Cálculo tensorial - Tensor calculus

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Cálculo
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v t e

Em matemática , cálculo tensorial , análise de tensor ou cálculo de Ricci é uma extensão do cálculo vetorial para campos tensores ( tensores que podem variar ao longo de uma variedade , por exemplo, no espaço-tempo ).

Desenvolvido por Gregorio Ricci-Curbastro e seu aluno Tullio Levi-Civita , foi usado por Albert Einstein para desenvolver sua teoria geral da relatividade . Ao contrário do cálculo infinitesimal , o cálculo tensorial permite a apresentação de equações físicas em uma forma que é independente da escolha das coordenadas na variedade.

O cálculo tensorial tem muitas aplicações em física , engenharia e ciência da computação, incluindo elasticidade , mecânica contínua , eletromagnetismo (ver descrições matemáticas do campo eletromagnético ), relatividade geral (ver matemática da relatividade geral ), teoria de campo quântico e aprendizado de máquina .

Trabalhando com um proponente principal do cálculo exterior Elie Cartan , o influente geômetro Shiing-Shen Chern resume o papel do cálculo tensorial:

Em nosso assunto de geometria diferencial, onde você fala sobre variedades, uma dificuldade é que a geometria é descrita por coordenadas, mas as coordenadas não têm significado. Eles podem sofrer transformação. E para lidar com esse tipo de situação, uma ferramenta importante é a chamada análise tensorial, ou cálculo de Ricci, que era nova para os matemáticos. Na matemática você tem uma função, você escreve a função, você calcula, ou adiciona, ou você multiplica, ou você pode diferenciar. Você tem algo muito concreto. Na geometria, a situação geométrica é descrita por números, mas você pode alterar seus números arbitrariamente. Então, para lidar com isso, você precisa do cálculo de Ricci.

Sintaxe

A notação de tensor faz uso de índices superiores e inferiores em objetos que são usados ​​para rotular um objeto variável como covariante (índice inferior), contravariante (índice superior) ou covariante e contravariante mista (tendo índices superiores e inferiores). Na verdade, na sintaxe matemática convencional, fazemos uso de índices covariantes ao lidar com sistemas de coordenadas cartesianas frequentemente sem perceber que este é um uso limitado da sintaxe tensorial como componentes indexados covariantes. ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$

A notação de tensor permite índice superior em um objeto que pode ser confundido com operações normais de potência da sintaxe matemática convencional. Por exemplo, na sintaxe matemática normal , entretanto, na sintaxe do tensor, um parêntese deve ser usado ao redor de um objeto antes de elevá-lo a uma potência para eliminar a ambigüidade do uso de um índice de tensor versus uma operação de potência normal. Na sintaxe de tensor, escreveríamos, e . O número entre parênteses interno distingue o componente contravariante onde o número do parêntese externo distingue a potência para aumentar as quantidades. Claro que esta é apenas uma equação arbitrária, poderíamos ter especificado que c não é um tensor e saber que esta variável em particular não precisa de um parêntese em torno dela para levar a qualidade c a uma potência de 2, no entanto, se c fosse um vetor , então ele poderia ser representado como um tensor e esse tensor precisaria ser diferenciado dos índices matemáticos normais que indicam elevar uma quantidade a uma potência. ${\ displaystyle e = mc ^ {2} = mcc}$${\ displaystyle e = m (c ^ {1}) ^ {2} = m (c ^ {1}) (c ^ {1})}$${\ displaystyle e = m (c ^ {2}) ^ {2} = m (c ^ {2}) (c ^ {2})}$

Conceitos chave

Decomposição vetorial

A notação de tensores permite que um vetor ( ) seja decomposto em uma soma de Einstein que representa a contração de tensor de um vetor de base ( ou ) com um vetor de componente ( ou ). ${\ displaystyle {\ vec {V}}}$${\ displaystyle {\ vec {Z}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {Z}} ^ {i}}$${\ displaystyle V_ {i}}$${\ displaystyle V ^ {i}}$

${\ displaystyle {\ vec {V}} = V ^ {i} {\ vec {Z}} _ {i} = V_ {i} {\ vec {Z}} ^ {i}}$

Cada vetor tem duas representações diferentes, uma referida como componente contravariante ( ) com base covariante ( ) e a outra como componente covariante ( ) com base contravariante ( ). Objetos tensores com todos os índices superiores são chamados de contravariantes, e objetos tensores com todos os índices inferiores são chamados de covariantes. A necessidade de distinguir entre contravariante e covariante surge do fato de que quando pontilhamos um vetor arbitrário com seu vetor de base relacionado a um sistema de coordenadas particular, existem duas maneiras de interpretar este produto escalar, ou o vemos como a projeção da base vetor no vetor arbitrário, ou nós o vemos como a projeção do vetor arbitrário no vetor base, ambas as visualizações do produto escalar são inteiramente equivalentes, mas têm diferentes elementos componentes e diferentes vetores base: ${\ displaystyle V ^ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {Z}} _ {i}}$${\ displaystyle V_ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {Z}} ^ {i}}$

Por exemplo, em física você começa com um campo vetorial , você o decompõe em relação à base covariante e é assim que você obtém as coordenadas contravariantes. Para coordenadas cartesianas ortonormais, as bases covariante e contravariante são idênticas, uma vez que a base definida neste caso é apenas a matriz de identidade, no entanto, para sistemas de coordenadas não afins, como polar ou esférica, é necessário distinguir entre decomposição por uso de conjunto de base contravariante ou covariante para gerar os componentes do sistema de coordenadas.

Decomposição de vetor covariante

${\ displaystyle {\ vec {V}} = V ^ {i} {\ vec {Z}} _ {i}}$

variável	Descrição	Modelo
${\ displaystyle {\ vec {V}}}$	vetor	invariante
${\ displaystyle V ^ {i}}$	componentes contravariantes (conjunto ordenado de escalares)	variante
${\ displaystyle {\ vec {Z}} _ {i}}$	Bases covariantes (conjunto ordenado de vetores)	variante

Decomposição de vetor contravariante

${\ displaystyle {\ vec {V}} = V_ {i} {\ vec {Z}} ^ {i}}$

variável	Descrição	modelo
${\ displaystyle {\ vec {V}}}$	vetor	invariante
${\ displaystyle V_ {i}}$	componentes covariantes (conjunto ordenado de escalares)	variante
${\ displaystyle {\ vec {Z}} ^ {i}}$	bases contravariantes (conjunto ordenado de covetores )	variante

Tensor métrico

O tensor métrico representa uma matriz com elementos escalares ( ou ) e é um objeto tensor que é usado para aumentar ou diminuir o índice em outro objeto tensor por uma operação chamada contração, permitindo assim que um tensor covariante seja convertido em um tensor contravariante, e vice-versa. ${\ displaystyle Z_ {ij}}$${\ displaystyle Z ^ {ij}}$

Exemplo de redução do índice usando tensor métrico:

${\ displaystyle T_ {i} = Z_ {ij} T ^ {j}}$

Exemplo de aumento do índice usando tensor métrico:

${\ displaystyle T ^ {i} = Z ^ {ij} T_ {j}}$

O tensor métrico é definido como:

${\ displaystyle Z_ {ij} = {\ vec {Z}} _ {i} \ cdot {\ vec {Z}} _ {j}}$

${\ displaystyle Z ^ {ij} = {\ vec {Z}} ^ {i} \ cdot {\ vec {Z}} ^ {j}}$

Isso significa que, se pegarmos cada permutação de um conjunto de vetores de base e os pontuarmos uns contra os outros e, em seguida, organizá-los em uma matriz quadrada, teríamos um tensor métrico. A ressalva aqui é qual dos dois vetores na permutação é usado para projeção contra o outro vetor, que é a propriedade distintiva do tensor métrico covariante em comparação com o tensor métrico contravariante.

Existem dois tipos de tensores métricos: (1) o tensor métrico contravariante ( ) e (2) o tensor métrico covariante ( ). Esses dois sabores de tensor métrico estão relacionados pela identidade: ${\ displaystyle Z ^ {ij}}$${\ displaystyle Z_ {ij}}$

${\ displaystyle Z_ {ik} Z ^ {jk} = \ delta _ {i} ^ {j}}$

Para um sistema de coordenadas cartesianas ortonormais , o tensor métrico é apenas o delta de kronecker ou , que é apenas um tensor equivalente da matriz identidade , e . ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle \ delta ^ {ij}}$${\ displaystyle \ delta _ {ij} = \ delta ^ {ij} = \ delta _ {j} ^ {i}}$

Jacobiano

Além disso, um tensor pode ser facilmente convertido de um sistema de coordenadas não-barradas (x) em um sistema de coordenadas barradas ( ) tendo diferentes conjuntos de vetores de base: ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$

pelo uso de relações de matriz Jacobiana entre o sistema de coordenadas barrado e não barrado ( ). O Jacobiano entre o sistema barrado e não barrado é instrumental na definição dos vetores de base covariante e contravariante, pois para que esses vetores existam eles precisam satisfazer a seguinte relação em relação ao sistema barrado e não barrado: ${\ displaystyle {\ bar {J}} = J ^ {- 1}}$

Os vetores contravariantes são obrigados a obedecer às leis:

${\ displaystyle v ^ {i} = {\ bar {v}} ^ {r} {\ frac {\ parcial x ^ {i} ({\ bar {x}})} {\ parcial {\ bar {x} } ^ {r}}}}$

${\ displaystyle {\ bar {v}} ^ {i} = v ^ {r} {\ frac {\ parcial {\ bar {x}} ^ {i} (x)} {\ parcial x ^ {r}} }}$

Os vetores covariantes são obrigados a obedecer às leis:

${\ displaystyle v_ {i} = {\ bar {v}} _ {r} {\ frac {\ parcial {\ bar {x}} ^ {i} (x)} {\ parcial x ^ {r}}} }$

${\ displaystyle {\ bar {v}} _ {i} = v_ {r} {\ frac {\ parcial x ^ {r} ({\ bar {x}})} {\ parcial {\ bar {x}} ^ {i}}}}$

Existem dois sabores de matriz Jacobiana:

1. A matriz J que representa a mudança de coordenadas não barradas para barradas. Para encontrar J, tomamos o "gradiente barrado", ou seja, derivamos parcial em relação a : ${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {i}}$

${\ displaystyle J = {\ bar {\ nabla}} f (x ({\ bar {x}}))}$

2. A matriz, que representa a mudança de coordenadas barradas para não-barradas. Para encontrar , usamos o "gradiente sem barras", ou seja, derivamos parcial em relação a : ${\ displaystyle {\ bar {J}}}$${\ displaystyle {\ bar {J}}}$${\ displaystyle x ^ {i}}$

${\ displaystyle {\ bar {J}} = \ nabla {\ bar {f}} ({\ bar {x}} (x))}$

Vetor gradiente

O cálculo tensorial fornece uma generalização para a fórmula do vetor gradiente a partir do cálculo padrão que funciona em todos os sistemas de coordenadas:

${\ displaystyle \ nabla F = \ nabla _ {i} F {\ vec {Z}} ^ {i}}$

Onde:

${\ displaystyle \ nabla _ {i} F = {\ frac {\ parcial F} {\ parcial Z ^ {i}}}}$

Em contraste, para cálculo padrão, a fórmula do vetor gradiente depende do sistema de coordenadas em uso (exemplo: fórmula do vetor gradiente cartesiano vs. fórmula do vetor gradiente polar vs. fórmula do vetor gradiente esférico, etc.). No cálculo padrão, cada sistema de coordenadas tem sua própria fórmula específica, ao contrário do cálculo tensorial, que possui apenas uma fórmula de gradiente que é equivalente para todos os sistemas de coordenadas. Isso é possível pela compreensão do tensor métrico que o cálculo tensorial faz uso.

Veja também

• Análise vetorial
• Cálculo matricial
• Cálculo de Ricci
• Coordenadas curvilíneas
  • Tensores em coordenadas curvilíneas
• Aprendizagem subespaço multilinear

Referências

Leitura adicional

• Dimitrienko, Yuriy (2002). Análise de tensor e funções de tensor não linear . Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
• Sokolnikoff, Ivan S. (1951). Análise de tensores: Teoria e Aplicações à Geometria e Mecânica do Continua . Wiley. ISBN 0471810525.
• AI Borisenko e IE Tarapov (1979). Vector and Tensor Analysis with Applications (2ª ed.). Dover. ISBN 0486638332.CS1 maint: usa o parâmetro de autores ( link )
• Itskov, Mikhail (2015). Álgebra de tensores e análise de tensores para engenheiros: com aplicações em mecânica contínua . Springer; 2ª edição. ISBN 9783319163420.
• Tyldesley, JR (1973). Uma introdução à análise de tensores: para engenheiros e cientistas aplicados . Longman. ISBN 0-582-44355-5.
• Kay, DC (1988). Tensor Calculus . Contornos de Schaum. McGraw Hill. ISBN 0-07-033484-6.
• Grinfeld, P. (2014). Introdução à análise de tensores e ao cálculo de superfícies móveis . Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.

links externos

• Dullemond, Kees; Peeters, Kasper (1991–2010). "Introdução ao Cálculo Tensor" (PDF) . Página visitada em 17 de maio de 2018 . Citar diário requer |journal=( ajuda )