirichlet. Todos os outros operadores produzem opiniões onde as probabilidades projetadas e a variância são sempre analiticamente corretas.

Diferentes fórmulas lógicas que tradicionalmente são equivalentes na lógica proposicional não têm necessariamente opiniões iguais. Por exemplo, em geral, embora a distributividade da conjunção sobre a disjunção, expressa como , seja válida na lógica proposicional binária. Isso não é surpresa, pois os operadores de probabilidade correspondentes também não são distributivos. No entanto, a multiplicação é distributiva sobre a adição, conforme expresso por . As leis de De Morgan também são satisfeitas, por exemplo, expressas por .

A lógica subjetiva permite um cálculo muito eficiente de modelos matematicamente complexos. Isso é possível pela aproximação das funções analiticamente corretas. Embora seja relativamente simples multiplicar analiticamente dois PDFs Beta na forma de um PDF Beta conjunto , qualquer coisa mais complexa do que isso rapidamente se torna intratável. Ao combinar dois PDFs Beta com algum operador / conectivo, o resultado analítico nem sempre é um PDF Beta e pode envolver séries hipergeométricas . Nesses casos, a lógica subjetiva sempre aproxima o resultado como uma opinião que é equivalente a um PDF Beta.

Formulários

A lógica subjetiva é aplicável quando a situação a ser analisada é caracterizada por considerável incerteza epistêmica devido ao conhecimento incompleto. Desse modo, a lógica subjetiva se torna uma lógica probabilística para probabilidades incertas epistêmicas. A vantagem é que a incerteza é preservada ao longo da análise e é explicitada nos resultados de forma que seja possível distinguir entre conclusões certas e incertas.

A modelagem de redes confiáveis e redes Bayesianas são aplicações típicas da lógica subjetiva.

Redes de confiança subjetivas

As redes de confiança subjetivas podem ser modeladas com uma combinação dos operadores de transitividade e fusão. Deixe expressar a borda de confiança de referência de para e deixe expressar a borda de confiança de para . Uma rede de confiança subjetiva pode, por exemplo, ser expressa conforme ilustrado na figura abaixo.

Rede de confiança subjetiva

Os índices 1, 2 e 3 indicam a ordem cronológica em que as bordas de confiança e conselhos são formados. Assim, dado o conjunto de arestas de confiança com índice 1, o trustor de origem recebe conselhos de e e , portanto, é capaz de derivar crença na variável . Ao expressar cada limite de confiança e limite de crença como uma opinião, é possível derivar a crença em expressa como .

As redes de confiança podem expressar a confiabilidade das fontes de informação e podem ser usadas para determinar opiniões subjetivas sobre as variáveis ​​sobre as quais as fontes fornecem informações.

A lógica subjetiva baseada em evidências ( EBSL ) descreve uma alternativa de computação de rede confiável, onde a transitividade das opiniões (desconto) é tratada aplicando pesos às evidências subjacentes às opiniões.

Redes bayesianas subjetivas

Na rede Bayesiana abaixo, e são variáveis ​​pai e é a variável filha. O analista deve aprender o conjunto de opiniões condicionais conjuntas para aplicar o operador de dedução e derivar a opinião marginal sobre a variável . As opiniões condicionais expressam uma relação condicional entre as variáveis ​​pai e a variável filha.

Rede bayesiana subjetiva

A opinião deduzida é calculada como . A opinião de evidência conjunta pode ser computada como o produto de opiniões de evidências independentes sobre e , ou como o produto conjunto de opiniões de evidências parcialmente dependentes.

Redes subjetivas

A combinação de uma rede de confiança subjetiva e uma rede bayesiana subjetiva é uma rede subjetiva. A rede de confiança subjetiva pode ser usada para obter de várias fontes as opiniões a serem usadas como opiniões de entrada para a rede Bayesiana subjetiva, conforme ilustrado na figura abaixo.

Rede subjetiva

A rede Bayesiana tradicional normalmente não leva em consideração a confiabilidade das fontes. Em redes subjetivas, a confiança nas fontes é explicitamente levada em consideração.

Referências

links externos