Codificação superdensa - Superdense coding

Quando o emissor e o receptor compartilham um estado Bell, dois bits clássicos podem ser compactados em um qubit. No diagrama, as linhas carregam qubits , enquanto as linhas duplas carregam bits clássicos . As variáveis b ₁ eb ₂ são booleanas clássicas e os zeros à esquerda representam o estado quântico puro . Consulte a seção chamada " O protocolo " abaixo para obter mais detalhes sobre esta imagem.

{\ displaystyle | 0 \ rangle}

Na teoria da informação quântica , a codificação superdensa (também conhecida como codificação densa ) é um protocolo de comunicação quântica para comunicar uma série de bits clássicos de informação transmitindo apenas um número menor de qubits, sob a suposição de remetente e recebido pré-compartilhando um emaranhado recurso. Em sua forma mais simples, o protocolo envolve duas partes, frequentemente chamadas de Alice e Bob neste contexto, que compartilham um par de qubits maximamente emaranhados e permite que Alice transmita dois bits ( ou seja , um de 00, 01, 10 ou 11 ) para Bob enviando apenas um qubit . Este protocolo foi proposto pela primeira vez por Bennett e Wiesner em 1970 (embora não publicado por eles até 1992) e experimentalmente atualizado em 1996 por Mattle, Weinfurter, Kwiat e Zeilinger usando pares de fótons emaranhados. A codificação superdensa pode ser considerada o oposto do teletransporte quântico , no qual se transfere um qubit de Alice para Bob comunicando dois bits clássicos, desde que Alice e Bob tenham um par Bell pré-compartilhado.

A transmissão de dois bits por meio de um único qubit é possibilitada pelo fato de Alice poder escolher entre quatro operações de porta quântica para realizar em sua parte do estado emaranhado. Alice determina qual operação realizar de acordo com o par de bits que deseja transmitir. Ela então envia a Bob o estado qubit desenvolvido através do portão escolhido . O referido qubit codifica, portanto, informações sobre os dois bits que Alice usou para selecionar a operação, e essa informação pode ser recuperada por Bob graças ao emaranhamento pré-compartilhado entre eles. Depois de receber o qubit de Alice, operando no par e medindo ambos, Bob obtém dois bits clássicos de informação. Vale ressaltar que, se Alice e Bob não compartilham previamente o emaranhamento, o protocolo superdenso é impossível, pois isso violaria o teorema de Holevo .

A codificação superdensa é o princípio básico da codificação secreta quântica segura. A necessidade de ter os dois qubits para decodificar as informações enviadas elimina o risco de bisbilhoteiros interceptarem as mensagens.

Visão geral

Suponha que Alice queira enviar dois bits clássicos de informação (00, 01, 10 ou 11) para Bob usando qubits (em vez de bits clássicos ). Para fazer isso, um estado emaranhado (por exemplo, um estado Bell) é preparado usando um circuito ou portão Bell por Charlie, uma terceira pessoa. Charlie então envia um desses qubits (no estado Bell) para Alice e o outro para Bob. Depois que Alice obtém seu qubit no estado emaranhado, ela aplica uma certa porta quântica a seu qubit, dependendo de qual mensagem de dois bits (00, 01, 10 ou 11) ela deseja enviar para Bob. Seu qubit emaranhado é então enviado a Bob que, após aplicar a porta quântica apropriada e fazer uma medição , pode recuperar a mensagem clássica de dois bits. Observe que Alice não precisa comunicar a Bob qual porta aplicar para obter os bits clássicos corretos de sua medição projetiva.

O protocolo

O protocolo pode ser dividido em cinco etapas diferentes: preparação, compartilhamento, codificação, envio e decodificação.

Preparação

O protocolo começa com a preparação de um estado emaranhado, que mais tarde é compartilhado entre Alice e Bob. Suponha o seguinte estado de Bell

{\ displaystyle | \ Phi ^ {+} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle _ {A} \ otimes | 0 \ rangle _ {B} + | 1 \ rangle _ {A} \ otimes | 1 \ rangle _ {B})}

onde denota o produto tensorial , é preparado. Nota: podemos omitir o símbolo do produto tensorial e escrever o estado Bell como ${\ displaystyle \ otimes}$ ${\ displaystyle \ otimes}$

{\ displaystyle | \ Phi ^ {+} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0_ {A} 0_ {B} \ rangle + | 1_ {A} 1_ {B} \ rangle)}

.

Compartilhamento

Após a preparação do estado Bell , o qubit denotado pelo subscrito A é enviado para Alice e o qubit denotado pelo subscrito B é enviado para Bob (nota: esta é a razão pela qual esses estados têm subscritos). Nesse ponto, Alice e Bob podem estar em locais completamente diferentes, que podem ser muito distantes um do outro. ${\ displaystyle | \ Phi ^ {+} \ rangle}$

Pode haver um longo período de tempo entre a preparação e o compartilhamento do estado emaranhado e o restante das etapas do procedimento. ${\ displaystyle | \ Phi ^ {+} \ rangle}$

Codificação

Ao aplicar uma porta quântica a seu qubit localmente, Alice pode transformar o estado emaranhado em qualquer um dos quatro estados de Bell (incluindo, é claro, ). Observe que esse processo não pode "quebrar" o emaranhamento entre os dois qubits. ${\ displaystyle | \ Phi ^ {+} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ Phi ^ {+} \ rangle}$

Vamos agora descrever quais operações Alice precisa realizar em seu qubit emaranhado, dependendo de qual mensagem clássica de dois bits ela deseja enviar a Bob. Veremos mais tarde por que essas operações específicas são realizadas. Existem quatro casos, que correspondem às quatro possíveis strings de dois bits que Alice pode querer enviar.

1. Se Alice deseja enviar a string clássica de dois bits 00 para Bob, ela aplica a porta quântica de identidade,, ao seu qubit, de modo que ele permaneça inalterado. O estado emaranhado resultante é então ${\ displaystyle \ mathbb {I} = {\ begin {bmatrix} 1 e 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

{\ displaystyle | B_ {00} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0_ {A} 0_ {B} \ rangle + | 1_ {A} 1_ {B} \ rangle) }

Em outras palavras, o estado emaranhado compartilhado entre Alice e Bob não mudou, ou seja, ainda está . A notação também é usada para nos lembrar do fato de que Alice deseja enviar a string de dois bits 00. ${\ displaystyle | \ Phi ^ {+} \ rangle}$ ${\ displaystyle | B_ {00} \ rangle}$

2. Se Alice quer enviar a seqüência de dois bits clássica 01 a Bob, então ela aplica o quantum NÃO (ou bit-flip ) portão , , para ela qubit, de modo que o estado quântico emaranhado resultante torna-se ${\ displaystyle X = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}}}$

{\ displaystyle | B_ {01} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 1_ {A} 0_ {B} \ rangle + | 0_ {A} 1_ {B} \ rangle) }

3. Se Alice deseja enviar a seqüência clássica de dois bits 10 para Bob, então ela aplica a porta de inversão de fase quântica ao seu qubit, de modo que o estado emaranhado resultante torna-se ${\ displaystyle Z = {\ begin {bmatrix} 1 e 0 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}}}$

{\ displaystyle | B_ {10} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0_ {A} 0_ {B} \ rangle - | 1_ {A} 1_ {B} \ rangle) }

4. Se, em vez disso, Alice deseja enviar a seqüência clássica de dois bits 11 para Bob, então ela aplica a porta quântica ao seu qubit, de modo que o estado emaranhado resultante se torne ${\ displaystyle Z * X = iY}$

{\ displaystyle | B_ {11} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0_ {A} 1_ {B} \ rangle - | 1_ {A} 0_ {B} \ rangle) }

As matrizes , e são duas das matrizes de Pauli . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle Y}$

Enviando

Depois de realizar uma das operações descritas acima, Alice pode enviar seu qubit emaranhado para Bob usando uma rede quântica por meio de algum meio físico convencional.

Decodificação

Para que Bob descubra quais bits clássicos Alice enviou, ele executará a operação unitária CNOT , com A como qubit de controle e B como qubit alvo. Em seguida, ele executará uma operação unitária no qubit A emaranhado. Em outras palavras, a porta quântica H de Hadamard é aplicada apenas a A (veja a figura acima). ${\ displaystyle H \ otimes I}$

Se o estado emaranhado resultante foi então, após a aplicação das operações unitárias acima, o estado emaranhado se tornará ${\ displaystyle B_ {00}}$ ${\ displaystyle | 00 \ rangle}$
Se o estado emaranhado resultante foi então, após a aplicação das operações unitárias acima, o estado emaranhado se tornará ${\ displaystyle B_ {01}}$ ${\ displaystyle | 01 \ rangle}$
Se o estado emaranhado resultante foi então, após a aplicação das operações unitárias acima, o estado emaranhado se tornará ${\ displaystyle B_ {10}}$ ${\ displaystyle | 10 \ rangle}$
Se o estado emaranhado resultante foi então, após a aplicação das operações unitárias acima, o estado emaranhado se tornará ${\ displaystyle B_ {11}}$ ${\ displaystyle | 11 \ rangle}$

Essas operações realizadas por Bob podem ser vistas como uma medida que projeta o estado emaranhado em um dos quatro vetores de base de dois qubit ou (como você pode ver nos resultados e no exemplo abaixo). ${\ displaystyle | 00 \ rangle, | 01 \ rangle, | 10 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 11 \ rangle}$

Exemplo

Por exemplo, se o estado emaranhado resultante (após as operações realizadas por Alice) era , então um CNOT com A como bit de controle e B como bit de destino mudará para se tornar . Agora, o portão Hadamard é aplicado apenas a A, para obter ${\ displaystyle B_ {01} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 1_ {A} 0_ {B} \ rangle + | 0_ {A} 1_ {B} \ rangle)}$ ${\ displaystyle B_ {01}}$ ${\ displaystyle B_ {01} '= {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 1_ {A} 1_ {B} \ rangle + | 0_ {A} 1_ {B} \ rangle)}$

${\ displaystyle B_ {01} '' = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left ({\ left ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle - | 1 \ rangle) \ right)} _ {A} \ otimes | 1_ {B} \ rangle + {\ left ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle + | 1 \ rangle) \ right)} _ {A} \ otimes | 1_ {B} \ rangle \ right)}$

Para simplificar, vamos nos livrar dos subscritos, então temos

${\ displaystyle B_ {01} '' = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle - | 1 \ rangle) \ otimes | 1 \ rangle + {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle + | 1 \ rangle) \ otimes | 1 \ rangle \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 01 \ rangle - | 11 \ rangle) + {\ frac {1} {\ sqrt {2}} } (| 01 \ rangle + | 11 \ rangle) \ right) = {\ frac {1} {2}} | 01 \ rangle - {\ frac {1} {2}} | 11 \ rangle + {\ frac { 1} {2}} | 01 \ rangle + {\ frac {1} {2}} | 11 \ rangle = | 01 \ rangle}$

Agora, Bob tem o estado básico , então ele sabe que Alice queria enviar a string de dois bits 01. ${\ displaystyle | 01 \ rangle}$

Segurança

A codificação superdensa é uma forma de comunicação quântica segura. Se uma bisbilhoteira, comumente chamada de Eva, interceptar o qubit de Alice a caminho de Bob, tudo o que Eva obtém faz parte de um estado emaranhado. Sem acesso ao qubit de Bob, Eve não consegue obter nenhuma informação do qubit de Alice. Um terceiro é incapaz de espionar as informações que estão sendo comunicadas por meio de codificação superdensa e uma tentativa de medir qualquer um dos qubit colapsaria o estado desse qubit e alertaria Bob e Alice.

Esquema geral de codificação densa

Esquemas gerais de codificação densa podem ser formulados na linguagem usada para descrever canais quânticos . Alice e Bob compartilham um estado máximo emaranhado ω . Deixe que os subsistemas inicialmente possuídos por Alice e Bob sejam rotulados como 1 e 2, respectivamente. Para transmitir a mensagem x , Alice aplica um canal apropriado

{\ displaystyle \; \ Phi _ {x}}

no subsistema 1. No sistema combinado, isso é efetuado por

{\ displaystyle \ omega \ rightarrow (\ Phi _ {x} \ otimes I) (\ omega)}

onde I denota o mapa de identidade no subsistema 2. Alice então envia seu subsistema para Bob, que realiza uma medição no sistema combinado para recuperar a mensagem. Deixe a medição de Bob ser modelada por um POVM , com operadores semidefinidos positivos como esse . A probabilidade de que o aparelho de medição de Bob registre a mensagem é, portanto, ${\ displaystyle \ {F_ {y} \} _ {y}}$ ${\ displaystyle F_ {y}}$ ${\ textstyle \ sum _ {y} F_ {y} = I}$ ${\ displaystyle y}$

{\ displaystyle p (y | x) = \ langle F_ {y}, (\ Phi _ {x} \ otimes I) (\ omega) \ rangle \ equiv \ operatorname {Tr} [F_ {y} (\ Phi _ {x} \ otimes I) (\ omega)].}

Portanto, para alcançar a transmissão desejada, exigimos que

{\ displaystyle p (y | x) = \ operatorname {Tr} [F_ {y} (\ Phi _ {x} \ otimes I) (\ omega)] = \ delta _ {xy},}

onde fica o delta de Kronecker .

{\ displaystyle \ delta _ {xy}}

Experimental

O protocolo de codificação superdensa foi atualizado em vários experimentos usando diferentes sistemas para vários níveis de capacidade de canal e fidelidade. Em 2004, os íons de berílio 9 aprisionados foram usados em um estado de emaranhamento máximo para atingir uma capacidade de canal de 1,16 com uma fidelidade de 0,85. Em 2017, foi alcançada uma capacidade de canal de 1.665 com fidelidade de 0,87 por meio de fibras ópticas. Ququarts de alta dimensão (estados formados em pares de fótons por conversão paramétrica espontânea não degenerada) foram usados para atingir uma capacidade de canal de 2,09 (com um limite de 2,32) com uma fidelidade de 0,98. A ressonância magnética nuclear (NMR) também foi usada para compartilhar entre três partes.

Referências

Wilde, Mark M., 2017, Quantum Information Theory, Cambridge University Press , também disponível em eprint arXiv: 1106.1145

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