Apoiar hiperplano - Supporting hyperplane

Um conjunto convexa (em rosa), um apoio de hiperplana (a linha tracejada), e o meio de suporte espaço delimitado pelo hiperplana que contém (a azul claro).

Na geometria , um hiperplana de suporte de um conjunto no espaço Euclidiano é um hiperplana que tem ambas das duas seguintes propriedades:

  • está inteiramente contido em uma das duas fechadas meios espaços delimitada pela hiperplana
  • tem pelo menos um ponto-limite no hiperplano.

Aqui, um semi-espaço fechado é o semi-espaço que inclui os pontos dentro do hiperplano.

Apoiar teorema hyperplane

Um conjunto convexo pode ter mais de um hiperplano de suporte em um determinado ponto na sua fronteira.

Este teorema indica que, se é um convexo definido no espaço vectorial topológica e é um ponto na fronteira de , em seguida, existe um apoio hiperplana contendo Se ( é o espaço dual de , é um não zero linear funcional) de tal modo que para todos , então

define um hiperplana apoio.

Por outro lado, se é um conjunto fechado com não vazio interior de tal modo que cada ponto no limite tenha um hiperplana de suporte, em seguida, é um conjunto convexo.

O hiperplano no teorema pode não ser único, como notado na segunda foto à direita. Se o conjunto fechado não é convexo, a declaração do teorema não é verdade em todos os pontos da fronteira de como ilustrado na terceira imagem à direita.

Os hiperplanos de suporte de conjuntos convexos são também chamados de tac-aviões ou Tac-hiperplanos .

Um resultado relacionado é o teorema hiperplana separação , que de dois em dois conjuntos disjuntos convexas podem ser separados por uma hiperplana.

Veja também

Um hiperplana apoiar contendo um dado ponto no limite de pode não existir se não é convexa.

Referências

  • Ostaszewski, Adam (1990). Métodos matemáticos avançados . Cambridge; New York: Cambridge University Press. p. 129. ISBN  0-521-28964-5 .
  • Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1996). Cálculo das variações . Berlim; New York: Springer. p. 57. ISBN  3-540-50625-X .
  • Goh, CJ; Yang, XQ (2002). Dualidade na otimização e variacionais desigualdades . Londres; New York: Taylor & Francis. p. 13. ISBN  0-415-27479-6 .