Grupo de simetria -Symmetry group

Um tetraedro regular é invariante sob doze rotações distintas (se a transformação de identidade for incluída como uma rotação trivial e as reflexões forem excluídas). Estes são ilustrados aqui no formato de gráfico de ciclo , juntamente com as rotações de 180° da borda (setas azuis) e 120° do vértice (setas rosa e laranja) que permutam o tetraedro pelas posições. As doze rotações formam o grupo de rotação (simetria) da figura.

Na teoria dos grupos , o grupo de simetria de um objeto geométrico é o grupo de todas as transformações sob as quais o objeto é invariante , dotado da operação grupal de composição . Tal transformação é um mapeamento invertível do espaço ambiente que leva o objeto para si e que preserva toda a estrutura relevante do objeto. Uma notação frequente para o grupo de simetria de um objeto X é G = Sym( X ).

Para um objeto em um espaço métrico , suas simetrias formam um subgrupo do grupo de isometria do espaço ambiente. Este artigo considera principalmente grupos de simetria na geometria euclidiana , mas o conceito também pode ser estudado para tipos mais gerais de estrutura geométrica.

Introdução

Consideramos os "objetos" que possuem simetria como figuras geométricas, imagens e padrões, como um padrão de papel de parede . Para a simetria de objetos físicos, pode-se também considerar sua composição física como parte do padrão. (Um padrão pode ser especificado formalmente como um campo escalar , uma função de posição com valores em um conjunto de cores ou substâncias; como um campo vetorial ; ou como uma função mais geral sobre o objeto.) O grupo de isometrias do espaço induz uma ação de grupo em objetos nele, e o grupo de simetria Sym( X ) consiste nas isometrias que mapeiam X para si mesmo (assim como mapeiam qualquer padrão adicional para si mesmo). Dizemos que X é invariante sob tal mapeamento, e o mapeamento é uma simetria de X.

O acima é às vezes chamado de grupo de simetria completa de X para enfatizar que inclui isometrias de inversão de orientação (reflexões, reflexões de deslizamento e rotações impróprias ), desde que essas isometrias mapeiem esse X em particular para si mesmo. O subgrupo de simetrias que preservam a orientação (traduções, rotações e composições destas) é chamado de grupo de simetria próprio . Um objeto é quiral quando não possui simetrias de inversão de orientação , de modo que seu grupo de simetria próprio seja igual ao seu grupo de simetria completo.

Qualquer grupo de simetria cujos elementos tenham um ponto fixo comum , o que é verdade se o grupo for finito ou a figura for limitada, pode ser representado como um subgrupo do grupo ortogonal O( n ) escolhendo a origem como um ponto fixo. O grupo de simetria próprio é então um subgrupo do grupo ortogonal especial SO( n ), e é chamado de grupo de rotação da figura.

Em um grupo de simetria discreta , os pontos simétricos a um dado ponto não se acumulam em direção a um ponto limite. Ou seja, cada órbita do grupo (as imagens de um dado ponto sob todos os elementos do grupo) forma um conjunto discreto . Todos os grupos de simetria finita são discretos.

Os grupos de simetria discreta são de três tipos: (1) grupos de pontos finitos , que incluem apenas rotações, reflexões, inversões e rotoinversões – ou seja, os subgrupos finitos de O( n ); (2) grupos de rede infinitos , que incluem apenas traduções; e (3) grupos de espaço infinito contendo elementos de ambos os tipos anteriores, e talvez também transformações extras como deslocamentos de parafusos e reflexões de deslizamento. Existem também grupos de simetria contínua (grupos de Lie ), que contêm rotações de ângulos arbitrariamente pequenos ou translações de distâncias arbitrariamente pequenas. Um exemplo é O(3) , o grupo de simetria de uma esfera. Grupos de simetria de objetos euclidianos podem ser completamente classificados como os subgrupos do grupo euclidiano E( n ) (o grupo de isometria de R ⁿ ).

Duas figuras geométricas têm o mesmo tipo de simetria quando seus grupos de simetria são subgrupos conjugados do grupo euclidiano: isto é, quando os subgrupos H ₁ , H ₂ estão relacionados por H ₁ = g ⁻¹H ₂g para algum g em E( n ). Por exemplo:

duas figuras 3D têm simetria de espelho, mas com respeito a diferentes planos de espelho.
duas figuras 3D têm simetria rotacional de 3 vezes , mas em relação a eixos diferentes.
dois padrões 2D têm simetria translacional, cada um em uma direção; os dois vetores de translação têm o mesmo comprimento, mas uma direção diferente.

Nas seções seguintes, consideramos apenas grupos de isometria cujas órbitas são topologicamente fechadas , incluindo todos os grupos de isometria discreta e contínua. No entanto, isso exclui, por exemplo, o grupo 1D de traduções por um número racional ; tal figura não fechada não pode ser desenhada com precisão razoável devido aos seus detalhes arbitrariamente finos.

Uma dimensão

Os grupos de isometria em uma dimensão são:

o grupo cíclico trivial C ₁
os grupos de dois elementos gerados por uma reflexão; eles são isomórficos com C ₂
os infinitos grupos discretos gerados por uma tradução; eles são isomórficos com Z , o grupo aditivo dos inteiros
os infinitos grupos discretos gerados por uma tradução e uma reflexão; eles são isomórficos com o grupo diedro generalizado de Z , Dih( Z ), também denotado por D _∞ (que é um produto semidireto de Z e C ₂ ).
o grupo gerado por todas as traduções (isomórfico com o grupo aditivo dos números reais R ); esse grupo não pode ser o grupo de simetria de uma figura euclidiana, mesmo dotada de um padrão: tal padrão seria homogêneo, portanto também poderia ser refletido. No entanto, um campo vetorial unidimensional constante tem esse grupo de simetria.
o grupo gerado por todas as traduções e reflexões em pontos; eles são isomórficos com o grupo diedro generalizado Dih( R ).

Consulte também grupos de simetria em uma dimensão .

Duas dimensões

Até a conjugação os grupos de pontos discretos no espaço bidimensional são as seguintes classes:

grupos cíclicos C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ , ... onde C _n consiste em todas as rotações em torno de um ponto fixo por múltiplos do ângulo 360°/ n
grupos diedros D ₁ , D ₂ , D ₃ , D ₄ , ..., onde D _n (de ordem 2 n ) consiste nas rotações em C _n juntamente com reflexões em n eixos que passam pelo ponto fixo.

C ₁ é o grupo trivial contendo apenas a operação identidade, que ocorre quando a figura é assimétrica, por exemplo a letra "F". C ₂ é o grupo de simetria da letra "Z", C ₃ o de um triskelion , C ₄ de uma suástica e C ₅ , C ₆ , etc. são os grupos de simetria de figuras semelhantes a suásticas com cinco, seis, etc. braços em vez de quatro.

D ₁ é o grupo de 2 elementos que contém a operação identidade e uma única reflexão, que ocorre quando a figura tem apenas um único eixo de simetria bilateral , por exemplo a letra "A".

D ₂ , que é isomórfico aos quatro grupos de Klein , é o grupo de simetria de um retângulo não equilátero. Esta figura tem quatro operações de simetria: a operação de identidade, um eixo de rotação duplo e dois planos de espelho não equivalentes.

D ₃ , D ₄ etc . são os grupos de simetria dos polígonos regulares .

Dentro de cada um desses tipos de simetria, existem dois graus de liberdade para o centro de rotação e, no caso dos grupos diedros, mais um para as posições dos espelhos.

Os restantes grupos de isometria em duas dimensões com um ponto fixo são:

o grupo ortogonal especial SO(2) que consiste em todas as rotações em torno de um ponto fixo; também é chamado de grupo circular S ¹ , o grupo multiplicativo de números complexos de valor absoluto 1. É o grupo de simetria próprio de um círculo e o equivalente contínuo de C _n . Não existe uma figura geométrica que tenha como grupo de simetria total o grupo circular, mas para um campo vetorial pode ser aplicado (veja o caso tridimensional abaixo).
o grupo ortogonal O(2) que consiste em todas as rotações em torno de um ponto fixo e reflexões em qualquer eixo através desse ponto fixo. Este é o grupo de simetria de um círculo. Também é chamado de Dih(S ¹ ) por ser o grupo diedro generalizado de S ¹ .

Figuras não limitadas podem ter grupos de isometria incluindo traduções; estes são:

os 7 grupos de friso
os 17 grupos de papel de parede
para cada um dos grupos de simetria em uma dimensão, a combinação de todas as simetrias desse grupo em uma direção e o grupo de todas as translações na direção perpendicular
idem com também reflexões em uma linha na primeira direção.

Três dimensões

Até a conjugação, o conjunto de grupos de pontos tridimensionais consiste em 7 séries infinitas e outros 7 grupos individuais. Na cristalografia , são considerados apenas os grupos de pontos que preservam alguma rede cristalina (portanto, suas rotações podem ter apenas a ordem 1, 2, 3, 4 ou 6). Esta restrição cristalográfica das infinitas famílias de grupos de pontos gerais resulta em 32 grupos de pontos cristalográficos (27 grupos individuais das 7 séries e 5 dos outros 7 indivíduos).

Os grupos de simetria contínua com um ponto fixo incluem os de:

simetria cilíndrica sem plano de simetria perpendicular ao eixo, isso se aplica, por exemplo, a uma garrafa de cerveja
simetria cilíndrica com um plano de simetria perpendicular ao eixo
simetria esférica

Para objetos com padrões de campo escalar , a simetria cilíndrica também implica simetria de reflexão vertical. No entanto, isso não é verdade para padrões de campos vetoriais : por exemplo, em coordenadas cilíndricas em relação a algum eixo, o campo vetorial tem simetria cilíndrica em relação ao eixo sempre e tem essa simetria (sem dependência de ); e tem simetria reflexiva apenas quando . $\mathbf {A} =A_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}{ \boldsymbol {\hat {z}}}$ $A_{\rho },A_{\phi },$ ${\estilo de exibição A_{z}}$ ${\ estilo de exibição \phi }$ $A_{\phi }=0$

Para simetria esférica, não existe tal distinção: qualquer objeto padronizado tem planos de simetria de reflexão.

Os grupos de simetria contínua sem ponto fixo incluem aqueles com eixo de parafuso , como uma hélice infinita . Veja também subgrupos do grupo euclidiano .

Grupos de simetria em geral

Em contextos mais amplos, um grupo de simetria pode ser qualquer tipo de grupo de transformação ou grupo de automorfismo . Cada tipo de estrutura matemática possui mapeamentos inversíveis que preservam a estrutura. Por outro lado, especificar o grupo de simetria pode definir a estrutura, ou pelo menos esclarecer o significado de congruência ou invariância geométrica; esta é uma forma de olhar para o programa Erlangen .

Por exemplo, objetos em uma geometria hiperbólica não-euclidiana têm grupos de simetria fuchsiana , que são os subgrupos discretos do grupo de isometria do plano hiperbólico, preservando a distância hiperbólica em vez da distância euclidiana. (Alguns são representados em desenhos de Escher .) Da mesma forma, grupos de automorfismo de geometrias finitas preservam famílias de conjuntos de pontos (subespaços discretos) em vez de subespaços euclidianos, distâncias ou produtos internos. Assim como para as figuras euclidianas, objetos em qualquer espaço geométrico possuem grupos de simetria que são subgrupos das simetrias do espaço ambiente.

Outro exemplo de um grupo de simetria é o de um grafo combinatório : uma simetria de grafo é uma permutação dos vértices que leva arestas a arestas. Qualquer grupo finitamente apresentado é o grupo de simetria de seu grafo de Cayley ; o grupo livre é o grupo de simetria de um grafo de árvore infinita .

Estrutura do grupo em termos de simetrias

O teorema de Cayley afirma que qualquer grupo abstrato é um subgrupo das permutações de algum conjunto X e, portanto, pode ser considerado como o grupo de simetria de X com alguma estrutura extra. Além disso, muitas características abstratas do grupo (definidas puramente em termos da operação do grupo) podem ser interpretadas em termos de simetrias.

Por exemplo, seja G = Sym( X ) o grupo de simetria finita de uma figura X em um espaço euclidiano, e seja H ⊂ G um subgrupo. Então H pode ser interpretado como o grupo de simetria de X ⁺ , uma versão "decorada" de X . Tal decoração pode ser construída como se segue. Adicione alguns padrões como setas ou cores a X para quebrar toda a simetria, obtendo uma figura X ^# com Sym( X ^# ) = {1}, o subgrupo trivial; isto é, gX ^# ≠ X ^{# para todo}g não trivial ∈ G . Agora obtemos:

X^{+}\ =\ \bigcup _{h\in H}hX^{\#}\quad {\text{satisfies}}\quad H=\mathrm {Sym} (X^{+} ).

Subgrupos normais também podem ser caracterizados nesta estrutura. O grupo de simetria da tradução gX ⁺ é o subgrupo conjugado gHg ⁻¹ . Assim H é normal sempre que:

\mathrm {Sym} (gX^{+})=\mathrm {Sym} (X^{+})\ \ {\text{for all}}\ g\in G;

isto é, sempre que a decoração de X ⁺ pode ser desenhada em qualquer orientação, em relação a qualquer lado ou característica de X , e ainda produzir o mesmo grupo de simetria gHg ⁻¹ = H .

Como exemplo, considere o grupo diedro G = D ₃ = Sym( X ), onde X é um triângulo equilátero. Podemos decorá-lo com uma seta em uma borda, obtendo uma figura assimétrica X ^# . Sendo τ ∈ G o reflexo da aresta com seta, a figura composta X ⁺ = X ^# ∪ τ X ^# tem uma seta bidirecional nessa aresta, e seu grupo de simetria é H = {1, τ}. Este subgrupo não é normal, pois gX ⁺ pode ter a bi-seta em uma borda diferente, dando um grupo de simetria de reflexão diferente.

No entanto, sendo H = {1, ρ, ρ ² } ⊂ D ₃ o subgrupo cíclico gerado por uma rotação, a figura decorada X ⁺ consiste em um 3-ciclo de setas com orientação consistente. Então H é normal, uma vez que desenhar tal ciclo com qualquer orientação produz o mesmo grupo de simetria H .

Veja também

Leitura adicional

Burns, G.; Glazer, AM (1990). Grupos Espaciais para Cientistas e Engenheiros (2ª ed.). Boston: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-145761-3.
Clegg, W (1998). Determinação da Estrutura Cristalina (Oxford Chemistry Primer) . Oxford: Oxford University Press . ISBN 0-19-855901-1.
O'Keeffe, M.; Hyde, BG (1996). Estruturas Cristalinas; I. Padrões e Simetria . Washington, DC: Sociedade Mineralógica da América, Série de Monografias. ISBN 0-939950-40-5.
Miller, Willard Jr. (1972). Grupos de simetria e suas aplicações . Nova York: Academic Press. OCLC 589081 . Arquivado a partir do original em 2010-02-17 . Recuperado 2009-09-28 .

links externos

Weisstein, Eric W. "Grupo de Simetria" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Grupo Tetraédrico" . MathWorld .
Visão geral dos 32 grupos de pontos cristalográficos - formam as primeiras partes (além de pular n = 5) das 7 séries infinitas e 5 dos 7 grupos de pontos 3D separados

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