Superfície (topologia) - Surface (topology)

Uma superfície aberta com contornos x -, y - e z mostrados.

Na parte da matemática conhecida como topologia , uma superfície é uma variedade bidimensional . Algumas superfícies surgem como limites de sólidos tridimensionais; por exemplo, a esfera é o limite da bola sólida. Outras superfícies surgem como gráficos de funções de duas variáveis; veja a figura à direita. No entanto, as superfícies também podem ser definidas abstratamente, sem referência a qualquer espaço ambiente. Por exemplo, a garrafa de Klein é uma superfície que não pode ser inserida no espaço euclidiano tridimensional .

As superfícies topológicas às vezes são equipadas com informações adicionais, como uma métrica Riemanniana ou uma estrutura complexa, que as conecta a outras disciplinas dentro da matemática, como geometria diferencial e análise complexa . As várias noções matemáticas de superfície podem ser usadas para modelar superfícies no mundo físico.

Em geral

Em matemática , uma superfície é uma forma geométrica que se assemelha a um plano deformado . Os exemplos mais familiares surgem como limites de objetos sólidos no espaço euclidiano tridimensional comum R ³ , como esferas . A definição exata de uma superfície pode depender do contexto. Normalmente, na geometria algébrica , uma superfície pode cruzar-se (e pode ter outras singularidades ), enquanto, na topologia e na geometria diferencial , não pode.

Uma superfície é um espaço bidimensional ; isso significa que um ponto móvel em uma superfície pode se mover em duas direções (tem dois graus de liberdade ). Em outras palavras, ao redor de quase todos os pontos, há um patch de coordenadas no qual um sistema de coordenadas bidimensional é definido. Por exemplo, a superfície da Terra se assemelha (idealmente) a uma esfera bidimensional , e latitude e longitude fornecem coordenadas bidimensionais nela (exceto nos pólos e ao longo do meridiano 180 ).

O conceito de superfície é amplamente usado em física , engenharia , computação gráfica e muitas outras disciplinas, principalmente na representação de superfícies de objetos físicos. Por exemplo, ao analisar as propriedades aerodinâmicas de um avião , a consideração central é o fluxo de ar ao longo de sua superfície.

Definições e primeiros exemplos

Uma superfície (topológica) é um espaço topológico no qual cada ponto tem uma vizinhança aberta homeomórfica a algum subconjunto aberto do plano euclidiano E ² . Essa vizinhança, junto com o homeomorfismo correspondente, é conhecida como um gráfico (de coordenadas) . É por meio desse gráfico que a vizinhança herda as coordenadas padrão do plano euclidiano. Essas coordenadas são conhecidas como coordenadas locais e esses homeomorfismos nos levam a descrever as superfícies como sendo localmente euclidianas .

Na maioria dos escritos sobre o assunto, é freqüentemente assumido, explícita ou implicitamente, que, como um espaço topológico, uma superfície também não é vazia, pode ser contada em segundo lugar e é de Hausdorff . Também é freqüentemente assumido que as superfícies em consideração estão conectadas.

O restante deste artigo presumirá, a menos que especificado de outra forma, que uma superfície não é vazia, Hausdorff, contável em segundo lugar e conectada.

Mais geralmente, um (topológica) com superfície limite é um Hausdorff espaço topológico em que cada ponto possui uma aberto vizinhança homeomorfos para alguns subconjunto aberto do fecho do meio plano superior H ² em C . Esses homeomorfismos também são conhecidos como gráficos (de coordenadas) . O limite do semiplano superior é o eixo x . Um ponto na superfície mapeado por meio de um gráfico para o eixo x é denominado ponto limite . A coleção de tais pontos é conhecida como o limite da superfície, que é necessariamente uma variedade única, ou seja, a união de curvas fechadas. Por outro lado, um ponto mapeado acima do eixo x é um ponto interno . A coleção de pontos interiores é o interior da superfície que está sempre não vazio . O disco fechado é um exemplo simples de uma superfície com limite. O limite do disco é um círculo.

O termo superfície usado sem qualificação se refere a superfícies sem limite. Em particular, uma superfície com limite vazio é uma superfície no sentido usual. Uma superfície com limite vazio que é compacta é conhecida como uma superfície 'fechada'. A esfera bidimensional, o toro bidimensional e o plano projetivo real são exemplos de superfícies fechadas.

A faixa de Möbius é uma superfície na qual a distinção entre sentido horário e anti-horário pode ser definida localmente, mas não globalmente. Em geral, diz- se que uma superfície é orientável se não contiver uma cópia homeomórfica da faixa de Möbius; intuitivamente, ele tem dois "lados" distintos. Por exemplo, a esfera e o toro são orientáveis, enquanto o plano projetivo real não é (porque o plano projetivo real com um ponto removido é homeomórfico à faixa de Möbius aberta).

Na geometria diferencial e algébrica , uma estrutura extra é adicionada à topologia da superfície. Esta estrutura adicionada pode ser uma estrutura de suavidade (tornando possível definir mapas diferenciáveis ​​de e para a superfície), uma métrica Riemanniana (tornando possível definir comprimentos e ângulos na superfície), uma estrutura complexa (tornando possível definir holomórficos mapas de e para a superfície - caso em que a superfície é chamada de superfície de Riemann ), ou uma estrutura algébrica (tornando possível detectar singularidades , como autointerseções e cúspides, que não podem ser descritas apenas em termos da topologia subjacente )

Superfícies e embeddings extrinsecamente definidos

Uma esfera pode ser definida parametricamente (por x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ ) ou implicitamente (por x ² + y ² + z ² - r ² = 0. )

Historicamente, as superfícies foram inicialmente definidas como subespaços de espaços euclidianos. Freqüentemente, essas superfícies eram o locus de zeros de certas funções, geralmente funções polinomiais. Tal definição considerava a superfície como parte de um espaço maior (euclidiano) e, como tal, era denominada extrínseca .

Na seção anterior, uma superfície é definida como um espaço topológico com certas propriedades, a saber, Hausdorff e localmente euclidiana. Este espaço topológico não é considerado um subespaço de outro espaço. Nesse sentido, a definição dada acima, que é a definição que os matemáticos usam atualmente, é intrínseca .

Uma superfície definida como intrínseca não é necessária para satisfazer a restrição adicional de ser um subespaço do espaço euclidiano. Pode parecer possível que algumas superfícies definidas intrinsecamente não sejam superfícies no sentido extrínseco. No entanto, o teorema de incorporação de Whitney afirma que todas as superfícies podem de fato ser incorporadas homeomorficamente no espaço euclidiano, de fato em E ⁴ : As abordagens extrínseca e intrínseca revelam-se equivalentes.

Na verdade, qualquer superfície compacta que seja orientável ou tenha um limite pode ser incorporada em E ³ ; por outro lado, o plano projetivo real, que é compacto, não orientável e sem limite, não pode ser embutido em E ³ (ver Gramain). As superfícies de Steiner , incluindo a superfície de Boy , a superfície romana e a tampa cruzada , são modelos do plano projetivo real em E ³ , mas apenas a superfície de Boy é uma superfície imersa . Todos esses modelos são singulares em pontos onde se cruzam.

A esfera com chifres de Alexandre é uma incorporação patológica bem conhecida das duas esferas na três.

Um toro com nós.

A incorporação escolhida (se houver) de uma superfície em outro espaço é considerada como informação extrínseca; não é essencial para a própria superfície. Por exemplo, um toro pode ser embutido em E ³ da maneira "padrão" (que se parece com um bagel ) ou com nós (veja a figura). Os dois toros embutidos são homeomórficos, mas não isotópicos : eles são topologicamente equivalentes, mas seus embeddings não são.

A imagem de uma função injetiva contínua de R ² a R ^{n de} dimensão superior é considerada uma superfície paramétrica . Essa imagem é assim chamada porque as direções x - ey - do domínio R ² são 2 variáveis ​​que parametrizam a imagem. Uma superfície paramétrica não precisa ser uma superfície topológica. Uma superfície de revolução pode ser vista como um tipo especial de superfície paramétrica.

Se f é uma função suave de R ³ a R cujo gradiente não é zero em nenhum lugar, então o lugar geométrico dos zeros de f define uma superfície, conhecida como superfície implícita . Se a condição de gradiente de não-desaparecimento for descartada, o locus zero pode desenvolver singularidades.

Construção de polígonos

Cada superfície fechada pode ser construída a partir de um polígono orientado com um número par de lados, denominado polígono fundamental da superfície, por identificação aos pares de suas arestas. Por exemplo, em cada polígono abaixo, anexando os lados com etiquetas correspondentes ( A com A , B com B ), de forma que as setas apontem na mesma direção, produz a superfície indicada.

• 

  esfera

• 

  plano projetivo real

• 

  toro

• 

  Garrafa de Klein

Qualquer polígono fundamental pode ser escrito simbolicamente da seguinte maneira. Comece em qualquer vértice e prossiga ao redor do perímetro do polígono em qualquer direção até retornar ao vértice inicial. Durante esta travessia, registre o rótulo em cada borda em ordem, com um expoente -1 se a borda apontar para o lado oposto à direção da travessia. Os quatro modelos acima, quando percorridos no sentido horário começando no canto superior esquerdo, rendem

• esfera: ${\ displaystyle ABB ^ {- 1} A ^ {- 1}}$
• plano projetivo real: ${\ displaystyle ABAB}$
• toro: ${\ displaystyle ABA ^ {- 1} B ^ {- 1}}$
• Garrafa de Klein: .${\ displaystyle ABAB ^ {- 1}}$

Observe que a esfera e o plano projetivo podem ser percebidos como quocientes do 2-gon, enquanto o toro e a garrafa de Klein requerem um 4-gon (quadrado).

A expressão assim derivada de um polígono fundamental de uma superfície acaba por ser a única relação em uma apresentação do grupo fundamental da superfície com os rótulos de borda do polígono como geradores. Isso é uma consequência do teorema de Seifert-van Kampen .

A colagem de bordas de polígonos é um tipo especial de processo de quociente espacial . O conceito de quociente pode ser aplicado em maior generalidade para produzir construções novas ou alternativas de superfícies. Por exemplo, o plano projetivo real pode ser obtido como o quociente da esfera identificando todos os pares de pontos opostos na esfera. Outro exemplo de quociente é a soma conectada.

Somas conectadas

A soma conectada de duas superfícies M e N , denotadas M # N , é obtida removendo um disco de cada uma delas e colando-as ao longo dos componentes de contorno resultantes. O limite de um disco é um círculo, portanto, esses componentes de limite são círculos. A característica de Euler de M # N é a soma das características de Euler dos summands, menos dois: ${\ displaystyle \ chi}$

${\ displaystyle \ chi (M {\ mathbin {\ #}} N) = \ chi (M) + \ chi (N) -2. \,}$

A esfera S é um elemento de identidade para a soma ligado, o que significa que S # M = M . Isso ocorre porque a exclusão de um disco da esfera deixa um disco, que simplesmente substitui o disco excluído de M após a colagem.

Somatório conectado com o toro T também é descrito como ligação de um "punho" ao outro summand M . Se M é orientável, então T # M também é . A soma conectada é associativa, então a soma conectada de uma coleção finita de superfícies é bem definida.

A soma conexa de dois planos projetivos reais, P # P , é a Klein garrafa K . A soma conectada do plano projetivo real e a garrafa de Klein é homeomórfica à soma conectada do plano projetivo real com o toro; em uma fórmula, P # K = P # T . Assim, a soma conectada de três planos projetivos reais é homeomórfica à soma conectada do plano projetivo real com o toro. Qualquer soma conectada envolvendo um plano projetivo real não é orientável.

Superfícies fechadas

Uma superfície fechada é uma superfície compacta e sem limites . Exemplos são espaços como a esfera , o toro e a garrafa de Klein . Exemplos de superfícies não fechadas são: um disco aberto , que é uma esfera com um furo; um cilindro , que é uma esfera com dois furos; e a faixa de Möbius . Como acontece com qualquer variedade fechada , uma superfície embutida no espaço euclidiano que é fechada em relação à topologia euclidiana herdada não é necessariamente uma superfície fechada; por exemplo, um disco embutido que contém seu limite é uma superfície que é topologicamente fechada, mas não uma superfície fechada. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Classificação de superfícies fechadas

Alguns exemplos de superfícies fechadas orientáveis ​​(esquerda) e superfícies com limite (direita). Esquerda: Algumas superfícies fechadas orientáveis ​​são a superfície de uma esfera, a superfície de um toro e a superfície de um cubo. (O cubo e a esfera são topologicamente equivalentes um ao outro.) Direita: Algumas superfícies com limite são a superfície do disco , a superfície quadrada e a superfície do hemisfério. Os limites são mostrados em vermelho. Todos os três são topologicamente equivalentes entre si.

O teorema de classificação de superfícies fechadas afirma que qualquer superfície fechada conectada é homeomórfica para algum membro de uma destas três famílias:

1. a esfera,
2. a soma conectada de g tori para g ≥ 1,
3. a soma conectada de k planos projetivos reais para k ≥ 1.

As superfícies nas duas primeiras famílias são orientáveis . É conveniente combinar as duas famílias considerando a esfera como a soma conectada de 0 tori. O número g de toros envolvidos é chamado de gênero da superfície. A esfera e o toro têm características de Euler 2 e 0, respectivamente, e em geral a característica de Euler da soma conectada de g tori é 2 - 2 g .

As superfícies da terceira família não são orientáveis. A característica de Euler do plano projetivo real é 1, e em geral a característica de Euler da soma conectada de k deles é 2 - k .

Conclui-se que uma superfície fechada é determinada, até o homeomorfismo, por duas informações: sua característica de Euler e se é orientável ou não. Em outras palavras, a característica e orientabilidade de Euler classificam completamente as superfícies fechadas até o homeomorfismo.

Superfícies fechadas com vários componentes conectados são classificadas pela classe de cada um de seus componentes conectados e, portanto, geralmente se assume que a superfície está conectada.

Estrutura monóide

Relacionando essa classificação a somas conectadas, as superfícies fechadas até o homeomorfismo formam um monóide comutativo sob a operação de soma conectada, como de fato fazem variedades de qualquer dimensão fixa. A identidade é a esfera, enquanto o plano projetivo real e o toro geram este monóide, com uma única relação P # P # P = P # T , que também pode ser escrita P # K = P # T , pois K = P # P . Essa relação às vezes é conhecida como O teorema de Dyck apósWalther von Dyck, que o provou em (Dyck 1888), e a superfície cruzada tripla P # P # P é consequentemente chamadaSuperfície de Dyck .

Geometricamente, conectar-soma com um toro ( # T ) adiciona uma alça com ambas as extremidades conectadas ao mesmo lado da superfície, enquanto conectar-soma com uma garrafa de Klein ( # K ) adiciona uma alça com as duas extremidades anexadas a lados opostos de uma superfície orientável; na presença de um plano projetivo ( # P ), a superfície não é orientável (não há noção de lado), portanto não há diferença entre fixar um toro e fixar uma garrafa de Klein, o que explica a relação.

Prova

A classificação das superfícies fechadas é conhecida desde a década de 1860 e hoje existem várias provas.

Provas topológicas e combinatórias em geral dependem do difícil resultado de que toda variedade 2 compacta é homeomórfica a um complexo simplicial , que é de interesse por si só. A prova mais comum da classificação é ( Seifert & Threlfall 1934 ) , que traz cada superfície triangulada a uma forma padrão. Uma prova simplificada, que evita uma forma padrão, foi descoberta por John H. Conway por volta de 1992, que ele chamou de "Prova de Irrelevância Zero" ou "prova ZIP" e é apresentada em ( Francis & Weeks 1999 ). erro harv: sem destino: CITEREFSeifertThrelfall1934 ( ajuda )

Uma prova geométrica, que produz um resultado geométrico mais forte, é o teorema da uniformização . Isso foi originalmente provado apenas para superfícies de Riemann nas décadas de 1880 e 1900 por Felix Klein , Paul Koebe e Henri Poincaré .

Superfícies com limite

Superfícies compactas , possivelmente com limite, são simplesmente superfícies fechadas com um número finito de orifícios (discos abertos que foram removidos). Assim, uma superfície compacta conectada é classificada pelo número de componentes de contorno e o gênero da superfície fechada correspondente - de forma equivalente, pelo número de componentes de contorno, a orientabilidade e a característica de Euler. O gênero de uma superfície compacta é definido como o gênero da superfície fechada correspondente.

Esta classificação segue quase imediatamente da classificação de superfícies fechadas: a remoção de um disco aberto de uma superfície fechada produz uma superfície compacta com um círculo para o componente de limite, e a remoção de k discos abertos produz uma superfície compacta com k círculos disjuntos para os componentes de limite. As localizações precisas dos furos são irrelevantes, porque o grupo de homeomorfismo atua k -transitivamente em qualquer variedade conectada de dimensão pelo menos 2.

Inversamente, o limite de uma superfície compacta é uma variedade 1 fechada e, portanto, é a união disjunta de um número finito de círculos; preencher esses círculos com discos (formalmente, pegando o cone ) produz uma superfície fechada.

A superfície compacta orientável única do gênero ge com componentes de contorno k é freqüentemente indicada, por exemplo, no estudo do grupo de classes de mapeamento . ${\ displaystyle \ Sigma _ {g, k},}$

Superfícies não compactas

Superfícies não compactas são mais difíceis de classificar. Como um exemplo simples, uma superfície não compacta pode ser obtida puncionando (removendo um conjunto finito de pontos de) um coletor fechado. Por outro lado, qualquer subconjunto aberto de uma superfície compacta é em si uma superfície não compacta; considere, por exemplo, o complemento de um Cantor definido na esfera, também conhecido como a superfície da árvore Cantor . No entanto, nem toda superfície não compacta é um subconjunto de uma superfície compacta; dois contra-exemplos canônicos são a escada de Jacob e o monstro de Loch Ness , que são superfícies não compactas com gênero infinito.

Uma superfície não compacta M tem um espaço não vazio de extremidades E ( M ), que informalmente descreve as maneiras como a superfície "vai para o infinito". O espaço E ( M ) é sempre topologicamente equivalente a um subespaço fechado do conjunto de Cantor . M pode ter um número finito ou infinito contável N _h de alças, bem como um número N _p finito ou infinito contável de planos projetivos . Se N _h e N _p são finitos, então esses dois números, e o tipo topológico de espaço de extremidades, classificam a superfície M até a equivalência topológica. Se N _h e N _p ou ambos forem infinitos, então o tipo topológico de M depende não apenas desses dois números, mas também de como o (s) infinito (s) se aproximam do espaço das extremidades. Em geral, o tipo topológico de M é determinado pelos quatro subespaços de E ( M ) que são pontos limites de infinitas alças e infinitamente muitos planos projetivos, pontos limites de apenas alças e pontos limites de nenhuma delas.

Suposição de segunda contagem

Se removermos a suposição de segunda contabilidade da definição de uma superfície, existem superfícies topológicas (necessariamente não compactas) sem nenhuma base contável para sua topologia. Talvez o exemplo mais simples seja o produto cartesiano da linha longa com o espaço dos números reais.

Outra superfície sem base contável para sua topologia, mas não exigindo o Axioma de Escolha para provar sua existência, é a variedade de Prüfer , que pode ser descrita por equações simples que mostram que é uma superfície analítica real . A variedade de Prüfer pode ser considerada como o meio plano superior junto com uma "língua" adicional T _x pendurada diretamente abaixo do ponto ( x , 0), para cada x real  .

Em 1925, Tibor Radó provou que todas as superfícies de Riemann (ou seja, variedades complexas unidimensionais ) são necessariamente contáveis ​​em segundos ( teorema de Radó ). Em contraste, se substituirmos os números reais na construção da superfície de Prüfer pelos números complexos, obteremos uma variedade complexa bidimensional (que é necessariamente uma variedade real quadridimensional) sem base contável.

Superfícies na geometria

Poliedros , como o limite de um cubo , estão entre as primeiras superfícies encontradas na geometria. Também é possível definir superfícies lisas , em que cada ponto possui uma vizinhança difeomórfica a algum conjunto aberto em E ² . Esta elaboração permite que o cálculo seja aplicado a superfícies para provar muitos resultados.

Duas superfícies lisas são difeomórficas se e somente se forem homeomórficas. (O resultado análogo não é válido para variedades de dimensões superiores.) Assim, as superfícies fechadas são classificadas em difeomorfismo por sua característica de Euler e orientabilidade.

Superfícies lisas equipadas com métricas Riemannianas são de importância fundamental na geometria diferencial . Uma métrica Riemanniana dota uma superfície com noções de geodésica , distância , ângulo e área. Também dá origem à curvatura gaussiana , que descreve o quão curvada ou dobrada é a superfície em cada ponto. A curvatura é uma propriedade geométrica rígida, pois não é preservada por difeomorfismos gerais da superfície. No entanto, o famoso teorema de Gauss-Bonnet para superfícies fechadas afirma que a integral da curvatura gaussiana K sobre toda a superfície S é determinada pela característica de Euler:

${\ displaystyle \ int _ {S} K \; dA = 2 \ pi \ chi (S).}$

Este resultado exemplifica a relação profunda entre a geometria e a topologia das superfícies (e, em menor medida, variedades de dimensões superiores).

Outra maneira pela qual as superfícies surgem na geometria é passando para o domínio complexo. Uma variedade única complexa é uma superfície lisa orientada, também chamada de superfície de Riemann . Qualquer curva algébrica não singular complexa vista como uma variedade complexa é uma superfície de Riemann. Na verdade, toda superfície compacta orientável é realizável como uma superfície de Riemann. Assim, as superfícies compactas de Riemann são caracterizadas topologicamente por seu gênero: 0, 1, 2, .... Por outro lado, o gênero não caracteriza a estrutura complexa. Por exemplo, existem inúmeras superfícies compactas de Riemann não isomórficas do gênero 1 (as curvas elípticas ).

Estruturas complexas em uma superfície orientada fechada correspondem às classes de equivalência conforme das métricas Riemannianas na superfície. Uma versão do teorema de uniformização (devido a Poincaré ) afirma que qualquer métrica Riemanniana em uma superfície fechada orientada é conformalmente equivalente a uma métrica essencialmente única de curvatura constante . Isso fornece um ponto de partida para uma das abordagens da teoria de Teichmüller , que fornece uma classificação mais precisa das superfícies de Riemann do que a topológica apenas pela característica de Euler.

Uma superfície complexa é uma variedade complexa de duas e, portanto, uma variedade real de quatro; não é uma superfície no sentido deste artigo. Nem as curvas algébricas são definidas em campos diferentes dos números complexos, nem as superfícies algébricas são definidas em campos diferentes dos números reais.

Veja também

• Limite (topologia)
• Forma de volume , para volumes de superfícies em E ⁿ
• Poincaré métrico , para propriedades métricas de superfícies de Riemann
• Superfície romana
• Superfície do menino
• Tetrahemihexahedron
• Superfície enrugada , uma superfície não diferenciável obtida deformando (amassando) uma superfície diferenciável

Notas

Referências

• Dyck, Walther (1888), "Beiträge zur Analysis situs I", Math. Ann. , 32 : 459-512, doi : 10.1007 / bf01443580

Provas simples de classificação até homeomorfismo

• Seifert, Herbert; Threlfall, William (1980), A textbook of topology , Pure and Applied Mathematics, 89 , Academic Press, ISBN 0126348502, Tradução para o inglês do livro clássico alemão de 1934
• Ahlfors, Lars V .; Sario, Leo (1960), superfícies de Riemann , Princeton Mathematical Series, 26 , Princeton University Press, Capítulo I
• Maunder, CRF (1996), topologia algébrica , Dover Publications, ISBN 0486691314, Curso de graduação em Cambridge
• Massey, William S. (1991). Um curso básico de topologia algébrica . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97430-X.
• Bredon, Glen E. (1993). Topologia e geometria . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
• Jost, Jürgen (2006), Superfícies compactas de Riemann: uma introdução à matemática contemporânea (3ª ed.), Springer, ISBN 3540330658, para variedades Riemannianas orientadas fechadas

Provas teóricas de Morse de classificação até difeomorfismo

• Hirsch, M. (1994), Topologia diferencial (2ª ed.), Springer
• Gauld, David B. (1982), Topologia diferencial: uma introdução , Monografias e livros didáticos em Matemática Pura e Aplicada, 72 , Marcel Dekker, ISBN 0824717090
• Shastri, Anant R. (2011), Elementos de topologia diferencial , CRC Press, ISBN 9781439831601, prova cuidadosa destinada a alunos de graduação
• Gramain, André (1984). Topologia de Superfícies . BCS Associates. ISBN 0-914351-01-X. (Notas do curso Orsay originais de 1969-70 em francês para "Topologie des Surfaces")
• A. Champanerkar; et al., Classificação de superfícies via Teoria de Morse (PDF) , uma exposição das notas de GramainCS1 maint: postscript ( link )

Outras provas

• Lawson, Terry (2003), Topologia: uma abordagem geométrica , Oxford University Press, ISBN 0-19-851597-9, semelhante à prova teórica de Morse usando deslizamento de alças anexadas
• Francis, George K .; Weeks, Jeffrey R. (maio de 1999), "Conway's ZIP Proof" (PDF) , American Mathematical Monthly , 106 (5): 393, doi : 10.2307 / 2589143 , JSTOR  2589143 , arquivado do original (PDF) em 2010-06 -12, página que discute o artigo: Na prova de ZIP de ConwayCS1 maint: postscript ( link )
• Thomassen, Carsten (1992), "O teorema de Jordan-Schönflies e a classificação das superfícies", Amer. Matemática. Mensalmente , 99 (2): 116–13, doi : 10.2307 / 2324180 , JSTOR  2324180, prova elementar curta usando gráficos de abrangência
• Prasolov, VV (2006), Elements of combinatorial and diferencial topology , Graduate Studies in Mathematics, 74 , American Mathematical Society, ISBN 0821838091, contém um breve relato da prova de Thomassen

links externos

• Classificação de superfícies compactas no projeto Mathifold
• A Classificação das Superfícies e o Teorema da Curva de Jordan na página inicial de Andrew Ranicki
• Galeria Math Surfaces, com 60 ~ superfícies e Java Applet para visualização em rotação ao vivo
• Animação de superfícies matemáticas, com JavaScript (Canvas HTML) para visualização de rotação de dezenas de superfícies
• A Classificação das Superfícies Notas de aula por Z.Fiedorowicz
• História e arte das superfícies e seus modelos matemáticos
• 2-manifolds no Manifold Atlas