Subtração - Subtraction

Subtração é uma operação aritmética que representa a operação de remoção de objetos de uma coleção. A subtração é representada pelo sinal de menos , - . Por exemplo, na imagem adjacente, há 5 - 2 pêssegos - o que significa 5 pêssegos com 2 retirados, resultando em um total de 3 pêssegos. Portanto, a diferença de 5 e 2 é 3; ou seja, 5 - 2 = 3 . Embora principalmente associada a números naturais na aritmética , a subtração também pode representar a remoção ou diminuição de quantidades físicas e abstratas usando diferentes tipos de objetos, incluindo números negativos , frações , números irracionais , vetores , decimais, funções e matrizes.

A subtração segue vários padrões importantes. É anticomutativo , o que significa que mudar a ordem muda o sinal da resposta. Também não é associativo , o que significa que quando se subtrai mais de dois números, a ordem em que a subtração é realizada é importante. Como 0 é a identidade aditiva , a subtração dele não altera um número. A subtração também obedece a regras previsíveis relativas às operações relacionadas, como adição e multiplicação . Todas essas regras podem ser provadas , começando com a subtração de inteiros e generalizando através dos números reais e além. Operações binárias gerais que seguem esses padrões são estudadas em álgebra abstrata .

Subtração de números naturais é uma das tarefas numéricas mais simples. A subtração de números muito pequenos é acessível a crianças pequenas. Na educação primária, por exemplo, os alunos são ensinados a subtrair números no sistema decimal , começando com um dígito e, progressivamente, enfrentando problemas mais difíceis.

Na álgebra avançada e na álgebra computacional , uma expressão envolvendo subtração como A - B é geralmente tratada como uma notação abreviada para a adição A + (- B ) . Assim, um - B contém dois termos, ou seja, um e - B . Isso permite um uso mais fácil de associatividade e comutatividade .

Notação e terminologia

A subtração é geralmente escrita usando o sinal de menos "-" entre os termos; isto é, em notação infixa . O resultado é expresso com um sinal de igual . Por exemplo,

${\ displaystyle 2-1 = 1}$ (pronunciado como "dois menos um igual a um")

${\ displaystyle 4-2 = 2}$ (pronunciado como "quatro menos dois é igual a dois")

${\ displaystyle 6-3 = 3}$ (pronunciado como "seis menos três é igual a três")

${\ displaystyle 4-6 = -2}$ (pronunciado como "quatro menos seis é igual a dois negativos")

Também existem situações em que a subtração é "compreendida", mesmo que nenhum símbolo apareça:

• Uma coluna de dois números, com o menor número em vermelho, geralmente indica que o menor número da coluna deve ser subtraído, com a diferença escrita abaixo, sob uma linha. Isso é mais comum em contabilidade.

Formalmente, o número subtraído é conhecido como subtraendo , enquanto o número do qual é subtraído é o minuendo . O resultado é a diferença .

Toda essa terminologia deriva do latim . " Subtração " é uma palavra inglesa derivada do verbo latino subtrahere , que por sua vez é um composto de sub "de baixo" e trahere "puxar". Portanto, subtrair é tirar de baixo , ou tirar . Usar o sufixo gerundivo -nd resulta em "subtraendo", "coisa a ser subtraída". Da mesma forma, de minuero "reduzir ou diminuir", obtém-se "minuendo", que significa "coisa a ser diminuída".

De inteiros e números reais

Inteiros

Imagine um segmento de linha de comprimento b com a extremidade esquerda rotulada como a e a extremidade direita rotulada como c . Começando de a , são necessários b passos para a direita para chegar a c . Este movimento para a direita é modelado matematicamente por adição :

a + b = c .

De c , são necessários passos b para a esquerda para voltar a a . Este movimento para a esquerda é modelado por subtração:

c - b = a .

Agora, um segmento de linha rotulado com os números 1 , 2 e 3 . A partir da posição 3, não há passos para a esquerda para permanecer na 3, então 3 - 0 = 3 . São necessários 2 passos para a esquerda para chegar à posição 1, então 3 - 2 = 1 . Esta imagem é inadequada para descrever o que aconteceria após dar 3 passos à esquerda da posição 3. Para representar tal operação, a linha deve ser estendida.

Para subtrair números naturais arbitrários , começa-se com uma linha contendo todos os números naturais (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). De 3, são necessários 3 passos para a esquerda para chegar a 0, então 3 - 3 = 0 . Mas 3 - 4 ainda é inválido, uma vez que sai da linha novamente. Os números naturais não são um contexto útil para subtração.

A solução é considerar a linha do número inteiro (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...). Dessa forma, são necessários 4 passos à esquerda de 3 para chegar a -1:

3 - 4 = −1 .

Números naturais

A subtração de números naturais não é fechada : a diferença não é um número natural, a menos que o minuendo seja maior ou igual ao subtraendo. Por exemplo, 26 não pode ser subtraído de 11 para fornecer um número natural. Esse caso usa uma de duas abordagens:

1. Conclua que 26 não pode ser subtraído de 11; a subtração torna-se uma função parcial .
2. Dê a resposta como um inteiro representando um número negativo , então o resultado de subtrair 26 de 11 é −15.

Numeros reais

O campo de números reais pode ser definido especificando apenas duas operações binárias, adição e multiplicação, junto com operações unárias produzindo inversos aditivos e multiplicativos . A subtração de um número real (o subtraendo) de outro (o minuendo) pode então ser definida como a adição do minuendo e o inverso aditivo do subtraendo. Por exemplo, 3 - π = 3 + (- π ) . Alternativamente, em vez de exigir essas operações unárias, as operações binárias de subtração e divisão podem ser consideradas básicas.

Propriedades

Anti-comutatividade

A subtração é anti-comutativa , o que significa que se alguém inverter os termos em uma diferença da esquerda para a direita, o resultado é o negativo do resultado original. Simbolicamente, se um e b são dois números quaisquer, então

a - b = - ( b - a) .

Não associatividade

A subtração é não associativa , o que surge quando se tenta definir a subtração repetida. Em geral, a expressão

" a - b - c "

pode ser definido como ( a - b ) - c ou a - ( b - c ), mas essas duas possibilidades levam a respostas diferentes. Para resolver esse problema, é preciso estabelecer uma ordem de operações , com ordens diferentes produzindo resultados diferentes.

Antecessor

No contexto de inteiros, a subtração de um também desempenha um papel especial: para qualquer inteiro a , o inteiro ( a - 1) é o maior inteiro menor que a , também conhecido como o predecessor de a .

Unidades de medida

Ao subtrair dois números com unidades de medida, como quilogramas ou libras , eles devem ter a mesma unidade. Na maioria dos casos, a diferença terá a mesma unidade dos números originais.

Percentagens

As mudanças nas porcentagens podem ser relatadas em pelo menos duas formas, mudança de porcentagem e mudança de ponto percentual . A mudança percentual representa a mudança relativa entre as duas quantidades como uma porcentagem, enquanto a mudança em pontos percentuais é simplesmente o número obtido subtraindo as duas porcentagens.

Como exemplo, suponha que 30% dos widgets feitos em uma fábrica estejam com defeito. Seis meses depois, 20% dos widgets estão com defeito. A variação percentual é20% - 30%/30% = -1/3= −33+1/3%, enquanto a variação do ponto percentual é de −10 pontos percentuais.

Em computação

O método de complementos é uma técnica usada para subtrair um número de outro usando apenas a adição de números positivos. Esse método era comumente usado em calculadoras mecânicas e ainda é usado em computadores modernos .

Dígito binário	Complemento de uns
0	1
1	0

Para subtrair um número binário y (o subtraendo) de outro número x (o minuendo), o complemento de um de y é adicionado a x e um é adicionado à soma. O dígito inicial "1" do resultado é então descartado.

O método de complementos é especialmente útil em binário (raiz 2), uma vez que o complemento de uns é facilmente obtido invertendo cada bit (mudando "0" para "1" e vice-versa). E adicionar 1 para obter o complemento de dois pode ser feito simulando um transporte para o bit menos significativo. Por exemplo:

  01100100  (x, equals decimal 100)
- 00010110  (y, equals decimal 22)

torna-se a soma:

  01100100  (x)
+ 11101001  (ones' complement of y)
+        1  (to get the two's complement)
——————————
 101001110

Descartando o "1" inicial, obtém-se a resposta: 01001110 (igual ao decimal 78)

O ensino da subtração nas escolas

Os métodos usados ​​para ensinar subtração ao ensino fundamental variam de país para país e, dentro de um país, métodos diferentes são adotados em momentos diferentes. No que é conhecido nos Estados Unidos como matemática tradicional , um processo específico é ensinado aos alunos no final do primeiro ano (ou durante o segundo ano) para uso com números inteiros de vários dígitos, e é estendido no quarto ou quinta série para incluir representações decimais de números fracionários.

Na América

Quase todas as escolas americanas atualmente ensinam um método de subtração usando empréstimo ou reagrupamento (o algoritmo de decomposição) e um sistema de marcações chamado muletas. Embora um método de empréstimo fosse conhecido e publicado em livros didáticos anteriormente, o uso de muletas nas escolas americanas se espalhou depois que William A. Brownell publicou um estudo - alegando que as muletas eram benéficas para os alunos que usavam esse método. Esse sistema pegou rapidamente, substituindo os outros métodos de subtração em uso na América naquela época.

Na Europa

Algumas escolas europeias empregam um método de subtração denominado método austríaco, também conhecido como método de adições. Não há empréstimo neste método. Existem também muletas (marcações para auxiliar a memória), que variam de acordo com o país.

Comparando os dois métodos principais

Ambos os métodos dividem a subtração como um processo de subtrações de um dígito por valor de posição. Começando com um dígito menos significativo, uma subtração do subtraendo:

s _j s _{j −1} ... s ₁

do minuto

m _k m _{k −1} ... m ₁ ,

onde cada s _i e m _i é um dígito, prossiga escrevendo m ₁ - s ₁ , m ₂ - s ₂ , e assim por diante, desde que s _i não exceda m _i . Caso contrário, m _i é aumentado em 10 e algum outro dígito é modificado para corrigir esse aumento. O método americano corrige tentando diminuir o dígito mínimo m _{i +1} em um (ou continuando o empréstimo para a esquerda até que haja um dígito diferente de zero para o empréstimo). O método europeu corrige aumentando o dígito do subtraendo s _{i +1} em um.

Exemplo: 704 - 512.

${\ displaystyle {\ begin {array} {rrrr} & \ color {Red} -1 \\ & C & D & U \\ & 7 & 0 & 4 \\ & 5 & 1 & 2 \\\ hline & 1 & 9 & 2 \\\ end {array}} {\ begin {array} {l } {\ color {Red} \ longleftarrow {\ rm {carry}}} \\\\\ longleftarrow \; {\ rm {Minuend}} \\\ longleftarrow \; {\ rm {Subtrahend}} \\\ longleftarrow { \ rm {Rest \; ou \; Diferença}} \\\ end {array}}}$

O minuendo é 704, o subtraendo é 512. Os dígitos do minuendo são m ₃ = 7 , m ₂ = 0 e m ₁ = 4 . Os dígitos do subtraendo são s ₃ = 5 , s ₂ = 1 e s ₁ = 2 . Começando na posição de um, 4 não é menor que 2, então a diferença 2 é anotada na posição de um resultado. Na casa do dez, 0 é menor que 1, então o 0 é acrescido de 10, e a diferença com 1, que é 9, é anotada na casa do dez. O método americano corrige o aumento de dez reduzindo o dígito na casa das centenas do minuendo por um. Ou seja, o 7 é riscado e substituído por um 6. A subtração então prossegue na casa das centenas, onde 6 não é menor que 5, então a diferença é anotada na casa das centenas do resultado. Agora terminamos, o resultado é 192.

O método austríaco não reduz o 7 para 6. Em vez disso, aumenta o dígito do subtraendo da centena em um. Uma pequena marca é feita perto ou abaixo deste dígito (dependendo da escola). Em seguida, a subtração prossegue perguntando qual número, quando aumentado em 1, e 5 é adicionado a ele, perfaz 7. A resposta é 1 e é escrita na casa do centésimo do resultado.

Há uma sutileza adicional no fato de que o aluno sempre emprega uma tabela de subtração mental no método americano. O método austríaco freqüentemente encoraja o aluno a usar mentalmente a tabela de adição ao contrário. No exemplo acima, em vez de adicionar 1 a 5, obtendo 6 e subtraindo de 7, o aluno é solicitado a considerar qual número, quando aumentado em 1 e 5 é adicionado a ele, perfaz 7.

Subtração à mão

Método austríaco

Exemplo:

• 

  1 + ... = 3

• 

  A diferença está escrita abaixo da linha.

• 

  9 + ... = 5
  A soma necessária (5) é muito pequena.

• 

  Então, adicionamos 10 a ele e colocamos 1 sob a próxima posição superior no subtraendo.

• 

  9 + ... = 15
  Agora podemos encontrar a diferença como antes.

• 

  (4 + 1) + ... = 7

• 

  A diferença está escrita abaixo da linha.

• 

  A diferença total.

Subtração da esquerda para a direita

Exemplo:

• 

  7 - 4 = 3
  Este resultado está apenas desenhado a lápis.

• 

  Como o próximo dígito do minuendo é menor que o subtraendo, subtraímos um de nosso número marcado a lápis e mentalmente adicionamos dez ao próximo.

• 

  15 - 9 = 6

• 

  Como o próximo dígito no minuendo não é menor que o subtraendo, mantemos esse número.

• 

  3 - 1 = 2

Método americano

Neste método, cada dígito do subtraendo é subtraído do dígito acima dele, começando da direita para a esquerda. Se o número superior for muito pequeno para subtrair o número inferior dele, adicionamos 10 a ele; este 10 é "emprestado" do dígito superior à esquerda, do qual subtraímos 1. Em seguida, passamos a subtrair o próximo dígito e pegando emprestado conforme necessário, até que cada dígito tenha sido subtraído. Exemplo:

• 

  3 - 1 = ...

• 

  Escrevemos a diferença abaixo da linha.

• 

  5 - 9 = ...
  O minuendo (5) é muito pequeno!

• 

  Então, nós adicionamos 10 a ele. O 10 é "emprestado" do dígito à esquerda, que diminui em 1.

• 

  15 - 9 = ...
  Agora a subtração funciona e escrevemos a diferença abaixo da linha.

• 

  6 - 4 = ...

• 

  Escrevemos a diferença abaixo da linha.

• 

  A diferença total.

Negocie primeiro

Uma variante do método americano em que todo empréstimo é feito antes de toda subtração.

Exemplo:

• 

  1 - 3 = não é possível.
  Adicionamos 10 a 1. Como o 10 é "emprestado" do 5 próximo, o 5 é reduzido em 1.

• 

  4 - 9 = não é possível.
  Portanto, procedemos como na etapa 1.

• 

  Trabalhando da direita para a esquerda:
  11 - 3 = 8

• 

  14 - 9 = 5

• 

  6 - 4 = 2

Diferenças parciais

O método de diferenças parciais é diferente de outros métodos de subtração vertical porque nenhum empréstimo ou transporte ocorre. Em seu lugar, são colocados sinais de mais ou menos dependendo se o minuendo é maior ou menor que o subtraendo. A soma das diferenças parciais é a diferença total.

Exemplo:

• 

  O número menor é subtraído do maior:
  700 - 400 = 300
  Como o minuendo é maior que o subtraendo, essa diferença tem um sinal de mais.

• 

  O número menor é subtraído do maior:
  90 - 50 = 40
  Como o minuendo é menor que o subtraendo, essa diferença tem um sinal de menos.

• 

  O número menor é subtraído do maior:
  3 - 1 = 2
  Como o minuendo é maior que o subtraendo, essa diferença tem um sinal de mais.

• 

  +300 - 40 + 2 = 262

Métodos não verticais

Contando

Em vez de encontrar a diferença dígito a dígito, pode-se contar os números entre o subtraendo e o minuendo.

Exemplo: 1234 - 567 = pode ser encontrado pelas seguintes etapas:

• 567 + 3 = 570
• 570 + 30 = 600
• 600 + 400 = 1000
• 1000 + 234 = 1234

Some o valor de cada etapa para obter a diferença total: 3 + 30 + 400 + 234 = 667 .

Quebrando a subtração

Outro método útil para a aritmética mental é dividir a subtração em pequenos passos.

Exemplo: 1234 - 567 = pode ser resolvido da seguinte maneira:

• 1234 - 500 = 734
• 734 - 60 = 674
• 674 - 7 = 667

Mesma mudança

O mesmo método de mudança usa o fato de que adicionar ou subtrair o mesmo número do minuendo e subtraendo não muda a resposta. Basta adicionar a quantidade necessária para obter zeros no subtraendo.

Exemplo:

"1234 - 567 =" pode ser resolvido da seguinte forma:

• 1234 - 567 = 1237 - 570 = 1267 - 600 = 667

Veja também

• Decrementar
• Aritmética elementar
• Método de complementos
• Número negativo
• Sinais de mais e menos

Notas

Referências

Bibliografia

• Brownell, WA (1939). Aprendizagem como reorganização: Um estudo experimental em aritmética de terceiro grau, Duke University Press.
• Subtração nos Estados Unidos: Uma Perspectiva Histórica, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, The Mathematics Educator , vol. 8, No. 1 (publicação original) e Vol. 10, nº 1 (reimpressão) PDF

links externos

• "Subtraction" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Planilhas de impressão: Subtração planilhas , Uma subtração Digit , subtração de dois dígitos , quatro subtração Digit e Mais subtração Planilhas
• Jogo de subtração no corte do nó
• Subtração em um ábaco japonês selecionado de Abacus: Mystery of the Bead