Gravidade superficial - Surface gravity

A gravidade superficial , g , de um objeto astronômico é a aceleração gravitacional experimentada em sua superfície no equador, incluindo os efeitos da rotação. A gravidade superficial pode ser considerada como a aceleração devida à gravidade experimentada por uma partícula de teste hipotética que está muito próxima da superfície do objeto e que, para não perturbar o sistema, tem massa desprezível. Para objetos onde a superfície é profunda na atmosfera e o raio é desconhecido, a gravidade da superfície é dada ao nível de pressão de 1 bar na atmosfera.

A gravidade superficial é medida em unidades de aceleração, que, no sistema SI , são metros por segundo ao quadrado . Ele também pode ser expresso como um múltiplo da Terra 's gravidade superficial padrão , g = 9,80665 m / s². Na astrofísica , a gravidade superficial pode ser expressa como log g , que é obtido expressando primeiro a gravidade em unidades cgs , onde a unidade de aceleração é centímetros por segundo ao quadrado, e então tomando o logaritmo de base 10 . Portanto, a gravidade da superfície da Terra poderia ser expressa em unidades cgs como 980,665 cm / s², com um logaritmo de base 10 (log g ) de 2,992.

A gravidade da superfície de uma anã branca é muito alta, e a de uma estrela de nêutrons ainda mais alta. A gravidade superficial de uma anã branca é de cerca de 100.000g (9,84 × 10 ⁵ m / s²), enquanto a compactação da estrela de nêutrons dá a ela uma gravidade superficial de até 7 × 10 ¹² m / s² com valores típicos da ordem de 10 ¹² m / s² (que é mais de 10 ¹¹ vezes o da Terra). Uma medida dessa imensa gravidade é que as estrelas de nêutrons têm uma velocidade de escape de cerca de 100.000 km / s , cerca de um terço da velocidade da luz . Para buracos negros, a gravidade da superfície deve ser calculada relativisticamente.

Relação da gravidade superficial com a massa e o raio

Gravidade da superfície de vários
corpos do Sistema Solar
(1 g = 9,80665 m / s ² , a aceleração gravitacional da superfície da Terra)
Nome	Gravidade superficial
sol	28,02 g
Mercúrio	0,377 g
Vênus	0,905 g
terra	1 g (latitudes médias)
Lua	0,165 7 g (média)
Marte	0,379 g (latitudes médias)
Phobos	0,000 581 g
Deimos	0,000 306 g
Ceres	0,029 g
Júpiter	2,528 g (latitudes médias)
Io	0,183 g
Europa	0,134 g
Ganimedes	0,146 g
Calisto	0,126 g
Saturno	1,065 g (latitudes médias)
Titã	0,138 g
Encélado	0,012 g
Urano	0,886 g (equador)
Netuno	1,137 g (latitudes médias)
Tritão	0,08 g
Plutão	0,063 g
Eris	0,084 g
67P-CG	0,000 017 g

Na teoria newtoniana da gravidade , a força gravitacional exercida por um objeto é proporcional à sua massa: um objeto com o dobro da massa produz o dobro da força. A gravidade newtoniana também segue uma lei do inverso do quadrado , de modo que mover um objeto duas vezes mais longe divide sua força gravitacional por quatro, e movê-lo dez vezes mais longe divide por 100. Isso é semelhante à intensidade da luz , que também segue uma lei do inverso do quadrado: em relação à distância, a luz se torna menos visível. De um modo geral, isso pode ser entendido como diluição geométrica correspondente à radiação de fonte pontual no espaço tridimensional.

Um objeto grande, como um planeta ou estrela , geralmente será aproximadamente redondo, aproximando-se do equilíbrio hidrostático (onde todos os pontos na superfície têm a mesma quantidade de energia potencial gravitacional ). Em pequena escala, partes mais altas do terreno são erodidas, com material erodido depositado nas partes mais baixas do terreno. Em grande escala, o próprio planeta ou estrela se deforma até que o equilíbrio seja alcançado. Para a maioria dos objetos celestes, o resultado é que o planeta ou estrela em questão pode ser tratado como uma esfera quase perfeita quando a taxa de rotação é baixa. No entanto, para estrelas jovens e massivas, a velocidade azimutal equatorial pode ser bastante alta - até 200 km / s ou mais - causando uma quantidade significativa de protuberância equatorial . Exemplos dessas estrelas em rápida rotação incluem Achernar , Altair , Regulus A e Vega .

O fato de muitos grandes objetos celestes serem aproximadamente esferas torna mais fácil calcular sua gravidade superficial. A força gravitacional fora de um corpo esférico simétrico é a mesma como se toda a sua massa estivesse concentrada no centro, conforme estabelecido por Sir Isaac Newton . Portanto, a gravidade da superfície de um planeta ou estrela com uma dada massa será aproximadamente inversamente proporcional ao quadrado do seu raio , e a gravidade da superfície de um planeta ou estrela com uma dada densidade média será aproximadamente proporcional ao seu raio. Por exemplo, o planeta recentemente descoberto , Gliese 581 c , tem pelo menos 5 vezes a massa da Terra, mas é improvável que tenha 5 vezes sua gravidade superficial. Se sua massa não for superior a 5 vezes a da Terra, como é esperado, e se for um planeta rochoso com um grande núcleo de ferro, ele deve ter um raio aproximadamente 50% maior que o da Terra. A gravidade na superfície de tal planeta seria aproximadamente 2,2 vezes mais forte que na Terra. Se for um planeta gelado ou aquoso, seu raio pode ser tão grande quanto o dobro do da Terra, caso em que sua gravidade superficial pode ser não mais do que 1,25 vezes mais forte que a da Terra.

Essas proporcionalidades podem ser expressas pela fórmula:

{\ displaystyle g \ propto {\ frac {m} {r ^ {2}}}}

onde g é a gravidade da superfície de um objeto, expressa como um múltiplo da Terra , m é sua massa, expressa como um múltiplo da massa da Terra (5,976 · 10 ²⁴ kg) er seu raio, expresso como um múltiplo do raio (médio) da Terra (6.371 km). Por exemplo, Marte tem uma massa de 6,4185 · 10 ²³ kg = 0,107 massas da Terra e um raio médio de 3.390 km = 0,532 raios da Terra. A gravidade da superfície de Marte é, portanto, aproximadamente

{\ displaystyle {\ frac {0,107} {0,532 ^ {2}}} = 0,38}

vezes o da Terra. Sem usar a Terra como corpo de referência, a gravidade da superfície também pode ser calculada diretamente a partir da lei da gravitação universal de Newton , que dá a fórmula

{\ displaystyle g = {\ frac {GM} {r ^ {2}}}}

onde M é a massa do objeto, r é seu raio e G é a constante gravitacional . Se deixarmos ρ = M / V denotar a densidade média do objeto, também podemos escrever isso como

{\ displaystyle g = {\ frac {4 \ pi} {3}} G \ rho r}

de modo que, para densidade média fixa, a gravidade superficial g é proporcional ao raio r .

Como a gravidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância, uma estação espacial 400 km acima da Terra sente quase a mesma força gravitacional que sentimos na superfície da Terra. Uma estação espacial não cai no chão porque está em uma órbita de queda livre .

Gigantes gasosos

Para planetas gigantes gasosos como Júpiter, Saturno, Urano e Netuno, onde as superfícies são profundas na atmosfera e o raio é desconhecido, a gravidade da superfície é dada no nível de pressão de 1 bar na atmosfera.

Objetos não esféricos simétricos

A maioria dos objetos astronômicos reais não são absolutamente simétricos esfericamente. Uma razão para isso é que muitas vezes eles estão girando, o que significa que são afetados pelos efeitos combinados da força gravitacional e da força centrífuga . Isso faz com que estrelas e planetas se tornem achatados , o que significa que sua gravidade superficial é menor no equador do que nos pólos. Este efeito foi explorado por Hal Clement em seu romance de ficção científica Mission of Gravity , lidando com um planeta enorme e girando rápido onde a gravidade era muito maior nos pólos do que no equador.

Na medida em que a distribuição interna de massa de um objeto difere de um modelo simétrico, podemos usar a gravidade superficial medida para deduzir coisas sobre a estrutura interna do objeto. Este fato tem sido posta em prática desde 1915-1916, quando Roland Eötvös da balança de torção foi utilizada para a prospecção de petróleo perto da cidade de Egbell (agora Gbely , Eslováquia .) ^{, P. 1663;}^{, p. 223.} Em 1924, a balança de torção foi usada para localizar os campos de petróleo Nash Dome no Texas . ^{, p. 223.}

Às vezes é útil calcular a gravidade superficial de objetos hipotéticos simples que não são encontrados na natureza. A gravidade da superfície de infinitos planos, tubos, linhas, cascas ocas, cones e estruturas ainda mais irrealistas pode ser usada para fornecer insights sobre o comportamento de estruturas reais.

Buracos negros

Na relatividade, o conceito newtoniano de aceleração não é bem definido. Para um buraco negro, que deve ser tratado relativisticamente, não se pode definir uma gravidade superficial como a aceleração experimentada por um corpo de teste na superfície do objeto porque não há superfície. Isso ocorre porque a aceleração de um corpo de teste no horizonte de eventos de um buraco negro é infinita em relatividade. Por isso, é utilizado um valor renormalizado que corresponde ao valor newtoniano no limite não relativístico. O valor usado é geralmente a aceleração local adequada (que diverge no horizonte de eventos) multiplicada pelo fator de dilatação do tempo gravitacional (que vai a zero no horizonte de eventos). Para o caso de Schwarzschild, este valor é matematicamente com bom comportamento para todos os valores diferentes de zero dos R e H .

Quando se fala sobre a gravidade da superfície de um buraco negro, está-se definindo uma noção que se comporta de forma análoga à gravidade da superfície newtoniana, mas não é a mesma coisa. Na verdade, a gravidade da superfície de um buraco negro geral não está bem definida. No entanto, pode-se definir a gravidade da superfície para um buraco negro cujo horizonte de eventos é um horizonte de Killing.

A gravidade da superfície de um horizonte Killing estático é a aceleração, conforme exercida no infinito, necessária para manter um objeto no horizonte. Matematicamente, se for um vetor Killing adequadamente normalizado , a gravidade da superfície é definida por ${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ displaystyle k ^ {a}}$

{\ displaystyle k ^ {a} \, \ nabla _ {a} k ^ {b} = \ kappa k ^ {b},}

onde a equação é avaliada no horizonte. Para um espaço-tempo estático e assintoticamente plano, a normalização deve ser escolhida de modo que como e assim . Para a solução de Schwarzschild, tomamos a ser a tradução tempo vector de matança , e mais geralmente para a solução de Kerr-Newman tomarmos , a combinação linear dos vectores queimar tempo tradução e axisymmetry que é nulo no horizonte, onde é a velocidade angular . ${\ displaystyle k ^ {a} k_ {a} \ rightarrow -1}$ ${\ displaystyle r \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle \ kappa \ geq 0}$ ${\ displaystyle k ^ {a}}$ ${\ displaystyle k ^ {a} \ partial _ {a} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}}}$ ${\ displaystyle k ^ {a} \ partial _ {a} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + \ Omega {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi}}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

Solução Schwarzschild

Uma vez que é um vetor Killing implica . Em coordenadas . Realizar uma mudança de coordenadas para as coordenadas avançadas de Eddington-Finklestein faz com que a métrica assuma a forma ${\ displaystyle k ^ {a}}$ ${\ displaystyle k ^ {a} \, \ nabla _ {a} k ^ {b} = \ kappa k ^ {b}}$ ${\ displaystyle -k ^ {a} \, \ nabla ^ {b} k_ {a} = \ kappa k ^ {b}}$ ${\ displaystyle (t, r, \ theta, \ varphi)}$ ${\ displaystyle k ^ {a} = (1,0,0,0)}$ ${\ displaystyle v = t + r + 2M \ ln | r-2M |}$

{\ displaystyle ds ^ {2} = - \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) \, dv ^ {2} + (\, dv \, dr + \, dr \, dv) + r ^ {2} \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2} \ right).}

Sob uma mudança geral de coordenadas, o vetor Killing se transforma, dando os vetores e ${\ displaystyle k ^ {v} = A_ {t} ^ {v} k ^ {t}}$ ${\ displaystyle k ^ {a '} = \ delta _ {v} ^ {a'} = (1,0,0,0)}$ ${\ displaystyle k_ {a '} = g_ {a'v} = \ left (-1 + {\ frac {2M} {r}}, 1,0,0 \ right).}$

Considerando a entrada b = para dá a equação diferencial ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle k ^ {a} \, \ nabla _ {a} k ^ {b} = \ kappa k ^ {b}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (-1 + {\ frac {2M} {r}} \ right) = \ kappa. }$

Portanto, a gravidade superficial para a solução de Schwarzschild com massa está em unidades SI). ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {1} {4M}} (= {\ frac {c ^ {4}} {4GM}}}$

Solução Kerr

A gravidade da superfície para o buraco negro em rotação e sem carga é, simplesmente

{\ displaystyle \ kappa = gk,}

onde é a gravidade da superfície de Schwarzschild e é a constante da mola do buraco negro em rotação. é a velocidade angular no horizonte de eventos. Esta expressão fornece uma temperatura simples de Hawking de . ${\ displaystyle g = {\ frac {1} {4M}}}$ ${\ displaystyle k: = M \ Omega _ {+} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {+}}$ ${\ displaystyle 2 \ pi T = gk}$

Solução Kerr-Newman

A gravidade da superfície para a solução Kerr-Newman é

{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {r _ {+} - r _ {-}} {2 (r _ {+} ^ {2} + a ^ {2})}} = {\ frac {\ sqrt {M ^ {2} -Q ^ {2} -J ^ {2} / M ^ {2}}} {2M ^ {2} -Q ^ {2} + 2M {\ sqrt {M ^ {2} -Q ^ { 2} -J ^ {2} / M ^ {2}}}}},}

onde está a carga elétrica, é o momento angular, definimos ser as localizações dos dois horizontes e . ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle J}$ ${\ displaystyle r _ {\ pm}: = M \ pm {\ sqrt {M ^ {2} -Q ^ {2} -J ^ {2} / M ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle a: = J / M}$

Buracos negros dinâmicos

A gravidade da superfície para buracos negros estacionários é bem definida. Isso ocorre porque todos os buracos negros estacionários têm um horizonte que está matando. Recentemente, houve uma mudança no sentido de definir a gravidade da superfície de buracos negros dinâmicos cujo espaço-tempo não admite um vetor Killing (campo) . Várias definições foram propostas ao longo dos anos por vários autores. Até o momento, não há consenso ou acordo sobre qual definição, se houver, é a correta.

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