teorema de Tarski sobre a escolha - Tarski's theorem about choice

Em matemática , o teorema de Tarski , provado por Alfred Tarski  ( 1924 ), afirma que em ZF o teorema "Para cada conjunto infinito , há um mapa bijective entre os conjuntos e " implica o axioma da escolha . O sentido oposto já era conhecido, assim, o teorema e axioma de escolha são equivalentes.

Tarski disse Jan Mycielski  ( 2006 ) que, quando ele tentou publicar o teorema em Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, Fréchet e Lebesgue recusou-se a apresentá-lo. Fréchet escreveu que uma implicação entre duas proposições bem conhecidos não é um novo resultado. Lebesgue escreveu que uma implicação entre duas proposições falsas não é de interesse.

Prova

Nosso objetivo é provar que o axioma da escolha está implícito na declaração "Para cada conjunto infinito : ". Sabe-se que o teorema de bem-ordenação é equivalente ao axioma da escolha, portanto, é suficiente para mostrar que a declaração implica que para cada set existe uma bem-ordem .

Para conjuntos finitos é trivial, portanto, vamos assumir que é infinito.

Como a coleta de todos os ordinais de tal forma que existe uma função surjective partir do ordinal é um conjunto, existe um mínimo de zero ordinal, de tal modo que não há nenhuma função surjective a partir de . Nós assumimos , sem perda de generalidade que os conjuntos e são disjuntos . Pela nossa hipótese inicial, , assim, existe uma bijeç~ao .

Para cada , é impossível que , porque senão podemos definir uma função surjective partir de . Por conseguinte, existe, pelo menos, um ordinal , de tal modo que , assim, o conjunto não está vazia.

Com este fato em nossa mente, podemos definir uma nova função: . Esta função é bem definido desde que é um conjunto não vazio de ordinais, portanto, tem um mínimo. Lembre-se que para cada conjuntos e são disjuntos. Portanto, podemos definir uma ordem bem em , para cada vamos definir , uma vez que a imagem de , ou seja , é um conjunto de ordinais e, portanto, bem ordenada.

Referências

  • Rubin, Herman; Rubin, Jean E. (1985), equivalentes da Axiom of Choice II , Holanda do Norte / Elsevier, ISBN  0-444-87708-8
  • Mycielski, Jan (2006), "Um sistema de axiomas da teoria dos conjuntos para os racionalistas" (PDF) , Avisos da Sociedade Americana de Matemática , 53 (2): 209
  • Tarski, A. (1924), "Sur quelques teoremas qui equivalente a l'AXIOME du choix" , Fundamenta Mathematicae , 5 : 147-154